По 12 областям изучается зависимость среднемесячной начисленной заработной платы от доли государственного сектора в

По 12 областям изучается зависимость среднемесячной начисленной заработной платы от доли государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях, % Х. Номер области Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., y Доля государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях, % x 1 23 25 2 38 29 3 24 35 4 44 29 5 52 40 6 85 17 7 29 37 8 48 38 9 42 26 10 52 31 11 49 27 12 63 28 Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитайте параметры уравнений линейной и степенной парной регрессии. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Дайте с помощью общего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование. Оцените с помощью t-критерия Стьюдента статистическую надежность коэффициентов регрессии. По линейной функции постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии. По линейной функции рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5 процентов от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

1. Построим поле корреляции:
Судя по расположению точек на поле корреляции, связь между признаками умеренная. По направлению связь, вероятно, обратная.
2. Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии, используя инструмент «Регрессия».
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,45
R-квадрат 0,20
Нормированный R-квадрат 0,12
Стандартная ошибка 16,17
Наблюдения 12,00
Дисперсионный анализ
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 665,52 665,52 2,55 0,14
Остаток 10,00 2614,73 261,47
Итого 11,00 3280,25      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 81,89 23,13 3,54 0,01 30,36 133,43
x -1,20 0,75 -1,60 0,14 -2,87 0,48
Уравнение регрессии имеет вид:
y=81,89-1,20x
С ростом доли государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях на 1% среднемесячная начисленная заработная плата снижается в среднем на 1,20 тыс. руб.
Рассчитаем параметры уравнения степенной парной регрессии, используя инструмент «Регрессия».
y=b⋅xa
Модель сводится к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения и преобразования исходных данных о значениях факторного и результативного признаков:
lny=lnb+alnx
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,40
R-квадрат 0,16
Нормированный R-квадрат 0,08
Стандартная ошибка 0,37
Наблюдения 12,00
Дисперсионный анализ
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 0,26 0,26 1,90 0,20
Остаток 10,00 1,36 0,14
Итого 11,00 1,61      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 5,98 1,61 3,70 0,00 2,38 9,58
lnx
-0,66 0,48 -1,38 0,20 -1,72 0,40
Уравнение регрессии имеет вид:
lny=5,98-0,66lnx
Для получения модели в степенной форме необходимо потенцировать свободный член:
b=e5,98=394,99
Модель имеет вид:
y=394,99⋅x-0,66
С ростом доли государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях на 1% от своего значения среднемесячная начисленная заработная плата снижается в среднем на 0,66% своего значения.
3. В линейной модели коэффициент корреляции равен 0,45

. Связь между признаками умеренная. Коэффициент детерминации равен 0,20. Модель объясняет 20% вариации среднемесячной начисленной заработной платы, т.е. отличается невысоким качеством.
В степенной модели индекс корреляции равен 0,40. Связь между признаками в логарифмах умеренная. Индекс детерминации равен 0,16. Степенная модель объясняет 16% вариации среднемесячной начисленной заработной платы, т.е. ее качество ниже, чем качество линейной модели.
4. Определим коэффициент эластичности для линейной модели.
Э=a∙xy=-1,20∙30,1745,75=-0,79
Согласно линейной модели, с ростом доли государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях на 1% от своего значения среднемесячная начисленная заработная плата снижается в среднем на 0,79% своего значения.
В степенной модели коэффициент эластичности равен коэффициенту регрессии (-0,66). С ростом доли государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях на 1% от своего значения среднемесячная начисленная заработная плата снижается в среднем на 0,66% своего значения. Таким образом, отклик результата на изменение значения фактора в степенной модели слабее, чем в линейной.
5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
A=1nyi-yiyi=1nеiyi
Предварительно рассчитаем для каждой модели оценки модели yi и остатки модели ei.
Номер области Доля государственного сектора в общей численности занятых на малых предприятиях, % Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб. Линейная модель Степенная модель
№ x y yоценка
е |e|/y yоценка
е |e|/y
1 17 85 61,52 23,48 0,28 61,48 23,52 0,28
2 25 23 51,94 -28,94 1,26 47,73 -24,73 1,08
3 26 42 50,74 -8,74 0,21 46,52 -4,52 0,11
4 27 49 49,54 -0,54 0,01 45,38 3,62 0,07
5 28 63 48,35 14,65 0,23 44,31 18,69 0,30
6 29 38 47,15 -9,15 0,24 43,30 -5,30 0,14
7 29 44 47,15 -3,15 0,07 43,30 0,70 0,02
8 31 52 44,75 7,25 0,14 41,44 10,56 0,20
9 35 24 39,96 -15,96 0,66 38,27 -14,27 0,59
10 37 29 37,56 -8,56 0,30 36,90 -7,90 0,27
11 38 48 36,37 11,63 0,24 36,26 11,74 0,24
12 40 52 33,97 18,03 0,35 35,06 16,94 0,33
Среднее 30,17 45,75   А 33,23%   А 30,22%
Средняя ошибка аппроксимации линейной модели составила 33,23%; степенной модели – 30,22%