Решить задачу Коши для разностного уравнения первого порядка: us+1+14us=152s+e14s+1cos14s+π, u0=e/14.

Решить задачу Коши для разностного уравнения первого порядка: us+1+14us=152s+e14s+1cos14s+π, u0=e/14.

Us+1+14us=225s-e14s+1cos14s
По аналогии с неоднородными дифференциальными уравнениями, решение разностного неоднородного уравнения можно представить, как сумму общего решения соответствующего однородного и частного решения неоднородного.
Общее решение однородного уравнения - uооs=C1-14s, так как характеристическое уравнение имеет один действительный корень λ=-14.
Неоднородность правой части уравнения Qs=225s-e14s+1cos14s является суммой двух разных квазимногочленов: Q1s=225s и Q2s=-e14s+1cos14s.
Частные решения уравнений:us+1+14us=225s
us+1+14us=-e14s+1cos14s
u1=A∙225s и u2=e14s+1Acos14s+Bsin14s соответственно.
Найдем частное решение первого:
A∙225s+1+14A∙225s=225s:225s
225A+14A=1⇒A=1239.
Тогда uчн1=1239∙9s.
Найдем частное решение второго:
e14s+1+1Acos14s+1+Bsin14s+1+
+14e14s+1Acos14s+Bsin14s=-e14s+1cos14s:e14s+1
e14Acos14s+1+Bsin14s+1+Acos14s+Bsin14s=
=-cos14s;
e14Acos14scos14-e14Asin14ssin14+
+e1414Bcos14ssin14+e1414Bsin14scos14+Acos14s+
+Bsin14s=-cos14s;
e14Acos14+e1414Bsin14+Acos14s+
+-e14Asin14+e1414Bcos14+Bsin14s=-cos14s;
e14Acos14+e1414Bsin14+A=-1-e14Asin14+e1414Bcos14+B=0⇒
e14cos14+1A+e1414sin14B=-1-e14sin14A+e1414cos14+1B=0.
Найдем коэффициенты по правилам Крамера:
∆=e14cos14+1e1414sin14-e14sin14e1414cos14+1=14e28cos214+e14cos14+
+e1414cos14+1+14e28sin214=14e28+15e14cos14+1.
∆1=-1e1414sin140e1414cos14+1=-e1414cos14-1;
∆2=e14cos14+1-1-e14sin140=-e14sin14.
A=∆1∆=-e1414cos14+114e28+15e14cos14+1; B=∆2∆=-e14sin1414e28+15e14cos14+1.
Тогда:
uчн2=-e14s+1e1414cos14+1cos14s+e14sin21414e28+15e14cos14+1.
Общее решение:
uон=C1-14s+9s239-e14s+1e1414cos14+1cos14s+e14sin21414e28+15e14cos14+1,
C1=const.
Ответ