Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Научиться находить точечные и интервальные

Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Научиться находить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины. Выборка из случайной величины X задана в виде интервального вариационного ряда: xi 10 - 14 14 - 18 18 - 22 22 - 26 26 - 30 30 - 34 ni 6 18 41 64 14 7 М=1:a0=10, h=4;N=7 Требуется: а) построить гистограмму; б) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии; в) предполагая нормальный закон распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (доверительная вероятность γ=0,95).

Для вычисления математического ожидания и дисперсии составим таблицу C=x3=24, h=4, n=150:
ai-1-ai
ni
xi=ai-1+ai2
zi
zi∙ni
zi2∙ni
10 – 14 6 12 -3 -36 108
14 – 18 18 16 -2 -32 64
18 – 22 41 20 -1 -20 20
22 – 26 64 24 0 0 0
26 – 30 14 28 1 28 28
30 – 34 7 32 2 64 128
Σ
150 - - 4 348
Получаем
z=zinin=4150≈0,0267
z2=zi2nin=348150=2,32
sz2=2,32-0,02672≈2,3193
sz=sz2=2,3193≈1,5229
Тогда математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:
x≈0,0267∙4+24=24,1068
s2=150150-1∙2,3193∙42≈37,3579
s=s2=37,3579≈6,1121
По таблице находим критерий Стьюдента для заданной вероятности:
tγ=t0,95;150≈1,98
Тогда
tγ∙sn=1,98∙6,1121150≈0,9881
Отсюда левая и правая границы доверительного интервала
x-tγ∙sn=24,1068-0,9881=23,1188
x+tγ∙sn=24,1068+0,9881=25,0949
Итак, с вероятностью 0,95 утверждаем, что величина математического ожидания принадлежит интервалу 23,1188;25,0949.