По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом задания и значениям интенсивностей

По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом задания и значениям интенсивностей отказов ее элементов λi требуется: 1. Определить вероятности безотказной работы квазиэлементов исходной схемы для наработки до 3·106 часов, ( для 6-ти реперных точек наработки). 2. Определить вероятности безотказной работы исходной системы для наработки до 3х106 часов, (для 6-ти значений наработки). 3. Построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки. 4. Дать предложения по повышению надежности технической системы. Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации (простейший поток отказов). Резервирование отдельных элементов или групп элементов осуществляется идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными. Значения интенсивности отказов элементов даны в 10-6 1/ч. λ1 =0,1 λ2 =λ3 =5,0 λ4 =1,0 λ5= λ6 =5,0 λ7= λ8 =10,0 λ9 = λ10 =λ11= 5,0 λ12 = λ13 =λ14=1,0 λ15 =0,2 Рисунок 1 – Исходные данные

В исходной схеме (рисунок 1) последовательные соединения образуют следующие элементы :
5 и 7 - заменяются квазиэлементом А;
6 и 8 - заменяются квазиэлементом B;
В результате преобразования получена схема, приведенная на рисунке 2.
Рисунок 2 – Схема c квазиэлементами А и B
Вероятность безотказной работы квазиэлемента PА определяется по формуле:
PА = p5∙p7 , (1)
Вероятность безотказной работы квазиэлемента PB определяется по формуле:
PB = p6∙p8 , (2)
2. Элементы 2,3,4 и квазиэлементы A, B образуют (рисунок 2) мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом C.
Рисунок 3 - Схема c квазиэлементом С
Для расчета вероятности безотказной работы квазиэлемента С воспользуемся методом разложения относительно особого элемента , в качестве которого выберем элемент 4. Тогда
PС=p4∙PС(p4=1)+q4∙PС(p4=0), (3)
где PС(p4=1) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы
при абсолютно надежном элементе 4;
PС(p4=0) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы
при отказавшем элементе 4 .
С учетом того, что PА = PB ; p2 = p3 :
PC=p4∙1-(1-p2)∙(1-p3)∙1-(1-PA)∙(1-PB) +
+(1-p4)∙1-(1-PAp2)∙(1-PB p3)=p4∙(1-(1-p2)2)×
×(1-(1-PA)2)+(1-p4)(1-(1-PAp2)2)
Pc=p4∙(1-(1-p2)2)(1-(1-PA)2)+(1-p4)(1-(1-PAp2)2) , (4)
3. В исходной схеме элементы 9, 10, 11 соединены параллельно. Заменяем их квазиэлементом D (рисунок 4 ).
Рисунок 4 – Схема с квазиэлементами С и D
Вероятность безотказной работы системы с паралелльным соединением элементов рассчитывается по формуле:
Pпар =1 – i=1n(1-pi) , (5)
где pi – вероятность безотказной работы i-го элемента система.
PD=1- (1-p9)(1-p10)(1-p11),
Элементы 9,10 и 11 равнонадежны, то есть p9 = p10 =p11 ,
тогда вероятность безотказной работы квазиэлемента С:
PD(t) =1-(1-p9)3 , (6)
4

. Элементы 12 , 13 и 14 (рисунок 2) образуют соединение “2 из 3”, которое заменяем элементом E. Преобразованная схема приводится на рисунке 5.
Рисунок 5 – Схема после завершения преобразований
Так как р12 = р13 = р14 , то для определения вероятности безотказной работы квазиэлемента E можно воспользоваться комбинаторным методом . В этом случае вероятность безотказной работы Р E рассчитывается по формуле:
PE= k=mn=3pk=k=mn=3Cnkpk(1-p)n-k, (7)
где m – количество элементов, при которых квазиэлемент исправен
( m =2,3 );
Сnk - биномиальный коэффициент, называемый “числом сочетаний
по k из n“ (т.е. сколькими разными способами можно
реализовать ситуацию “k из n“).
Биномиальный коэффициент определяется по формуле:
Cnk =n!k!(n-k)! , (8)
Подставив количество элементов соединения n = 3 и количество элементов, обеспечивающих его работоспособность k =3,2 в формулу (6), получим:
PF= C33p3(1-p)3-3+C32p2(1-p)3-2=
=3!3!(3-3)!p3 (1-p)0+3!2!(3-2)!p2(1-p)1=
=1∙p3+3p2(1-p) =p3+3p2-3p3=3p2-2p3
Для p = p12
PE =3p122-2p123 , (9)
В результате преобразований получена схема с последовательным соединением элементов 1,15 и квазиэлементов C, D и E (рисунок 5)