Расчет статически определимой фермы Плоская статически определимая ферма, принятая за расчетную схему опоры линии электропередачи,

Расчет статически определимой фермы Плоская статически определимая ферма, принятая за расчетную схему опоры линии электропередачи, изготовлена из стержней стандартного прокатного профиля и нагружена сосредоточенными силами в узлах фермы. 1.1. Определить опорные реакции и усилия во всех стержнях фермы через параметр силы P. Результаты представить в табличной форме. 1.2. Из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям при [σ]=180 МПа определить параметр нагрузки P. Данные: a=2,0 м; b=1,7 м;c=1,5м. Прокатный профиль: Двутавр №10.

1. Количество стержней k=17, количество узлов - n=10. Проверим условие статической определенности:
k=2n-3=2∙10-3=17.
Ферма статически определенная (жесткая и без лишних стержней).
2. Определяем значения опорных реакций.
Fix=0⟹XA=0.
mA=0⟹aRB+aP-2aP=0;⟹RB=P.
mB=0⟹-aYA-aP+2aP=0;⟹YA=RA=P.
Проверка:
Fiy=0⟹YA+RB-P-P=P+P-P-P=0;
Расчеты верны.
Определим синусы и косинусы углов между раскосами и поясами фермы.sinα=ca2+c2=0,6.
-38103810Рис. 1. Плоская ферма.
а) Исходная схема, б) расчетная схема.
A
B
a
L
1
2
3
4
5
6
7
9
10
8
11
D
a
a
α
C
H
E
K
F
а)
b
c
P
P
A
B
a=2 м
б)
b=1,7 м
c=1,5 м
P
P
YA
XA
RB
 
G
12
13
14
15
16
17
β
β
β
β
β
β
α
y
x
a=2 м
a=2 м
00Рис. 1. Плоская ферма.
а) Исходная схема, б) расчетная схема.
A
B
a
L
1
2
3
4
5
6
7
9
10
8
11
D
a
a
α
C
H
E
K
F
а)
b
c
P
P
A
B
a=2 м
б)
b=1,7 м
c=1,5 м
P
P
YA
XA
RB
 
G
12
13
14
15
16
17
β
β
β
β
β
β
α
y
x
a=2 м
a=2 м
cosα=aa2+c2=0,8.
sinβ=ba2+b2=0,648.
cosβ=aa2+b2=0,762.
Определим усилия в стержнях по методу вырезания узлов.
-12701130935N1
N2
A
P
00N1
N2
A
P
Начнем с узла A.
Fx=N1=0;Fy=P+N2=0.
N1=0.
N2=-P.
247653137535B
N1'
N3
N4
α
P
00B
N1'
N3
N4
α
P
247653137535B
N1'
N3
N4
α
P
00B
N1'
N3
N4
α
P
Узел B:
Fx=-N1'-N3cosα=0;Fy=N4+N3sinα+P=0.
N1'=N1=0;
N3=0
N4=-N3sinα-P=-P.
N4=-P.
-177805636260N15
N14
L
P
00N15
N14
L
P
Узел L:
Fx=N15=0;Fy=-P-N14=0.
N15=0.
N14=-P.
266707642225N8
N7
F
P
00N8
N7
F
P
Узел F:
Fx=-N7=0;Fy=-P+N8=0.
N7=0
N8=P.
6985694055N8'
N17
G
N9
β
00N8'
N17
G
N9
β
Узел G:
Fx=-N17-N9cosβ=0;Fy=-N8'-N9sinβ=0.
N8'=N8=P;
N9=-N8'sinβ=-1,543P
N9=-1,543P
N17=-N9cosβ=1,176P.
N17=1,176P.
-697793878882N17'
H
N10
N16
00N17'
H
N10
N16
Узел H:
Fx=N17'-N16=0;Fy=-N10=0.
N10=0
N16=N17'=N17=1,176P.
N16=1,176P.
-392846065162E
N11
N6
N7'
N4'
N9'
N10'
β
β
00E
N11
N6
N7'
N4'
N9'
N10'
β
β
Узел E:
Fx=N7'-N6+N9'cosβ-N11cosβ=0;Fy=-N4'+N10'+N9'sinβ+N11sinβ=0.
N11=N4'-N10'-N9'sinβsinβ=-P-0+1,543P∙0,6480,648=-0,00021P.
N11=-0,00021P≈0.
N6=N7'+N9'cosβ-N11cosβ=0-1,543P∙0,762+0,00021P∙0,762==-1,176P
N6=-1,176P
-22860325755K
N13
N11'
β
β
N16'
N15'
N12
00K
N13
N11'
β
β
N16'
N15'
N12
Узел K:
Fx=N16'-N15'+N11'cosβ-N13cosβ=0;Fy=-N12-N13sinβ-N11'sinβ=0.
N13=N16'-N15'+N11'cosβcosβ==1,176P-0-0,00021P∙0,7620,762=1,543P
N13=1,543P
N12=-N13sinβ-N11'sinβ=-1,543P∙0,648+0,00021P∙0,648=-1,000P
N12=-1,000P
723903623310C
N13'
β
N14'
N5
00C
N13'
β
N14'
N5
Узел C:
Fx=N5+N13'cosβ=0;Fy=N14'+N13'sinβ=0.
N5=-N13'cosβ=-1,543P∙0,762=-1,176P
N5=-1,176P
Первое уравнение системы проверочное:
N5+N13'cosβ=-1,176P+1,543P∙0,762=0,00023P≈0.
Расчеты верны.
Результаты расчетов внесем в следующую таблицу:
Стержень 1 2 3 4 5 6 7 8
Усилие 0
-P
0
-P
-1,176P
-1,176P
0
P
Стержень 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Усилие -1,543P
0
≈0
-P
1,543P
-P
0
1,176P
1,176P
Максимальное по модулю значение усилия в девятом и тринадцатом стержнях:
Nmax=N9=N13=1,543P.
Это значение и берем для расчета параметра P.
По ГОСТ 8239-89 для двутавра № 10, площадь поперечного сечения
A=12,0 см2=1,20∙10-3м2

.
Тогда максимальное напряжение в стержнях
σmax=NmaxA=1,543P1,20∙10-3=1285,83P (Па).
-2324103061335ГОСТ 8239-89
ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ
ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ
Сортамент
h — высота двутавра; b — ширина  полки; s — толщина стенки; t — средняя толщина полки; R — радиус внутреннего закругления; r — радиус закругления полки
00ГОСТ 8239-89
ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ
ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ
Сортамент
h — высота двутавра; b — ширина  полки; s — толщина стенки; t — средняя толщина полки; R — радиус внутреннего закругления; r — радиус закругления полки
По условию прочности при растяжении – сжатии
σmax≤[σ]=180 МПа
1285,83P=180∙106
P=180∙1061285,83=139 987,401 Н≈140 кН.
P≈140 кН.
Ответ:
Стержень 1 2 3 4 5 6 7 8
Усилие 0
-P
0
-P
-1,176P
-1,176P
0
P
Стержень 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Усилие -1,543P
0
≈0
-P
1,543P
-P
0
1,176P
1,176P
P≈140 кН.
Все те стержня, значения которых отрицательные, на самом деле не сжаты, а растянуты