Исследование неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе

Оглавление

1. Введение

По трубопроводам осуществляется более 50% транспортировки всех нефтегрузов. Одним из наиболее проблемных вопросов при транспортировке нефти являются задачи управления потоками этих продуктов. Особое значение здесь приобретает нестационарные режимы движения потоков. Нестационарность возникает, как правило, в результате необходимости остановить поток или возобновить его движение после остановки, замедлить или ускорить движение. Необходимость такого рода действий (остановка и возобновление движения) является следствием нештатных ситуаций, как правило, аварийного характера. Особенностями изучаемой ситуации являются:

• Большая инерционность потока(диаметр трубопровода - около метра, длина одного прямолинейного звена трубопровода может достигать 10 и более километров, штатная скорость потока около 2 м/с)
• Достаточно высокая кинематическая вязкость транспортируемых жидкостей(от 0.04 м²/с до 1.1 м²/с)
• На практике числа Рейнольдса , что позволяет принять предположение о ламинарном движении жидкости

В существующей литературе по вопросам движения нефти в трубопроводах, как правило, задачи рассматриваются  с точки зрения стационарного  движения жидкости по трубам, что основано на использовании сильно упрощенных уравнений гидродинамики, в реальной же жизни это не так. Для основной задачи работы явилась попытка проанализировать нестационарный режим движения потока вязкой жидкости по трубам в условиях диктуемых характером реальных потоков, возникающих при транспортировке нефти. Это приводит к необходимости решать полноценное уравнение Навье-Стокса в нестационарной постановке. Естественно при постановке задачи пришлось сделать определенные допущения и упрощения, которые, однако, не являются обременительными:

• Рассматривается прямолинейное движение. Это позволяет считать, что имеет место цилиндрическая симметрия.
• Нестационарность диктуется специфической постановкой граничных условий. На входе в трубопровод расход и давление имеют постоянные величины.

На основании сказанного построена  математическая модель. Задача была решена аналитическим методом, и был  проведен численный расчет со стандартными для нефтепровода и нефти показателями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основные физические свойства и параметры жидкости

1. Плотность и удельный вес

Под средней плотностью, либо, что  тоже, плотностью физически бесконечно малого объема, понимают частное от деления его массы на объем, т.е.

      (2.1.1)

Плотность выражается в кг/м³.

В литературе часто оперируют понятием удельного веса, т.е. частного от деления  веса частицы на ее объем

     (2.1.2)

Как следует из (2.1.2), удельный вес  выражается в Н/м³. Заменяя в (2.1.2) M/V его значением из (2.1.1), получаем связь между плотностью и удельным весом:

2. Вязкость

Под вязкостью понимают свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению  ее частиц. В частности, возникшее  в жидкости движение после прекращения  действия причин, его вызвавших, постепенно замедляется. Следовательно, жидкость при своем движении в трубе испытывает сопротивление. Такого рода сопротивление называют вязким, подчеркивая тем самым отличие от сопротивления в твердых телах.

В твердых телах  в случае попытки изменения их формы (например, при сдвиге одной части тела относительно другой) возникает сила упругой деформации сдвига, пропорциональная смещению атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки соседних атомных слоев. В жидкости эта сила пропорциональна величине изменения скорости, наблюдающейся при переходе между соседними слоями взаимодействующих молекул.

Еще Ньютон установил  опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого  трения препятствуют этому скольжению. Так, при движении со скоростью v верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная

     (2.2.1)

Рис. 2.2.1

Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении (градиенту скорости в направлении перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости μ.

Вышепривёдённая формула справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров . Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной . На каждый слой действует сверху и снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их высотой (см. рисунок 2.2.1), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат, усилие , приложенной к верхней пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости среды определяется экспериментально, например, по скорости ее истечения через трубку известных размеров. Как показывает опыт с нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов - увеличивается.

Рис. 2.2.2

m - динамическая вязкость, зависит от физической природы жидкости, ее агрегатного состояния и температуры, и практически не зависящая от давления.

