Тело, принимаемое за материальную точку, движется из точки A по наклонной плоскости, составляющей угол

Тело, принимаемое за материальную точку, движется из точки A по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом в течение τ с. Коэффициент трения скольжения на участке AB равен f . В точке B тело покидает плоскость и падает в точку C , положение которой задается величинами d, h (рис. 10). . Дано: =30; l=2м; vA=0; f =0,1; d=3м Требуется найти: h и Рис. 10. Заданная схема

1. Исследуем движение тела на участке АВ.
Составляем дифференциальное уравнение движения.
Для этого выбираем произвольный момент времени и изображаем в этот момент тело на участке АВ и действующие на него силы (рис. 11) . Записываем в векторной форме основное уравнение динамики точки:
,
где – сила тяжести, – нормальная реакция опоры, - сила трения скольжения.
Записываем уравнение основное уравнение динамики в проекциях на оси :
Сила трения при скольжении определяется законом Кулона: . Чтобы найти нормальную реакцию опоры , используем условие постоянного контакта тела с опорной поверхностью (уравнение связи):
.
Тогда и из второго уравнения системы следует , и тогда . Подставляем это выражение для силы трения в первое уравнение системы получаем
,
или
Обозначим:
Получаем дифференциальное уравнение движения:
.
Интегрируем дифференциальное уравнение дважды, получаем
;
.
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при и
Составим уравнения, полученные при интегрировании, для
; .
Найдем постоянные:
, .
Тогда
;
.
Для момента, когда тело покидает участок,
; ,
т.е

. Чтобы найти нормальную реакцию опоры , используем условие постоянного контакта тела с опорной поверхностью (уравнение связи):
.
Тогда и из второго уравнения системы следует , и тогда . Подставляем это выражение для силы трения в первое уравнение системы получаем
,
или
Обозначим:
Получаем дифференциальное уравнение движения:
.
Интегрируем дифференциальное уравнение дважды, получаем
;
.
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при и
Составим уравнения, полученные при интегрировании, для
; .
Найдем постоянные:
, .
Тогда
;
.
Для момента, когда тело покидает участок,
; ,
т.е