Заданы точки A(-1;2;-2), B(0;2;-1), C(2;-1;3), D(-1;-2;1). Найдите: 1) скалярное произведение и угол АВС; 2) векторное произведение

Заданы точки A(-1;2;-2), B(0;2;-1), C(2;-1;3), D(-1;-2;1). Найдите: 1) скалярное произведение и угол АВС; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ABCD; 4) проекцию точки А на прямую BD; 5) уравнения плоскостей ABC, ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки А на плоскость BCD, и проекцию точки А на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM, где М – точка пересечения медиан треугольника АВС.

Найдем координаты векторов :
Находим скалярное произведение:
Угол АВС найдем как угол между векторами по формуле
2) Найдем векторное произведение векторов :
3) Найдем смешанное произведение векторов :
Объем пирамиды ABCD равен объема параллелепипеда, построенного на векторах . В свою очередь, объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов.
Тогда объем пирамиды будет равен:

4) Находим уравнение прямой BD как уравнение прямой, проходящей через точку B(0;2;-1) и имеющей направляющим вектором вектор :
.
Находим уравнение плоскости, проходящей через точку A(-1;2;-2) перпендикулярно прямой BD, как уравнение плоскости, имеющей нормальным вектором вектор :

Находим проекцию А1 точки A(-1;2;-2) на прямую , как точку пересечения прямой BD и плоскости из решения системы:
5) Чтобы получить уравнение плоскости ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т.е

. вектор, перпендикулярный векторам . Одним из таких векторов является векторное произведение . Находим его:
В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, . Используем уравнение плоскости, проходящей через точку A(-1;2;-2) перпендикулярно вектору :
Аналогично, находим уравнение плоскости ABD.
Угол α между плоскостями ABC и ABD найдем как угол между их нормальными векторами