Равновесие произвольной плоской системы сил. Определение реакций опор составной конструкции(система двух тел)» 1.Найти силы реакций

Равновесие произвольной плоской системы сил. Определение реакций опор составной конструкции(система двух тел)» 1.Найти силы реакций внешних связей конструкции. 2. Проверить правильность полученных результатов. Конструкция, состоящая из двух тел, соединенных между собой внутренним шарниром в точке D (рис.1) Дано : P=5+N=5+1=6 кН ; F=16-N=16-1=15 кН ; M=2N=2 кНм ; q=N=1 кН/м ; a=0,8+0,2N=0,8+0,2=1 м ; b=3+0,2N=3+0,2=3,2 м ; α=10+5N=10+5=15 град ; Рис.1 Составная конструкция из двух тел Определить реакции внешних связей в точках A,B,C

Распределенная нагрузка интенсивностью q заменяется сосредоточенной силой Q, модуль которой равен
Q=q∙L=1∙3,2=3,2 кН
К механической системе, состоящей из тел 1 и 2, приложены активные силы P, F, Q и активная пара сил с алгебраическим моментом M , а также реакции XA, YA,RB,RC внешних связей. Так как система сил, действующих на совокупность тел 1 и 2 плоская произвольная, то составляются три уравнения
равновесия
FiOXE+RiOXE=0:XA-P∙cos45°+F∙sin15°-RC∙sin15°=0 (1)
FiOYE+RiOYE=0:YA-P∙sin45°-F∙cos15°+RB-Q+RC∙cos15°=0(2)
MDFiE+MDRiE=0 :-YA∙3-M+P∙sin45°∙2-F∙cos15°∙1+
+RB∙2-Q∙3,6+RC∙cos15°∙5,2=0 (3)
Так как имеются три уравнения равновесия, в которые входят четыре неизвестные реакции, то такая система уравнений не решается. Поэтому конструкцию расчленяют по внутренней связи в точке D и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности.
На рис.2 изображено тело 1, которое находится в покое под действием активной силы P, активной пары сил с алгебраическим моментом М, реакции
внешних связей XA и YA и реакции внутренних связей XD, YD
Рис.2 Тело 1
Система сил, действующих на тело1 плоская произвольная, поэтому для нее составляются три уравнения
FiOXE+RiOXE=0: XA-P∙cos45°+XD=0 (4)
FiOYE+RiOYE=0:YA-P∙sin45°+YD=0 (5)
MDFiE+MDRiE=0 :-YA∙3-M+P∙sin45°∙2=0 (6)
Рассмотрим равновесие тела 2, на которое действует активные силы F,Q, реакции внешних связей RB, RC и реакции XD' , YD' внутренней связи в точке D.
Рис.3 Тело 2
Система сил, действующих на тело2 плоская произвольная, поэтому для нее составляются три уравнения
FiOXE+RiOXE=0:-XD'+F∙sin15°-RC∙sin15°=0 (7)
FiOYE+RiOYE=0:-YD'-F∙cos15°+RB-Q+RC∙cos15°=0(8)
MDFiE+MDRiE=0 :-F∙cos15°∙1+RB∙2-Q∙3,6+RC∙cos15°∙
∙5,2=0 (9)
Таким образом, по рис.1-3 составлено девять уравнений равновесия ,в которые вошли шесть неизвестных реакций
Из уравнения (6) определяем YA
-YA∙3-M+P∙sin45°∙2=0
YA=-M+P∙sin45°∙23=-2+6∙0,707∙23=2,16 кН
Из уравнения (5) имеем
YD=-YA+P∙sin45°=-2,16+6∙0,707=2,08 кН
Из уравнения (8) выразим RB
-YD'-F∙cos15°+RB-Q+RC∙cos15°=0
RB=YD'+F∙cos15°+Q-RC∙cos15°=2,08+15∙0,966+3,2-RC∙0,966
RB=19,77-RC∙0,966
Подставим полученное выражение в уравнение (9) и определим RC
-F∙cos15°∙1+(19,77-RC∙0,966)∙2-Q∙3,6+RC∙cos15°∙5,2=0
-15∙0,966∙1+39,54-RC∙1,932-3,2∙3,6+RC∙0,966∙5,2=0
-14,49+39,54-RC∙1,932-11,52+RC∙5,023=0
13,53+RC∙3,091=0
RC=-13,533,091=-4,38 кН
тогда
RB=19,77-RC∙0,966=19,77--4,38∙0,966=24 кН
Из уравнения (7) определяем XD'
-XD'+F∙sin15°-RC∙sin15°=0
XD'=F∙sin15°-RC∙sin15°=15∙0,259--4,38∙0,259=5,02 кН
Из уравнения (4) определяем XA
XA-P∙cos45°+XD=0
XA=P∙cos45°-XD=6∙0,707-5,02=-0,78 кН
Таким образом, при совместном решении уравнений (4)-(9) определяются реакции XA, YA,RB, RC внешних связей в точках А,В,С и реакции XD,YD,XD',YD' внутренней связи механической системы в точке D.
Для проверки полученных результатов расчетов используются уравнения (1), (2), (3)
FiOXE+RiOXE=0:XA-P∙cos45°+F∙sin15°-RC∙sin15°=0=-0,78-
-6∙0,707+15∙0,259--4,38∙0,259=-5,022+5,019=0 (1)
FiOYE+RiOYE=0:YA-P∙sin45°-F∙cos15°+RB-Q+RC∙cos15°=0=
=2,16-6∙0,707-15∙0,966+24-3,2+-4,38∙0,966=26,16-26,16=
=0(2)
MDFiE+MDRiE=0 :-YA∙3-M+P∙sin45°∙2-F∙cos15°∙1+
+RB∙2-Q∙3,6+RC∙cos15°∙5,2=0=-2,16∙3-2+6∙0,707∙2-
-15∙0,966+24∙2-3,2∙3,6+-4,38∙0,966∙5,2=-56,49+56,48=0 (3)
Проверка показала, что расчеты произведены правильно