Дано: стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 20 кН (B вверх),

Дано: стержень переменного сечения, на который действует силы Р1 = 20 кН (B вверх), Р2 = 0,2⋅20 = 4 кН (D вверх) и равномерно распределенная нагрузка q = 22 кН/м (A-B вниз), как показано на рисунке П1.1. Длины участков l1 = 0,5 м, l2 = 1,1⋅l1 = 0,55 м, l3 = 2,0⋅l1 = 1,0 м, модуль упругости для материала стержня составляет Е = 2∙105 МПа, коэффициент запаса прочности n = 1,6, предел текучести Ст20 σТ = 245 МПа. Соотношения площадей – F1 = F0, F2 = 3F0, F3 = F0. Требуется: 1. Построить эпюры нормальных сил, напряжений, продольных деформаций и абсолютных удлинений. 2. Из расчета на прочность подобрать допускаемое значение площади сечения.

Определяем реакцию в жесткой заделке
Pxi=0
-RA+0l1qdx-P1-P2=0
откуда, при q = const, имеем:
RA=ql1-P1-P2=22⋅0,5-20-4=-13 кН;
Рисунок П1. SEQ Рисунок \* ARABIC 1 Расчетная схема и эпюры нормальных сил, деформаций и удлинений
Разбиваем стержень на участки, определяем продольные силы (рисунок П1.2).
На первом участке (рисунок П.1.2 а)
Nx1=RA-qx1;
Nx1=RA=-13 кН x1=0;
Nx1=RA-ql1=-13-22⋅0,5=-24 кН x1=0,5 м;На втором участке (рисунок П1.2 б)
Nx2=RA-ql1+P1=-13-22⋅0,5+20=-4 кН;На третьем участке (рисунок П1.2 в)
Nx3=RA-ql1+P1=-13-22⋅0,5+20=-4 кН;Эпюра продольных сил изображена на рисунке П1.1.
Определяем нормальные напряжения.
σx1=Nx1F1=-13-22x1F0
При x1=0; σx1=-13F0
При x1=0,5 м; σx1=-13-22⋅0,5F0=-24F0
σx2=Nx2F2=-43F0
σx3=Nx3F3=-4F0
Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке П1.1.
Определяем относительные деформации.
εx1=σx1EF1=-13-22x1EF0
При x1=0; εx1=-13EF0
При x1=0,5 м; εx1=-13-22⋅0,5EF0=-24EF0
εx2=σx2F2=43F0
εx3=σx3F3=4F0
Эпюра деформаций изображена на рисунке П1.1.
Находим абсолютные деформации.
Принимаем в жесткой заделке Δ𝑙𝐴 = 0, далее
ΔlBA=0l1Nx1EF0dx1=0l1-13-22x1EF0dx1=-13l1-11l12EF0=-9,25кН⋅м EF0
ΔlСB=0l2Nx23EF0dx2=0l2-43EF0dx1=-4l23EF0=-0,73кН⋅м EF0
ΔlCA=ΔlBA+ΔlCB=-9,25-0,73=-9,98 кН⋅м EF0
ΔlDC=0l3Nx3EF0dx3=0l3-4EF0dx1=-4l3EF0=-4 кН⋅м EF0
Δl=ΔlCA+ΔlDC=-13,98кН⋅м EF0
Эпюра абсолютных деформаций (удлинений) также имеется на рисунке П1.1,
Составляем условие прочности:
σmax=σx1=-24F0 кН≤σ,
где σ=2451,6=153,1 МПа,
Таким образом, допускаемая площадь поперечного сечения:
F0=24⋅103153,1⋅106=1,57⋅10-4 м2
При такой площади удлинение стержня составит
Δl=-13,98⋅1032⋅1011⋅1,57⋅10-4=-4,45⋅10-4 м=-0,445 мм