Напомню, что множество называется нигде не плотным, если . Согласно предыдущей задаче, это означает

Напомню, что множество называется нигде не плотным, если . Согласно предыдущей задаче, это означает что множество всюду плотно в , то есть А. нигде не плотно тогда и только тогда, когда любое открытое множество пересекается с дополнением . Отрицание того, что множество является нигде не плотным: . Согласно предыдущей задаче это означает, что (отрицание утв. А): Б. не является нигде не плотным тогда и только тогда, найдется непустое открытое множество , не пересекающееся с дополнением . В решении задачи используются следующие свойства операций переходу к внутренности и замыкания: В. и Г. .

А) Предположим, что не является нигде не плотным в , то есть согласно Б найдется непустое открытое множество , для которого . Согласно В отсюда следует, что
.
Полученное равенство равносильно тому, что для любого непустого открытого множества . Иногда в таком случае говорят, что плотно в .
Открытые подмножества множества имеют вид , где открыто в

.
Полученное равенство равносильно тому, что для любого непустого открытого множества . Иногда в таком случае говорят, что плотно в .
Открытые подмножества множества имеют вид , где открыто в