Задан случайный процесс xt=u(tk+m). Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайных процессов: yt=dxtdt;z(t)=0tx(s)ds Где u

Задан случайный процесс xt=u(tk+m). Найти математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайных процессов: yt=dxtdt;z(t)=0tx(s)ds Где u – случайная величина с известной плотностью распределения: fu=asinu;u∈0;π20; u∉0;π2 km=20 k=2;m=0;xt=u(t2+5)

Найдем константу a плотности распределения случайной величины u используя свойство плотности распределения:
-∞+∞fxdx=1
В нашем случае:
0π/2asinudu=-acosu0π2=a a=1
Т.е. плотность распределения случайной величины u имеет вид:
fu=sinu;u∈0;π20; u∉0;π2
Математическое ожидание и дисперсию соответственно случайной величины u найдем по формулам:
Mx=-∞+∞xfxdx;Dx=-∞+∞x2fxdx-M(x)2
В нашем случае:
Mu=0π/2usinudu=sinu-ucosu0π2=1
Du=0π/2u2sinudu-12=dv=sinuduv=-cosut=u2dt=2udu=
=-u2cosu0π2=0+20π2ucosudu-1=dv=cosuduv=sinut=udt=du
=2usinu0π2-0π2sinudu-1=2π2+cosu0π2=π-3
Находим математическое ожидание случайного процесса xt:
Mxt=Mut2+5=MuMt2+5=t2+5
Тогда централизованный случайный процесс:
xt=xt-Mxt=ut2+5-t2+5=t2+5u-Mu
Находим ковариационную функцию Kx(t1,t2):
Kxt1,t2=Mxt1∙xt2=
=t12+5t22+5Mu-Mu2=t12+5t22+5Du=
=π-3t12+5t22+5
Находим характеристики производной случайного процесса:
-математическое ожидание:
Myt=M'xt=(t2+5)'=2t
- ковариационная функция:
Kytt1,t2=d2Kxt1,t2dt1 dt2=d2π-3t12+5t22+5dt1 dt2
=4(π-3)t1t2
- дисперсия:
Dyt=Kytt,t=4(π-3)t2
Находим характеристики интеграла от случайного процесса:
-математическое ожидание:
Mzt=0tMxsds=0t(s2+5)ds=13s3+5s0t=13t3+5t
- ковариационная функция:
Kztt1,t2=0t1ds10t2Kxs1,s2ds2=
=0t1ds10t2(π-3s12+5s22+5ds2=
=π-3∙13s13+5s10t1∙13s23+5s20t2=π-3t1t2t12+15t22+159
=π-319t13t23+3t13t2+t1t23+81t1t2
- дисперсия:
Dzt=Kztt,t=π-3t2t2+1529