Решить задачу Коши для линейного уравнения: y'+yt=t+t2, y1=12

Решить задачу Коши для линейного уравнения: y'+yt=t+t2, y1=12

Это линейное неоднородное уравнение. Решим сначала линейное однородное уравнение:
y'+yt=0
dydt=-yt dyy=-dtt
Интегрируем обе части уравнения:
dyy=lny -dtt=-lnt+lnC
lny=-lnt+lnC
y=Ct
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=C(t)t => y'=C'xt-C(x)t2
Подставим данные в неоднородное уравнение:
C'xt-C(x)t2+C(t)t2=t+t2
C'xt=t+t2 C'x=t2+t3 Cx=t2+t3dt=t33+t44+C1
y=C(t)t=t23+t34+C1t
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y1=12 => 12=13+14+C1 => C1=-112
Частное решение:
y=t23+t34-112t