При измерении диаметра валиков после шлифовки получены следующие результаты: 86,74 86,77 86,73 86,76 86,74 86,76

При измерении диаметра валиков после шлифовки получены следующие результаты: 86,74 86,77 86,73 86,76 86,74 86,76 86,80 86,74 86,79 86,74 86,75 86,74 86,77 86,74 86,76 86,72 86,74 86,76 86,80 86,75 Составить статистический, интервальный статистический ряд. Построить гистограмму и полигон. Найти для интервального ряда выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану. Для статистического ряда найти и построить эмпирическую функцию распределения.

Записав варианты в возрастающем порядке, получим вариационный ряд
86,72 86,73 86,74 86,74 86,74 86,74 86,74 86,74 86,74 86,75
86,75 86,76 86,76 86,76 86,76 86,77 86,77 86,79 86,8 86,8
Подсчитав частоты ni получим статистическое ряд
Варианта, xi
86,72 86,73 86,74 86,75 86,76 86,77 86,79 86,8
Частота, ni
1 1 7 2 4 2 1 2
Объем выборки n=1+1+7+2+4+2+1+2=20.
Отложив на оси абсцисс варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni; соединив точки xi,ni отрезками прямых, получим полигон частот.
Для построения интервального статистического ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальное количество интервалов
k=1+3,322∙lgn=1+3,322∙lg20=5
Ширина интервалов
h=xmax-xmink=86,8-86,725=0,016
За начало первого интервала примем x0=xmin =86,72. Получим последовательность интервалов.
ni – частота. wi=nin – относительные частоты.
Составим интервальный статистический ряд частот и относительных частот.
i
Интервалы
xi-1;xi
Частота
ni
Относительная частота
wi=nin
1 [86,72; 86,736) 2 0,1
2 [86,736; 86,752) 9 0,45
3 [86,752; 86,768) 4 0,2
4 [86,768; 86,784) 2 0,1
5 [86,784; 86,8] 3 0,15
Σ - 20 1
Для построения гистограммы относительных частот найдем плотность относительной частоты wih.
Интервалы xi-1;xi
[86,720; 86,736) [86,736; 86,752) [86,752; 86,768) [86,768; 86,784) [86,784; 86,8]
Плотность относительной частоты wih
6,25 28,125 12,5 6,25 9,375
Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h=0,016

. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительных частот wih.
Для нахождения выборочной средней xв, выборочной дисперсии Dв заполним вспомогательную таблицу.
i
Середина интервала
xi'
ni
xi'ni
xi'2ni
1 86,728 2 173,456 15043,49197
2 86,744 9 780,696 67720,69382
3 86,76 4 347,04 30109,1904
4 86,776 2 173,552 15060,14835
5 86,792 3 260,376 22598,55379
Сумма 20 1735,12 150532,0783
Выборочное среднее
xв=MX=1ni=15xi'ni=1735,1220=86,756
Выборочная дисперсия
Dв=1ni=15xi'2ni-xв2=150532,078320-86,7562≈0,00038
Выборочное среднее квадратическое отклонение
σв=Dв=0,00038≈0,0195
Исправленная выборочная дисперсия
s2=nn-1Dв=2019∙0,00038=0,0004
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
s=s2=0,0004=0,02
Мода
Mo=xниж+hnMo-nMo-1nMo-nMo-1+nMo-nMo+1=86,736+0,0169-29-2+9-4=86,736+0,11212≈86,7453
xниж=86,736 – нижняя граница интервала с наибольше частотой.
nMo=9 – частота модального интервала.
nMo-1=2 – частота интервала, предшествующего модельному.
nMo+1=4 – частот интервала следующего за модальным.
Медиана
Me=xниж+hn2-mMe-1mMe=86,736+0,016∙202-211=86,736+0,016∙811≈86,7476
xниж=86,736 – нижняя граница медианного интервала, то есть интервала, для которого накопленная частота впервые превышает половину объема наблюдений ≥n2=202=10.
mMe-1=2 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
mMe=2+9=11 – частота медианного интервала.
h=0,016 – ширина интервала.
Для статистического ряда найдем и построим эмпирическую функцию распределения.
Статистический ряд
Варианта, xi
86,72 86,73 86,74 86,75 86,76 86,77 86,79 86,8
Частота, ni
1 1 7 2 4 2 1 2
Найдем эмпирическую функцию распределения Fx.
Наименьшая варианта равна 86,72, следовательно Fx=0 при x≤86,72;
Значение X<86,73, а именно x1=86,72, наблюдалось 1 раз, следовательно Fx=120=0,05 при 86,72<x≤86,73.
Значение X<86,74, а именно x1=86,72 и x2=86,73, наблюдалось 1+1=2 раза, следовательно Fx=220=0,1 при 86,73<x≤86,74.
Значение X<86,75, а именно x1=86,72, x2=86,73 и x3=86,74, наблюдалось 1+1+7=9 раза, следовательно Fx=920=0,45 при 86,74<x ≤86,75.
Значение X<86,76, а именно x1=86,72, x2=86,73 , x3=86,74 и x4=86,75, наблюдалось 1+1+7+2=11 раз, следовательно Fx=1120=0,55 при 86,75<x≤86,76.
Значение X<86,77, а именно x1=86,72, x2=86,73 , x3=86,74 ,x4=86,75 и x5=86,76, наблюдалось 1+1+7+2+4=15 раз, следовательно Fx=1520=0,75 при 86,76<x≤86,77.
Значение X<86,79, а именно x1=86,72, x2=86,73 , x3=86,74 ,x4=86,75, x5=86,76 и x6=86,77, наблюдалось 1+1+7+2+4+2=17 раз, следовательно Fx=1720=0,85 при 86,77<x≤86,79.
Значение X<86,8, а именно x1=86,72, x2=86,73 , x3=86,74 ,x4=86,75, x5=86,76 ,x6=86,77 и x7=86,79, наблюдалось 1+1+7+2+4+2+1=18 раз, следовательно Fx=1820=0,9 при 86,79<x≤86,8.
Так как x=86,8 – наибольшая варианта, то Fx=1 при x>86,8.
Таким образом, эмпирическая функция распределения Fx имеет вид
Fx=0 при x≤86,72;0,05 при 86,72<x≤86,73; 0,1 при 86,73<x≤86,74;0,45 при 86,74<x ≤86,75;0,55 при 86,75<x≤86,76;0,75 при 86,76<x≤86,77;0,85 при 86,77<x≤86,79;0,9 при 86,79<x≤86,8;1 при x>86,8.