Помимо коэффициента вязкости , часто вводят в рассмотрение ещё и кинематический коэффициент вязкости, представляющий собой отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости, т. е.

 

Коэффициент может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически.

Вообще говоря, , так как зависимость от давления слабая, наиболее часто пользуются следующими приближенными формулами для зависимости от Т. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость:

 

Здесь берется из эксперимента, - это значение коэффициента вязкости при .

3.  Классификация сил

Силы, приложенные к частицам жидкости, можно разделить на два класса: силы массовые и силы поверхностные.

1.   Массовые силы

Массовые силы - силы, действующие на каждый элемент объема независимо от того, имеются ли рядом другие части жидкости.

Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна  массе рассматриваемого объема. Важнейшей  особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. Пусть — главный вектор сил, действующих на массу М жидкости, заполняющей объем . Средней массовой силой, действующей на массу М, называют величину . Вектор

     (2.3.1)

называется массовой силой, действующей  в данной точке. Точнее называть вектор массовой силой, отнесенной к единице массы (в случае сил тяжести ).

Обычно сила известна как функция координат точек пространства и времени . Если сила известна во всех точках выделенного объема , то можно подсчитать главный вектор сил, действующих на массу жидкости в этом объеме. На объем с массой действует сила . Отсюда главный вектор массовых сил будет

    (2.3.2)

2.   Поверхностные силы

В отличие от массовых, поверхностные  силы действуют лишь на частицы, находящиеся  на поверхности жидкого объема.

Пусть объем  ограничен поверхностью . Жидкость, находящаяся вне объема , действует через поверхность на жидкость внутри . Силы, с которыми частицы жидкости, находящиеся снаружи поверхности , действуют на поверхностные частицы объема , называют поверхностными.

Выделим на поверхности  жидкого объема элементарную площадку , ориентация этой площадки в пространстве задается внешней нормалью . Главный вектор поверхностных сил, действующих на , обозначим . Среднее напряжение,  действующее на  площадку , будет . Пусть площадка стягивается в точку. Вектор

    (2.3.3)

называют напряжением поверхностных  сил, действующим в рассматриваемой  точке (вектором поверхностной силы, отнесенным к единице площади).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.3.1

Таким образом, первое, что необходимо усвоить при рассмотрении этого вопроса - это то, что под действием внешних сил в жидкости возникают напряжения. И второе по порядку, но не менее важное по существу. В общем случае не является обычным вектором. Его величина зависит от ориентации площадки в пространстве. Это означает, что если через данную точку пространства провести одинаковые по величине, но различно ориентированные площадки, то действующие на них напряжения поверхностных сил будут различны.

Физическая  величина, характеризуемая в данной точке вектором , принимающим бесконечное множество значений в зависимости от ориентации площадки, называется тензором напряжений.

Таким образом, на площадку dS действует поверхностная сила , а на всю поверхность, ограничивающую объем V

     (2.3.4)

Проекция  на направление нормали называется нормальным напряжением, а проекция на площадку действия - касательным напряжением.

3.   Тензор напряжения

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор .

В движущейся среде мысленно выделим частицу  в форме жидкого тетраэдра. Пусть  - внешняя нормаль к четвертой (наклонной) грани тетраэдра,  а площадь этой грани dS (см. рис. 2.3.2).

Площади других граней - соответственно , , , т.к. их можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следовательно, , где обозначает направляющий косинус. Аналогично, , . Обозначим объем тетраэдра dV, тогда действующая на него массовая сила , а массовая сила инерции , где вектор ускорения жидкого тетраэдра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань - . Для трех других граней можем записать:

Рис. 2.3.2

Знаки минус, т.к. векторы  , и направлены в стороны, противоположные координатным осям.

Запишем уравнение  движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса × ускорение = (результирующая массовых сил) +

+ (результирующая  поверхностных сил).

Имеем:

Слагаемые и есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

    (2.3.5)

Из этого равенства следует, что напряжение при произвольной ориентации нормали может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Oy и Oz.

