В магазин самообслуживания поступает простейший поток покупателей с интенсивностью 200 человек в час. В

В магазин самообслуживания поступает простейший поток покупателей с интенсивностью 200 человек в час. В течение дня их обслуживают 3 контролера-кассира с интенсивностью 90 покупателей в час. Определить основные характеристики СМО и эффективность ее работы в течение дня. Интенсивность входного потока покупателей в часы «пик» возрастает до величины 400 покупателей в час, а в часы «спада» достигает величины 100 покупателей в час. Определите необходимое число контролеров-кассиров в часы «пик» и часы «спада», обеспечивающих такую же длину очереди и вероятность ее образования, как и в номинальном режиме.

Имеем многоканальную СМО с ожиданием.
1. Рассмотрим ее работу в номинальном режиме.
Определяем нагрузку на СМО:
ω=λμ=20090=209
Поскольку ω<n, то стационарный режим работы существует и можно вычислить показатели эффективности работы СМО.
Находим вероятность отсутствия заявок в СМО:
p=1k=0nωkk!+ωn+1n!n-ω=1k=03209kk!+2093+13!3-209≈0,0785
Определим вероятность образования очереди:
Pоч=ωn+1n!n-ω∙p=2093+13!3-209∙0,0785≈0,4050
Относительная пропускная способность системы равна Q=1 (все заявки рано или поздно будут обслужены), а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входного потока:
A=λQ=λ=200 (заявок в час)
Среднее число занятых каналов
k=ω=209≈2,222
Средняя длина очереди ожидания:
Lоч=ωn+1n∙n!1-ωn2p=2093+13∙3!1-209∙32∙0,0785≈1,5814
Среднее время ожидания обслуживания:
Wоч=Lочλ=1,5814200≈0,0079час=0,474(мин)
2

. Рассмотрим работу системы в часы «пик».
Нагрузка на СМО в этом случае:
ω=λμ=40090=409
Т.к. интенсивность увеличилась вдвое, в столько же раз увеличим число каналов. Тогда вероятность отсутствия заявок в СМО:
p=1k=0nωkk!+ωn+1n!n-ω=1k=06409kk!+4096+16!6-409≈0,0098
А вероятность образования очереди:
Pоч=ωn+1n!n-ω∙p=4096+16!6-409∙0,0098≈0,3000
Также вычислим среднюю длину очереди ожидания:
Lоч=ωn+1n∙n!1-ωn2p=4096+16∙6!1-409∙62∙0,0098≈1,1571
Как видим, в час пик необходима работа 6 кассиров, чтобы характеристики СМО оставались примерно такими же, как и в номинальном режиме (при числе касс, равным 5 нагрузка на СМО будет лишь незначительно меньше числа каналов обслуживания, что приведет к заметному увеличению средней длины очереди).
3