Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС) с тремя заправочными колонками. Если заняты все три колонки,

Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС) с тремя заправочными колонками. Если заняты все три колонки, то машина не встает в очередь, а покидает АЗС. Среднее время заправки автомобиля составляет 3 мин. Интенсивность потока автомобилей – 0,25 ед/мин. 1. Определить пространство состояний и построить граф интенсивностей переходов. 2. Построить матрицу интенсивностей переходов А. 3. Найти распределение числа занятых колонок 4. Найти вероятность отказа в обслуживании. 5. Найти вероятность того, что автомобиль будет заправлен. 6. Среднее число автомобилей, обслуживаемых в единицу времени. 7. Среднее число занятых колонок.

Обозначим состояния по числу возможных автомобилей на АЗС, т.е.: S0 – нет автомобилей на АЗС, S1-S3 – заняты 1-3 колонки соответственно.
Построим соответствующий граф интенсивностей переходов:
Здесь λ=0,25 ед/мин - интенсивность потока автомобилей, μ=13=0,333 ед/мин - интенсивность обслуживания.
Матрица интенсивностей переходов:
A=-0,250,25000,333-0,5880,25000,667-0,9170,25001-1
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ=λt=0,25∙3=0,75
Определяем вероятность отсутствия автомобилей на АЗС:
p0=1k=0nρkk!=1k=030,75kk!≈0,4758
Вычисляем остальные вероятности состояний по формуле:
pk=ρkk!p0
Имеем:
p1=ρ11!p0=0,75∙0,4758≈0,3569
p2=ρ22!p0=0,7522!∙0,4758≈0,1338
p3=ρ33!p0=0,7533!∙0,4758≈0,0335
Получили следующее распределение числа занятых колонок:
k
0 1 2 3
pk
0,4758 0,3569 0,1338 0,0335
Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=p3=0,0335
Вероятность того, что автомобиль будет заправлен:
Pобсл=1-Pотк=1-0,0335=0,9665
Среднее число автомобилей, обслуживаемых в единицу времени:
A=λPобсл=0,25∙0,9665≈0,2416ед в мин=14,496 (ед в час)
Среднее число занятых колонок.
k=At=0,2416∙3=0,7248