Случайная величина X – годовой доход наугад взятого лица, облагаемого налогом. Ее плотность вероятности

Случайная величина X – годовой доход наугад взятого лица, облагаемого налогом. Ее плотность вероятности имеет вид: fx=0, при x≤3,a∙x-3,5, при x>3. Требуется найти: а) значение параметра a; б) функцию распределения Fx случайной величины X; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение; г) размер годового дохода, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика; д) построить графики функции Fx, fx.

Значение параметра a
Плотность вероятности fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞30dx+3∞a∙x-3,5dx=a3∞x-3,5dx=ax-2,5-2,53∞=a0+12,5∙32,5=a0+12,5∙32,5=12,5∙32,5a=122,5∙3a
122,5∙3a=1 ⟹a=22,53≈38,9711
Плотность вероятности имеет вид
fx=0, при x≤3,22,53x-3,5, при x>3.
функцию распределения Fx случайной величины X
Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤3, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если 3<x<+∞, то
Fx=-∞30dx+3x22,5∙3∙x-3,5dx=22,5∙33xx-3,5dx=22,5∙3∙x-2,5-2,53x=22,5∙3∙-x-2,52,5+3-2,52,5=-93∙x-2,5+1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, при-∞<x≤3-93x-2,5+1, при 3<x<+∞
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞3x∙0dx+3∞x∙22,53∙x-3,5dx=22,533∞x-2,5dx=22,53∙x-1,5-1,53∞=22,53∙0+3-1,51,5=7,5∙11,5=5
Дисперсия
DX=MX2-MX2=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞3x2∙0dx+3∞x2∙22,53∙x-3,5dx-52=22,533∞x-1,5dx-25=22,53∙x-0,5-0,53∞-25=22,53∙0+3-0,50,5-25=22,53∙3-0,50,5-25=22,5∙10,5-25=45-25=20
Среднее квадратичное отклонение
σ=DX=20≈4,4721
размер годового дохода, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика
k – размер годового дохода.
Вероятность
PX≥k=1-PX<k=1-Fk-F∞=1-Fk-0=1-Fk=0,6
Fk=1-0,6=0,4
-93k-2,5+1=0,4
93k-2,5=0,6
k-2,5=0,693
k2,5=930,6=153
k512=67512
k5=675
k=5675≈3,6801
k=5675≈3,6801 – размер годового дохода, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.
построить графики функции Fx, fx