В момент t=0 неограниченная струна возмущена начальным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис. В

В момент t=0 неограниченная струна возмущена начальным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис. В какой точке x и в какой момент времени t>0 отклонение струны будет максимальным? Какова величина этого отклонения?

Для поперечного смещения струны u(x,t) имеем следующую задачу Коши для одномерного волнового уравнения
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2, -∞<x<+∞.
(1)
Начальные условия
ux,0=φx, utx,0=ψx=0.
(2)
где φx − начальное отклонение струны представлено на рисунке.
Для решения задачи Коши (1), (2) применим формулу Даламбера.
ux,t=12φx+at+φ(x-at)+12ax-atx+atψξdξ.
В нашем случае ψx=0, решение имеет вид
ux,t=12φx+at+φ(x-at).
Таким образом, в момент времени t форма струны представляет сумму двух волн: одна волна 12φ(x+at) распространяется со скоростью a влево, другая волна 12φ(x-at) распространяется со скоростью a вправо . Таким образом, графиком формы струны будет сумма двух графиков: 12φ(x), смещенного влево на расстояние at и 12φ(x), смещенного вправо на at.
На рисунке пунктиром изображены две характеристики: характеристика вдоль которой распространяется вправо пик первого возмущения (находящегося в начальный момент в точке α1+β12 и характеристика вдоль которой распространяется влево пик второго возмущения (находящегося в начальный момент в точке α2+β22

. Таким образом, графиком формы струны будет сумма двух графиков: 12φ(x), смещенного влево на расстояние at и 12φ(x), смещенного вправо на at.
На рисунке пунктиром изображены две характеристики: характеристика вдоль которой распространяется вправо пик первого возмущения (находящегося в начальный момент в точке α1+β12 и характеристика вдоль которой распространяется влево пик второго возмущения (находящегося в начальный момент в точке α2+β22