По 10 предприятиям изучается зависимость объем выпуска продукции на 1 работника в (тыс. руб.)

По 10 предприятиям изучается зависимость объем выпуска продукции на 1 работника в (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x1 (% от стоимости фондов на конец года) и удельного веса работников со стажем свыше 10 лет в общей численности работников x2 (%). Необходимо: 1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать уравнение множественной регрессии в стандартизированной и естественной форме. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат. 2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их. 3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным коэффициентом детерминации. 4.С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации Ryx1x22. 5.Построить матрицу парных коэффициентов. 6.Проанализировать включение в модель каждого из факторов и наличие коллинеарности с помощью частных критериев Фишера. 7.Провести оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. 8.Сделайте выводы о возможности улучшения построенной модели. у x1 x2 7 3,9 10,0 7 3,9 14,0 7 3,7 15,0 7 4,0 16,0 7 3,8 17,0 7 4,8 19,0 8 5,4 19,0 8 4,4 20,0 8 5,3 20,0 10 6,8 20,0

По методу наименьших квадратов найдем оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели
Составим матрицы и
Для этого составим вспомогательную таблицу: (таблица 2)
Таблица 2
i yi xi1 xi2 xi12 xi22 уi2 yi xi1 yi xi2 xi1xi2
1 7 3,9 10 15,21 100 49 27,3 70 39
2 7 3,9 14 15,21 196 49 27,3 98 54,6
3 7 3,7 15 13,69 225 49 25,9 105 55,5
4 7 4 16 16 256 49 28 112 64
5 7 3,8 17 14,44 289 49 26,6 119 64,6
6 7 4,8 19 23,04 361 49 33,6 133 91,2
7 8 5,4 19 29,16 361 64 43,2 152 102,6
8 8 4,4 20 19,36 400 64 35,2 160 88
9 8 5,3 20 28,09 400 64 42,4 160 106
10 10 6,8 20 46,24 400 100 68 200 136
Σ 76 46 170 220,44 2988 586 357,5 1309 801,5
Среднее 7,6 4,6 17 22,044 298,8 58,6 35,75 130,9 80,15
;
таким образом, получаем уравнение регрессии: .
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
.
Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
;
;
.
Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):
0.9172 = β1 + 0.663β20.593 = 0.663β1 + β2
Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty=β1tx1+β2tx2
Расчет β-коэффициентов можно выполнить и по формулам:
Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:
β1 = 0,934; β2 = -0,0265;
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
у= 0,934x1 -0,00265x2
Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели

.
Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Частные коэффициент эластичности |E2| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.
Ранжируем факторы по степени их влияния на результат.
Е1>Е2
2. Найдем коэффициенты парной, частной и множественной корреляции.
Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
;
;
.
Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели:
Теснота связи сильная.
Теснота связи низкая.
Теснота связи не сильная
Коэффициент множественной корреляции
Связь между признаком Y и факторами Xi сильная.
3. Найдем скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным коэффициентом детерминации.
R2= 0.9172 = 0.840
Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y
Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
4.С помощью F-критерия Фишера оценим статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации Ryx1x22.
Если F < Fkp = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.
Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 10 - 2 - 1 = 7, Fkp(2;7) = 4.74
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно (т.е