В таблице приведены данные по объему продаж мазута компании API в странах Восточной Европы

В таблице приведены данные по объему продаж мазута компании API в странах Восточной Европы в период с 2016 по 2020 гг. (Данные приведены в тыс. баррелей за каждый квартал года). Год Период Объем продаж (тыс. баррелей) 2016 Октябрь-декабрь 8 2017 Январь-март 18 Апрель-июнь 20 Июль-сентябрь 16 Октябрь-декабрь 10 2018 Январь-март 21 Апрель-июнь 23 Июль-сентябрь 17 Октябрь-декабрь 13 2019 Январь-март 22 Апрель-июнь 24 Июль-сентябрь 21 Октябрь-декабрь 15 2020 Январь-март 25 Дать графическое изображение временного ряда. В первом приближении, визуально определить какой модели (мультипликативной или аддитивной) соответствуют данные. Определить периодичность данных в структуре ряда с помощью коэффициента автокорреляции. Построить кореллограмму. Применить метод скользящих средних для сглаживания исходных данных. При этом варьировать размер шаблона сглаживания в заданном диапазоне; построить регрессию сглаженных данных, применив соответствующую функцию; оценить качество сглаживания (остаточную колеблемость) с помощью коэффициента корреляции или детерминации; при необходимости (четный период) центрировать осредненные значения с помощью шаблона с весами. Построить обе модели временного ряда (мультипликативную и аддитивную). Сравнить модели по критерию остаточной компоненты. Выбрать более точную. Исследовать временной ряд, применив другие методы сглаживания – скользящая медиана, экспоненциальное сглаживание, фильтр Хемминга. При исследовании учитывать п.3 – вариация размера шаблона. Сравнить параметры ряда, полученные с помощью различных моделей и методом исследования – уравнение тренда, значения сезонных компонент, характеристик остаточной компоненты.

Построим временной ряд.
Выбор в пользу аддитивной или мультипликативной модели осуществляется на основе анализа динамики временного ряда. Если периодические колебания значений временного ряда имеют относительно постоянную амплитуду, то предпочтительнее использовать аддитивную модель.
Мультипликативную модель логичнее использовать в ситуациях, когда амплитуда колебаний изменяется с течением времени.
Представленная па рисунке динамика объема продаж хорошо описывается именно аддитивной моделью.
Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х1, Х2, ... Хn-L и рядом Х1+L, Х2+L, ... Хn, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка rt,t-1. Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка rt,t-2 и т.д.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.
Если наиболее высоким оказывается значение rt,t-1, то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался rt,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.
Если ни один из rt,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
• либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
• либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.
Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):
Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 1
8 18
18 20
20 16
16 10
10 21
21 23
23 17
17 13
13 22
22 24
24 21
21 15
15 25
Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка.
x y x2 y2 x*y
8 18 64 324 144
18 20 324 400 360
20 16 400 256 320
16 10 256 100 160
10 21 100 441 210
21 23 441 529 483
23 17 529 289 391
17 13 289 169 221
13 22 169 484 286
22 24 484 576 528
24 21 576 441 504
21 15 441 225 315
15 25 225 625 375
228 245 4298 4859 4297
Параметры уравнения авторегрессии.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(228;13) = 17.54
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(245;13) = 18.85
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(4297;13) = 330.54
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(4298;13) - 17.54\s\up4(2) = 23.02
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(4859;13) - 18.85\s\up4(2) = 18.59
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(23.02) = 4.8
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(18.59) = 4.31
Коэффициент автокорреляции.
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-1:
EQ rt,t-1 = EQ \f(\x\to(xt • xt-1) -\x\to(xt) • \x\to(xt-1) ;S(xt) • S(xt-1)) = EQ \f(330.54 - 17.54 • 18.85;4.8 • 4.31) = 0.000286
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rt,t-1 < 0.3: слабая;
0.3 < rt,t-1 < 0.5: умеренная;
0.5 < rt,t-1 < 0.7: заметная;
0.7 < rt,t-1 < 0.9: высокая;
0.9 < rt,t-1 < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между рядами - слабая и прямая.
Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 2
8 20
18 16
20 10
16 21
10 23
21 17
23 13
17 22
13 24
22 21
24 15
21 25
Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка.
x y x2 y2 x*y
8 20 64 400 160
18 16 324 256 288
20 10 400 100 200
16 21 256 441 336
10 23 100 529 230
21 17 441 289 357
23 13 529 169 299
17 22 289 484 374
13 24 169 576 312
22 21 484 441 462
24 15 576 225 360
21 25 441 625 525
213 227 4073 4535 3903
Параметры уравнения авторегрессии.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(213;12) = 17.75
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(227;12) = 18.92
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(3903;12) = 325.25
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(4073;12) - 17.75\s\up4(2) = 24.35
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(4535;12) - 18.92\s\up4(2) = 20.08
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(24.35) = 4.93
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(20.08) = 4.48
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-2:
EQ rt,t-2 = EQ \f(\x\to(xt • xt-2) -\x\to(xt) • \x\to(xt-2) ;S(xt) • S(xt-2)) = EQ \f(325.25 - 17.75 • 18.92;4.93 • 4.48) = -0.476
Сдвигаем исходный ряд на 3 уровня. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 3
8 16
18 10
20 21
16 23
10 17
21 13
23 22
17 24
13 21
22 15
24 25
Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка.
x y x2 y2 x*y
8 16 64 256 128
18 10 324 100 180
20 21 400 441 420
16 23 256 529 368
10 17 100 289 170
21 13 441 169 273
23 22 529 484 506
17 24 289 576 408
13 21 169 441 273
22 15 484 225 330
24 25 576 625 600
192 207 3632 4135 3656
Параметры уравнения авторегрессии.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(192;11) = 17.45
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(207;11) = 18.82
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(3656;11) = 332.36
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(3632;11) - 17.45\s\up4(2) = 25.52
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(4135;11) - 18.82\s\up4(2) = 21.79
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(25.52) = 5.05
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(21.79) = 4.67
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-3:
EQ rt,t-3 = EQ \f(\x\to(xt • xt-3) -\x\to(xt) • \x\to(xt-3) ;S(xt) • S(xt-3)) = EQ \f(332.36 - 17.45 • 18.82;5.05 • 4.67) = 0.165
Сдвигаем исходный ряд на 4 уровня. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 4
8 10
18 21
20 23
16 17
10 13
21 22
23 24
17 21
13 15
22 25
Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка.
x y x2 y2 x*y
8 10 64 100 80
18 21 324 441 378
20 23 400 529 460
16 17 256 289 272
10 13 100 169 130
21 22 441 484 462
23 24 529 576 552
17 21 289 441 357
13 15 169 225 195
22 25 484 625 550
168 191 3056 3879 3436
Параметры уравнения авторегрессии.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(168;10) = 16.8
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(191;10) = 19.1
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(3436;10) = 343.6
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(3056;10) - 16.8\s\up4(2) = 23.36
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(3879;10) - 19.1\s\up4(2) = 23.09
Среднеквадратическое отклонение

.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(23.36) = 4.83
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(23.09) = 4.81
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-4:
EQ rt,t-4 = EQ \f(\x\to(xt • xt-4) -\x\to(xt) • \x\to(xt-4) ;S(xt) • S(xt-4)) = EQ \f(343.6 - 16.8 • 19.1;4.83 • 4.81) = 0.978
Сдвигаем исходный ряд на 5 уровней. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 5
8 21
18 23
20 17
16 13
10 22
21 24
23 21
17 15
13 25
Расчет коэффициента автокорреляции 5-го порядка.
x y x2 y2 x*y
8 21 64 441 168
18 23 324 529 414
20 17 400 289 340
16 13 256 169 208
10 22 100 484 220
21 24 441 576 504
23 21 529 441 483
17 15 289 225 255
13 25 169 625 325
146 181 2572 3779 2917
Параметры уравнения авторегрессии.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(146;9) = 16.22
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(181;9) = 20.11
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(2917;9) = 324.11
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(2572;9) - 16.22\s\up4(2) = 22.62
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(3779;9) - 20.11\s\up4(2) = 15.43
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(22.62) = 4.76
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(15.43) = 3.93
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-5:
EQ rt,t-5 = EQ \f(\x\to(xt • xt-5) -\x\to(xt) • \x\to(xt-5) ;S(xt) • S(xt-5)) = EQ \f(324.11 - 16.22 • 20.11;4.76 • 3.93) = -0.114
Коррелограмма
Лаг (порядок) rt,t-L
1 0.000286
2 -0.4758
3 0.1654
4 0.9783
5 -0.1143
Строим график коррелограммы:
Вывод: в данном ряду динамики тенденции не наблюдается (rt,t-1 = 0.000286→0). А также имеются периодические колебания с периодом, равным 4 (rt,t-4=0.98 → 1).
