Вычислить оценки среднего, дисперсии и коэффициенты корреляции между составляющими двумерного случайного вектора, с доверительным

Вычислить оценки среднего, дисперсии и коэффициенты корреляции между составляющими двумерного случайного вектора, с доверительным интервалом 0,9. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на X и X на Y.

Задан двумерный вектор случайных чисел:
40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 ∑
10-15 2 3 0 0 0 0 5
15-20 0 4 4 1 0 0 9
20-25 0 1 10 9 1 0 21
25-30 0 1 4 5 3 0 13
30-35 0 0 1 3 4 0 8
35-40 0 0 0 0 2 2 4
∑ 2 9 19 18 10 2 60
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 1
Для упрощения вычислений целесообразно перейти к условным вариантам:
ui= xi*-dxhx; vj= yj*-dyhy
где hx и hy - ширина интервала, dx и dy- значение среднего xi* или yj* соответственно, которое встречается с наибольшей частотой. Все результаты заносим в таблицу №2.
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 2
  Интерв. по X 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100      
Интерв. по Y vj
ui  nj
njvj
njvj2
-3 -2 -1 0 1 2
10-15 -3 2 3 0 0 0 0 5 -15 45
15-20 -2 0 4 4 1 0 190500171450000
9 -18 36
20-25 -1 0 1 10 9 1 0 21 -21 21
25-30 0 0 1 4 5 3 0 13 0 0
30-35 1 0 0 1 3 4 0 8 8 8
35-40 2 0 0 0 0 2 2 4 8 16
ni
  2 9 19 18 10 2 ∑=60 ∑=-38 ∑=126
niui
  -6 -18 -19 0 10 4 ∑=-29    
niui2
  18 36 19 0 10 8 ∑=91    
Находим следующие суммы: ni= nj, niui, njvj, niui2, njvj2 и заносим их в таблицу

. Далее вычислим сумму 16vj16niui, для этого находим: для первой строчки j=1,
т. е. v116niui= -32*-3+3*-2=36
для второй строчки j=2,
т. е. v216niui= -24*-2+4*-1+1*0=24
и т. д. для остальных строчек получаем: v316niui=11, v416niui=0, v516niui=3, v616niui=12
В результате полученные значения для всех 6-ти строк суммируем и получаем итоговую сумму:
16vj16niui=36+24+11+0+3+12=86.
Для проверки вычислений проводим аналогичный расчет, но с заменой местами строк и столбцов, а именно находим сумму 16ui16njvj. Если расчеты произведены верно, то результаты сумм будут совпадать:
16ui16njvj=86.
Далее находим точечные оценки среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции соответственно:
x= hxniuin+dx=10 -2960+75=70,
y= hynjvjn+dy=5 -3860+25=22,
Dx=hx21n-1niui2-(niui)2n=10015991--29260=13
Dy=hy21n-1njvj2-(njvj)2n=25159126--38260=43
rb=(16vj16niui-(niui)(njvj)n)1niui2-(niui)2n(njvj2-(njvj)2n)= 0,76
Используя преобразования Фишера, найдем нормализирующее преобразование случайной величины Z:
Z=0.5ln1+rb1-rb=0.5ln1+0.761-0.76=1
Из приложения 4 находим квантиль нормального распределения при условии, что задан доверительный интервал 0.90: U0.90 = 1,282.
Вычисляем доверительный интервал для Z:
Z-U1-a2n-3<Z<Z+U1-a2n-3
1-0,17<Z<1+0.17
0.83<Z<1.17
С помощью функции (3) (Приложение 5) подбираем значения для доверительного интервала коэффициента корреляции:
Для Z = 0.83, коэффициент корреляции r=0,7;
Для Z = 1,17, коэффициент корреляции 𝑟 =0,8;
поэтому 0,7 < rb < 0,8