Из 500 рабочих, обслуживающих цех производства окиси этилена, было отобрано 100 человек для контрольной

Из 500 рабочих, обслуживающих цех производства окиси этилена, было отобрано 100 человек для контрольной проверки коэффициента использования рабочего времени в отчётном году по сравнению с предыдущим. Были получены следующие данные: Коэффициент использования рабочего времени 0,8-0,84 0,84-0,88 0,88-0,92 0,92-0,96 0,96-1 Итого Число рабочих 12 17 33 27 11 100 1. Используя критерий χ2 Пирсона, при уровне значимости α= 0,025 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – средний коэффициент использования рабочего времени распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую. 2. Найти: а) вероятность того, что средний коэффициент использования рабочего времени в отчётном году отличается от идеального среднего коэффициента не более чем на 0,01 (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,9606 заключен средний коэффициент использования рабочего времени одного рабочего этого цеха; в) каким должен быть объём выборки, чтобы с вероятностью 0,7373 можно было утверждать, что доля рабочих в цехе, коэффициент использования рабочего времени которых будет менее 0,88, отличалась от доли таких рабочих в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине)?

Найдем выборочную среднюю и средне квадратическое отклонение.
Обозначим xi – середины интервалов величины коэффициента использования рабочего времени.
Коэффициент использования рабочего времени 0,8-0,84 0,84-0,88 0,88-0,92 0,92-0,96 0,96-1 Итого
xi
0,82 0,86 0,90 0,94 0,98
Число рабочих, mi
12 17 33 27 11 100
Вычислим средний коэффициент использования рабочего времени, то есть выборочную среднюю по формуле
x=1ni=15x mi
Подставляя в формулу данные задачи, получаем:
xв=0,82∙12+0,86∙17+0,9∙33+0,94∙27+0,98∙11100=0,9
Вычислим дисперсию по формуле:
D=1ni=15x2mi-xв2
Тогда
Dв=0,822∙12+0,862∙17+0,92∙33+0,942∙27+0,982∙11100-0,92=
=0,002
Среднее квадратическое отклонение равно
σв=Dв=0,002≈0,047
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
s=nn-1∙Dв=10099∙0.002≈0.045
Проверим гипотезу Н0: «случайная величина Х – средний коэффициент использования рабочего времени распределена по нормальному закону».
Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид: fx=12π∙σ∙e-(x-a)22∙σ2 и Fx=12+12Фx-aσ
В качестве оценок параметров возьмем выборочное средне значение и среднее квадратическое отклонение: a≈x=0,9 и s≈σ=0,045.
Тогда функция плотности будет иметь вид fx=12π∙0,045∙e-(x-0,9)22∙0,0452 и функция распределения Fx=12+12Фx-0,90,045
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
χнабл2=i=15mi-mi'2mi'
где mi' – теоретическая частота, pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал.
Вероятность pi попадания случайной величины Х в интервал найдем по формуле
pi=Pxi<X<xi+1=12∙Фxi+1-aσ-Фxi-aσ=
=12∙Фxi+1-0,90,047-Фxi-0,90,047
Для каждого промежутка получаем:
p1=P0,8<X<0,84=12∙Ф0,84-0,90,047-Ф0,8-0,90,047=
=12∙Ф-1,28-Ф-2,13=12∙-0,7984+0,9668=0,0842
p2=P0,84<X<0,88=12∙Ф0,88-0,90,047-Ф0,84-0,90,047=
=12∙Ф-0,43-Ф-1,28=12∙-0,3328+0,7984=0,2328
p3=P0,88<X<0,92=12∙Ф0,92-0,90,047-Ф0,88-0,90,047=
=12∙Ф0,43-Ф-0,43=12∙0,3328+0,3328=0,3328
p4=P0,92<X<0,96=12∙Ф0,96-0,90,047-Ф0,92-0,90,047=
=12∙Ф1,28-Ф0,43=12∙0,7984-0,33288=0,2328
p5=P0,96<X<1=12∙Ф1-0,90,047-Ф0,96-0,90,047=
=12∙Ф2,13-Ф1,28=12∙0,9668-0,7984=0,0842
Составим расчетную таблицу
i
Интервал Эмпириче ские частоты, ni
Вероятность, pi
Теоретические частоты, ni'=npi
ni-ni'2ni'
1 0,8 – 0,84 12 0,0842 8,42 1,522
2 0,84 – 0,88 17 0,2328 23,28 1,694
3 0,88 – 0,92 33 0,3328 33,28 0,002
4 0,92 – 0,96 27 0,2328 23,28 0,594
5 0,96 – 1 11 0,0842 8,42 0,791
∑
100 ≈1
4,604
Наблюдаемое значение критерия Пирсона равно:
χнабл2=i=15ni-ni'2ni'=4,604
По таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α= 0,025 и числу степеней свободы k =5-2-1=2 найдём критическое значение χкр2α;k=χкр20,025;2=7,38
Так как χнабл2<χкр2, то нет оснований отвергнуть проверяемую нулевую гипотезу

. То есть принимаем предположение, что случайная величина Х – средний коэффициент использования рабочего времени распределена по нормальному закону с параметрами a=0,9 и σ= 0,047
Построим на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Гистограмма - это совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (xi; xi+1], а высота которых равна fi*=pi*h, где h=xi+1-xi=0,84-0,8=0,04, pi*=ni100.
Составим таблицу
xi-xi+1
0,8-0,84 0,84-0,88 0,88-0,92 0,92-0,96 0,96-1 Итого
ni
12 17 33 27 11 100
pi*
0,12 0,17 0,33 0,27 0,11 1
fi*
3 4,25 8,25 6,75 2,75
Для построения графика нормальной кривой отметим точки x; pih
xi
0,82 0,86 0,90 0,94 0,98
pih
2,105 5,82 8,32 5,82 2,105
Рис.8