Одним из эмпирических методов сглаживания является метод скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.
t y ys
Формула
(y - ys)2
1 8 - - -
2 18 15.333 (8 + 18 + 20)/3 7.111
3 20 18 (18 + 20 + 16)/3 4
4 16 15.333 (20 + 16 + 10)/3 0.444
5 10 15.667 (16 + 10 + 21)/3 32.111
6 21 18 (10 + 21 + 23)/3 9
7 23 20.333 (21 + 23 + 17)/3 7.111
8 17 17.667 (23 + 17 + 13)/3 0.444
9 13 17.333 (17 + 13 + 22)/3 18.778
10 22 19.667 (13 + 22 + 24)/3 5.444
11 24 22.333 (22 + 24 + 21)/3 2.778
12 21 20 (24 + 21 + 15)/3 1
13 15 20.333 (21 + 15 + 25)/3 28.444
14 25 - - -
116.667
Стандартная ошибка (погрешность) рассчитывается по формуле:
EQ et = \r(\f(∑(yi - Si-1)2;m))
где i = (t-m-1, t)
EQ et = \r(\f(116.67;3)) = 6.236
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑t = ∑y
a∑t + b∑t2 = ∑y*t
t y t2 y2 t y
1 15.333 1 235.101 15.333
2 18 4 324 36
3 15.333 9 235.101 45.999
4 15.667 16 245.455 62.668
5 18 25 324 90
6 20.333 36 413.431 121.998
7 17.667 49 312.123 123.669
8 17.333 64 300.433 138.664
9 19.667 81 386.791 177.003
10 22.333 100 498.763 223.33
11 20 121 400 220
12 20.333 144 413.431 243.996
78 219.999 650 4088.628 1498.66
Ср.знач. 18.333 54.167 340.719 124.888
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a + 78b = 220
78a + 650b = 1498.66
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение
Получаем a = 15.212, b = 0.48
Уравнение тренда:
y = 0.48 t + 15.212
Построение аддитивной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние (гр. 3 таблицы). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 4 табл.).
t yt
Скользящая средняя
Оценка сезонной компоненты
1 8 - -
2 18 15.5 2.5
3 20 16 4
4 16 16.8 -0.8
5 10 17.5 -7.5
6 21 17.8 3.3
7 23 18.5 4.5
8 17 18.8 -1.8
9 13 19 -6
10 22 20 2
11 24 20.5 3.5
12 21 21.3 -0.3
13 15 - -
14 25 - -
Шаг 2. Используем оценки сезонной компоненты для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Показатели
1 2 3 4
1 - 2.5 4 -0.75
2 -7.5 3.25 4.5 -1.75
3 -6 2 3.5 -0.25
4 - -
Всего за период
-13.5 7.75 12 -2.75
Средняя оценка сезонной компоненты
-6.75 2.583 3 -0.688
Скорректированная сезонная компонента, Si -6.286 3.047 3.464 -0.224
Для данной модели имеем:
-6.75 + 2.583 + 3 -0.688 = -1.854
Корректирующий коэффициент: k=-1.854/4 = -0.464
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты Si и заносим полученные данные в таблицу.
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр. 4 табл.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y*t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
14a0 + 105a1 = 256.24
105a0 + 1015a1 = 2050.16
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a1 = 0.126, a0 = 17.354
Среднее значение
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(256.24;14) = 18.3
t y t2 y2 t*y y(t) EQ (yi-\x\to(y))2 (y-y(t))2
1 14.286 1 204.103 14.286 17.481 16.131 10.203
2 14.953 4 223.596 29.906 17.607 11.221 7.044
3 16.536 9 273.454 49.609 17.734 3.12 1.433
4 16.224 16 263.217 64.896 17.86 4.322 2.677
5 16.286 25 265.249 81.432 17.987 4.066 2.891
6 17.953 36 322.315 107.719 18.113 0.122 0.0256
7 19.536 49 381.673 136.755 18.24 1.522 1.682
8 17.224 64 296.665 137.792 18.366 1.164 1.304
9 19.286 81 371.967 173.578 18.493 0.968 0.63
10 18.953 100 359.221 189.531 18.619 0.423 0.112
11 20.536 121 421.746 225.901 18.745 4.989 3.208
12 21.224 144 450.456 254.688 18.872 8.533 5.532
13 21.286 169 453.113 276.724 18.998 8.902 5.235
14 21.953 196 481.94 307.344 19.125 13.325 7.999
Итого
256.24 1015 4768.715 2050.161 256.24 78.807 49.976
Шаг 4