Проекции векторов , и на координатные оси x, y, z обозначаются:

     

 

 

 

 

 

 

 

Рис 2.3.3

 

Первый подстрочный индекс указывает  ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй ­ ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.3.3.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси  координат выражение (2.3.5) может быть записано как

      (2.3.6)

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме  он записывается в следующем виде:

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны ( ; ; ). Следовательно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений , , в соотношении (2.3.5), носящем имя Коши, и приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам.

К понятию тензора  можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более  простым. Поэтому целесообразно  хотя бы кратко остановиться на нем. Для  наглядности тензор можно представить  как какой-то оператор, с помощью  которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать где - входной вектор;  - выходной вектор;  - оператор, который и называют тензором.

Существенное  ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже  отмечалось, что одно из фундаментальных  свойств жидкости ­ ее вязкость ­  не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные , , , ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 2.3.3). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений , из чего следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлениями, либо более полно ­ гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой p, т.е.

Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как  компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называемой моделью  идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться разрывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. лишенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

4.   Число Рейнольдса

Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости  от ряда условий может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или  вихревым). В случае ламинарного  течения все молекулы жидкости движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости

Для турбулентного  движения характерно наличие нормальной (перпендикулярной направлению течения  жидкости) составляющей скорости движения молекул и резкий спад скорости течения  при приближении к границам. Траектория движения молекул представляет собой сложную кривую линию.

Характер течения  можно установить, пользуясь безразмерной величиной - числом Рейнольдса:

     (2.5.1)

где  ρ – плотность жидкости, v_ср - средняя (по сечению трубы) скорость потока; μ - коэффициент вязкости жидкости; r - характерный геометрический размер, в частности, радиус сечения цилиндрической трубы.

Число Рейнольдса характеризующет  отношение сил инерции и сил  вязкости. Таким образом, текущую  жидкость можно рассматривать как невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости "гасят" компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым, возникновению неустойчивого течения.

Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе  радиуса R. Число Рейнольдса в этом случае . Если принять радиус трубы R = 1 см и скорость течения v = 1 см/с, то для воды (ρ=103 кг/м³, при t > = 15) число Re=86. Это означает, что силы вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два порядка, и Re=0,86 < 1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не подчиняется уравнению Бернулли.

 

 

 

 

 

 

3. Классификация течений жидкости

1. Ламинарное течение

Гидродинамика ламинарных течений изучает поведение жидкости в нетурбулентном режиме. Во многих случая уравнения гидродинамики имеют достаточно простой вид и могут быть решены точно. Некоторые наиболее важные задачи этого раздела гидродинамики:

• стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости при различных граничных условиях
• стационарное течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса
• волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости и прочие нестационарные явления
• ламинарное обтекание конечных тел
• течения в различных несмешивающихся жидкостях, тангенциальные разрывы и их устойчивость
• струи, капли и прочие течения конечных размеров

Ламинарное течение  наблюдается при малых значениях  числа Рейнольдса. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Для воды в гладких круглых трубах Re_кр = 2000.

В случае ламинарного течения жидкости согласно третьему закону Ньютона более медленные слои за счет вязкого трения тормозят более быстрые и наоборот, быстрые ускоряют медленные. Причем молекулы стенок трубы не имеют тангенциальной составляющей скорости, и пограничный слой жидкости жестко "прилипает" к ее стенкам. Таким образом, скорость движения отдельных равноудаленных от оси трубы цилиндрических слоев жидкости возрастает от нулевого до максимального значения по мере удаления от стенок трубы (см. рисунок 2.2.3). При стационарном течении распределение скоростей по сечению трубы имеет параболический характер.

