Решить задачу Коши для однородного уравнения: y'=y2-2xy-x2y2+2xy-x2 , y1=-1

Решить задачу Коши для однородного уравнения: y'=y2-2xy-x2y2+2xy-x2 , y1=-1

Y'=y2-2xy-x2y2+2xy-x2
Проведем замену y=tx=>y'=t'x+t
Подставим y=tx и y'=t'x+t в исходное уравнение
t'x+t=t2x2-2xtx-x2t2x2+2xtx-x2;t'x+t=x2t2-2t-1x2t2+2t-1;t'x+t=t2-2t-1t2+2t-1
Разделим переменные
Запишем t'=dtdx
dtdxx=t2-2t-1t2+2t-1-t;dtdxx=t2-2t-1-t3-2t2+tt2+2t-1;
dtdxx=-t3-t2-t-1t2+2t-1;dtdxx=-t3+t2+t+1t2+2t-1;t2+2t-1t3+t2+t+1dt=-dxx
Интегрируем
t2+2t-1t3+t2+t+1dt=-dxx
Разложим подынтегральную дробь
t2+2t-1t3+t2+t+1
на простейшие методом неопределенных коэффициентов
t2+2t-1t3+t2+t+1=t2+2t-1t+1t2+1=At+1+Bt+Ct2+1
At2+1+(Bt+C)(t+1)t3+t2+t+1=t2+2t-1t3+t2+t+1
At2+1+(Bt+C)(t+1)=t2+2t-1
At2+A+Bt2+Ct+Bt+C=t2+2t-1
Составим и решим систему
A+B=1C+B=2A+C=-1=>A=1-BC=2-B1-B+2-B=-1=>A=1-BC=2-B-2B=-4=>A=-1B=2C=0
t2+2t-1t3+t2+t+1=-1t+1+2tt2+1
Тогда
2tt2+1-1t+1dt=-dxx
2tdtt2+1-dtt+1=-dxx
212dt2+1t2+1-dt+1t+1=-dxx
2∙12dt2+1t2+1-dt+1t+1=-dxx
dt2+1t2+1-dt+1t+1=-dxx
lnt2+1-lnt+1=-lnx+lnC
lnt2+1t+1=lnCx
t2+1t+1=Cx
t2+1xt+1=C
Сделаем обратную замену t=yx
y2x2+1xyx+1=C;y2+x2x2∙xy+xx=C;y2+x2∙xxy+x=C
y2+x2y+x=C-общий интеграл
При x=1, y=-1 задача Коши не имеет решения, т.к