Абсолютно упругий удар Два шара висят на подвесах. Один из них (легкий) отклонили на некий

Абсолютно упругий удар Два шара висят на подвесах. Один из них (легкий) отклонили на некий угол, а затем отпустили. Известны массы шариков, длина нити, начальный угол отклонения. Масса первого шара меньше массы второго. Через какое время после столкновения шары поднимутся до своей максимальной высоты и вернутся в исходную точку их столкновения? (Удар абсолютно упругий).

Известно (дано):
m1,2 - массы шариков (m1 – масса легкого шарика, m2 – масса тяжелого шарика (m1>m2));
l - длина нити;
α – начальный угол отклонения более легкого шарика;
Вид взаимодействия шариков – абсолютно упругий удар.
Абсолютно упругий удар – столкновение, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. В процессе такого удара тела деформируются, но деформации являются упругими. После соударения тела движутся с различными скоростями. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.
В момент, когда шарик 1 (легкий) отвели на некоторый начальный угол отклонений α ему придали потенциальную энергию, которая равна:
Eп1max0=m1∙g∙h=m1∙g∙l∙(1-cosα),
где h - высота на которую подняли шарик 1(h=l∙(1-cosα))
Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия шарика 1 непосредственно в момент перед соударением с шариком 2 равна потенциальная энергия шарика 1 в отведенном положении:
Eп1max0=Eк1max0→ m1∙g∙l∙1-cosα=m1∙V1 0 22,
где V1 0 - скорость шарика 1 перед соударением с шариком 2
V1 0 =2∙g∙l∙1-cosα
Скорость шарика 2 до соударения равна нулю:
V2 0 =0
При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.
m1∙V1 0 +m2∙V2 0 =m1∙V1 1 +m2∙V2 1
m1∙V1 0 22+m2∙V2 0 22=m1∙V1 1 22+m2∙V2 1 22
где V1 1 , V2 1 - скорости шарика 1 и 2 после соударения соответственно.
После преобразований получим:
m1∙V1 0 -V1 1 =m2∙V2 1 -V2 0
m1∙V1 0 2-V1 1 2=m2∙V2 1 2-V2 0 2
m1∙V1 0 -V1 1 ∙V1 0 +V1 1 =m2∙V2 1 -V2 0 ∙(V2 1 +V2 0 )
V1 0 +V1 1 =V2 1 +V2 0
Таким образом, получаем (и учтем, что V2 0 =0):
V1 1 =m1-m2∙V1 0 m1+m2
V2 1 =2∙m1∙V1 0 m1+m2
m1<m2 поэтому шарик 1 отскочит от шарика 2 и будет двигаться в противоположном направлении, чем перед ударом.
Рассмотрим дальнейшее движение шарика 2.
Согласно закону сохранения энергии Eк2max1=Eп2max1=Eполн2 1
Eк2max1 – максимальная кинетическая энергия шарика 2 после соударения;
Eп2max1 – максимальная потенциальная энергия шарика 2 после соударения;
Eполн2 1 –полная энергия шарика 2 после соударения;
Eп2 1=m2∙g∙∆h=m2∙g∙l∙1-cosβ=m2∙g∙l∙2∙sin2β2,
где H – высота, на которую поднимется шарик 2 после соударения;
∆h - угол отклонения шарика 2 после соударения.
Для малых β справедливо sinβ≈β
Eп2max1=m2∙g∙l∙2∙sin2β2≈2∙m2∙g∙l∙β24
Для малых углов также справедливо: x=β∙l→β=xl
x – координата шарика
Eп2max1≈2∙m2∙g∙l∙β24=m2∙gl∙x22
Закон сохранения энергии:
Eк2 1+Eп2 1=Eполн2 1=const
Возьмем производную от левой и правой части уравнения:
Производная суммы равна сумме производных:
Eп2 1'=m2∙gl∙x22'=m2∙g2∙l∙2x∙x'=m2∙gl∙x∙v
Eк2 1'=m2∙v22'=m22∙2v∙v'=m2∙v∙a
Eп2 1'+Eк2 1'=0
m2∙gl∙x∙v+m2∙v∙a=0→a=-glx
a=x''=-ω2∙x→ω=gl
Откуда получаем, что шарик, как и предполагалось, движется, как маятник с периодом T=2∙π∙gl
Т.е