Абсолютно чёрный шарообразный железный анероид с радиусом R = 10 км остывает от начальной

Абсолютно чёрный шарообразный железный анероид с радиусом R = 10 км остывает от начальной температуры t1 = 300°С до t2 = -270°С Межпланетная среда, окружающая небесное тело, имеет температуру, близкую к абсолютному нулю. За какое время τ произойдёт остывание? Теплоёмкость вещества астероида равна СV = 500 Дж/ (кг∙К), его плотность ρFe = 8∙103 кг/м3. Дано: железо, плотность ρFe = 8∙103 кг/м3 уд. теплоёмкость СV = 500 Дж/ (кг∙К), R = 10 км = 104 м T1 =300°С+273 = 573 K Т2 =-270°С+273 =3 К Найти t1/2

По условию, остывание шара происходит только за счёт собственного теплового излучения. Потоками энергии от других источников (например, звёзд, межзвёздного газа и т.п.) пренебрегаем.
Поток излучения чёрного тела (излучательность) определяется законом Стефана – Больцмана:
(1)
Здесь:
Re – излучательность (поток излучения с единицы площади)
σ– постоянная Стефана – Больцмана
Т – абсолютная температура
Если площадь излучающей поверхности S, то мощность, излучаемая с этой поверхности:
(2)
Площадь поверхности сферического тела с заданным радиусом R равна
(3)
Подставляем (3) в (2) и получаем
(4)
Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dt.
Составим уравнение мгновенного энергетического баланса
(5)
здесь слева теплота, отдаваемая шаром при охлажении на , справа -излучаемая энергия, СV – удельная теплоёмкость, m – масса шара.
Выразим массу шара через плотность и объём (R –радиус)
и подставим в (5)