Тонкое полукольцо радиусом R =10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ =1 мкКл/м.

Тонкое полукольцо радиусом R =10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ =1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится заряд q =20 нКл. Определить силу взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца. Дано: =10 см = 0,1 м =1 мкКл/м = 10-6 Кл/м =20 нКл = 2∙10-8 Кл Найти: F ― ?

Сила, с которой действует поле заряженного полукольца на помещенный в его центре заряд , равна:
F=qE
где напряженность поля в центре полукольца.
Выделим на полукольце бесконечно малый его участок длиной , который будет нести на себе бесконечно малый заряд , Рассматривая заряд как точечный, запишем напряженность поля этого заряда в центре полукольца:
dE=kdqεR2
где =9∙109 Н∙м2/Кл2 – постоянная величина; диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится система (будем считать, что этой средой является вакуум, тогда =1).
Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля в центре полукольца будет равна сумме напряженностей полей всех , которые можем выделить на полукольце:
E=0EdE
Поскольку на полукольце всегда найдутся два таких симметрично расположенных (относительно оси ) заряда , для которых сумма компонент будет равна нулю (), тогда напряженность результирующего поля в рассматриваемой точке пространства будет определяться лишь суммой компонент всех :
E=0EdEx=0EdEcosα=0qkdqεR2cosα=kτεR20qdlcosα
Согласно построению рисунка:
dl=Rdα
как длина дуги радиуса , лежащая против центрального угла .
Таким образом:
E=0EdEx=kτεR20πRdlcosα=kτεR2-90∘-90∘Rcosαdα=kτεR-90∘-90∘cosαdα=
=kτεRsinα|-90∘90∘=kτεRsin90∘-sin-90∘=kτεR1+1=2kτεR
Сила, действующая в центре полукольца на заряд :
F=qE=2kτqεR
Результат расчета:
F=2⋅9⋅109⋅10-6⋅2⋅10-81⋅0,1=3,6⋅10-3 (Н)
Ответ: F=3,6⋅10-3 Н=3,6 (мН)