Схема 2, l1 = 130 cм, l2 = 120 cм, d1 = 1,4 см,

Схема 2, l1 = 130 cм, l2 = 120 cм, d1 = 1,4 см, d2 = 1,2 см, 𝛿 = 0,12 см, [σ] = 120 МПа, материал - бронза твердотянутая, Е = 1,1·105 МПа, 𝛼 = 1,56·10-5 град-1, ΔТ = 15º. Требуется: 1. Определить продольные силы и напряжения в стержнях проводников от монтажных усилий после их сборки. 2. Определить температурные усилия и напряжения в проводниках при температурном воздействии от проходящего тока после сборки системы. 3. Определить суммарные механические напряжения в стержнях от монтажных усилий и температурного воздействия, сделать вывод о прочности системы. Рис.2.1. Схема 2

1. Уточнение условия задачи.
1.1. По условию задачи не задан коэффициент k, принимаем самостоятельно k=2.
1.2. Не задана сила Р, но которую можно определить двояким способом:
а) по условию закрытия зазора и с последующим увеличением ее в n раз для появления монтажных напряжений, т.е. опять задаваться значением величины n.
1- ый вариант (имеет место зазор 𝛿)
На первом этапе решения считаем, что дан зазор 𝛿 и определим при каком значении силы Р он закроется.
Разбиваем длину бруса на три силовых участка как показано на pис.2.2, проводим в пределах каждого - сечения и используя метод сечений находим продольные силы.
Рис.2.2.
Участок I (СВ): ΣFix = 0, - N1 + P = 0, N1 = P.
Участок II (ВА): ΣFix = 0, - N2 + P = 0, N2 = P.
Участок II (АО): ΣFix = 0, - N3 + P + kP = 0, N3 = (1+k)·P.
По определению, согласно закона Гука: , на участках, где .
Удлинения участков равны:
Δl1 = N1·l1/(E·F1) = P·l1/(E·F1) = σ1·l1/E ,
Δl2 = N2·l2/(3E·F2) = P·l2/(3E·F2) = σ2·l2/3E ,
Δl3 = N3·2l2/(E·F2) = 2·(1+k)·P·l2/(3E·F2) = 2·σ3·l2/3E
Удлинение всего стержня равно величине зазора.
P·l1/(E·F1) + P·l2/(3E·F2) + 2·(1+k)·P·l2/(3E·F2) = 𝛿, отсюда находим:
P = Е·𝛿/[ l1/F1 + (3+2·k)·l2/3F2], здесь площади сечений равны:
F1 = π·(d1)2/ 4 = 3,14·1,42/4 = 1,54 см2, F2 = π·(d2)2/ 4 = 3,14·1,22/4 = 1,13 см2.
Е = 1,1·105 МПа = 1,1·1011 Н/м2 = 1,1·107 Н/см2.
Примечание. Заданное изображение не соответствует заданным величинам диаметров участков, (участки II и III) - тоньше, чем участок I, а должно быть - на оборот.
P = 1,1·107·0,12/[130/1,54 + (3 +2·2)·120/(3·1,13)] = 3,97·103 H = 3,97 кH.
При этом значении силы зазор станет равны нулю.
Определим продольные силы, напряжения и перемещения стержня при действии Р.
N1 = P = 3,97 кH.
N2 = P = 3,97 кH.
N3 = (1+k)·P = (1+2)·3,97 = 11,91 кН.
σ1 = N1/F1 = Р/F1 = 3,97·103/(1,54·10-4) = 25,78·106 Н/м2 = 25,78 МПа.
σ2 = N2/F2 = Р/F2 = 3,97·103/(1,13·10-4) = 35,13 МПа.
σ3 = N3/F2 = (1+k)·P/F2 = (1+2)· 3,97·103/(1,13·10-4) = 105,40 МПа.
Δl1 = 25,78·1,30/1,1·105 = 0,305·10-3 м = 0,305 мм.
Δl2 =35,13·1,20/3·1,1·105 = 0,128·10-3 м = 0,128 мм.
Δl3 =105,40·2·1,20/3·1,1·105 = 0,766·10-3 м = 0,767 мм.
Проверка: ΣΔli = 0,305+0,128 + 0,767 = 1,20 мм = 0,12 см = 𝛿.
u(0) = uO = 0, перемещение в левой жесткой заделке равно нулю.
uА = uO + Δl3 = 0 + 0,767 = 0,767 мм.
uВ = uА + Δl2 = 0,767 + 0,128 = 0,895 мм.
uС = uВ + Δl1 = 0,895 + 0,305 = 1,20 мм = 0,12 см

. По полученным результатам строим эпюры (рис.2.3).
Увеличиваем силу Р в два раза,т.е. считаем, что Р = 2·3,97 = 7,94кН.
В этом случае в правой жесткой заделке возникает реакция RC и система становится один раз статически неопределимой.
Освобождаем систему от правой жесткой заделки С, заменяя ее действие реакцией RC, возникающей в ней и составляем уравнение деформации для определения этой реакции.
Определяем продольные усилия, возникающие на участках.
Рис.2.3. Расчетная схема и эпюры при значении силы, закрывающий зазор 𝛿.
N1 = P - RC = 13,94 - RC, (кН),
N2 = P - RC = 13,94 - RC, (кН),
N3 = 3P - RC = 41,91 - RC, (кН).
Удлинения участков равны:
Δl1 = N1·l1/(E·F1) = (13,94 - RC)·l1/(E·F1) = σ1·l1/E ,
Δl2 = N2·l2/(3E·F2) = (13,94 - RC)·l2/(3E·F2) = σ2·l2/3E ,
Δl3 = N3·2l2/(E·F2) = 2·(41,91 - RC)·l2/(3E·F2) = 2·σ3·l2/3E
Уравнение деформации бруса имеет вид: Δl1 + Δl2 + Δl3 = 0, или:
(13,94 -RC)·l1/(E·F1) + (13,94 - RC)·l2/(3E·F2) + 2·(41,91 - RC)·l2/(3E·F2) = 0.
Находим предварительно комплексы величин:
А1 = l1/(E·F1) = 130/(1,1·107·1,54) = 7,67·10-6 см/Н = 7,67·10-3 см/кН
А2 = l2/(3E·F2) = 120/(3·1,1·107·1,13) = 3,22·10-3 см/кН
А3 = 2·l2/(3E·F2) = 2·120/(3·1,1·107·1,13) = 6,44·10-3 см/кН