Рассчитаем поток или  количество жидкости, протекающей через  поперечное сечение трубы S в единицу времени. В случае однородного поля скоростей величина потока Q зависит от скорости течения жидкости u по формуле

Рассчитаем поток жидкости dQ, вытекающей из цилиндрического слоя толщиной dr, расположенного на расстоянии r от оси трубы, а затем проведем интегрирование по всем слоям от 0 до R.

dQ = v(r)·dS = v(r)·2π·r·dr   (3.1.1)

где dS - площадь поперечного сечения цилиндрического слоя.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти зависимость v(r). Выделим цилиндр радиусом r и длиной L, расположенный симметрично осевой линии трубы (рис. 2.3).

 При стационарном  течении скорость течения со  временем не изменяется, следовательно,  сумма всех сил, действующих  на все объемы жидкости, равна  нулю. На выделенный цилиндр действуют  следующие силы: сила давления, равная  произведению разности внешних давлений на площадь поперечного сечения выделенного объема, и сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра радиусом r, рассчитываемая по формуле Ньютона. Таким образом из (3.1.1):

(p₁ - p₂)π·r² = μ·|dv/dr|·2π·r·L.

Преобразуя предыдущее уравнение, получим, что 

- dv = (p₁ - p₂)·r·dr/(2μ·L)

Проинтегрировав это  выражение с учетом граничных  условий v = 0 при r = R,

получим формулу для  расчета скорости слоев жидкости, расположенных на расстоянии r от оси трубы:

v(r) = (p₁ - p₂)·(R² - r²)/(4μ·L)    (3.1.2)

Максимальная скорость, достигаемая в центре трубы v₀, равна:

v₀ = (p₁ - p₂)·R²/(4μ·L)

Проведя интегрирование по радиусу, найдем выражение для  потока жидкости, вытекающей из трубы:

Q = (p₁ - p₂)·π·R⁴/(2μ·L)     (3.1.3)

Cоотношение (3.1.2) называется формулой Пуазейля.

Из него следует, что  поток в случае стационарного  течения жидкости обусловлен перепадом  давлений, зависит от геометрии трубы  и свойств жидкости.

Формулой Пуазейля пользуются при расчетах показателей транспортировки жидкостей и газов в трубопроводах различного назначения. Ламинарный режим работы нефте- и газопроводов является наиболее выгодным в энергетическом отношении.

Пользуясь формулой Пуазейля можно определить вязкость жидкости. Однако более удобно вязкость жидкости определять по методу Стокса, измеряя время падения шарика в этой жидкости.

Распределение скоростей принимает вид параболы вдоль оси OX (рис. 3.2).

рис. 3.2

2.  Турбулентное течение

При достаточно малых  скоростях потока жидкости или газа течение всегда является ламинарным, однако при увеличении скорости всегда происходит переход в турбулентное течение, которое является уже существенно нестационарным и пространственно-неоднородным, поскольку скорость частиц жидкости, давление и другие характеристики среды изменяются во времени и пространстве нерегулярно, случайным образом даже при постоянных внешних условиях.

Основным параметром, с помощью  которого описываются ламинарное течение, турбулентное течение и переход  от ламинарного течения к турбулентному течению, является число Рейнольдса Re.

Параметр Re - безразмерный, он определяет отношение сил инерции к вязким силам в уравнении Навье-Стокса. Существует критическое число Рейнольдса Reкр, такое, что при Re<Re_кр поток будет ламинарным, а при Re>Re_кр - турбулентным.

Переход ламинарного течения в  турбулентное легко фиксируется  при наблюдении окрашенных струй. При  ламинарном течении струя имеет  вид ровной линии. При переходе к  турбулентному течение струю  завихряется, краска размывается, постепенно расплываясь по всему сечению трубки.

Изменение числа Re при течении в одной и той же трубке можно осуществлять как изменением скорости потока (перепада давления на концах трубки), так и изменением вязкости жидкости, например, нагревая ее или заменяя на другую.

Если увеличивать скорость потока так, что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменился. За сферой возникают  вихри. Обычно считают, что циркуляция нарастает постепенно. Когда Re принимает  значения от 10 до 30, поток меняет свой характер.

Когда число Рейнольдса проходит значение в районе 40, характер движения претерпевает неожиданное и резкое изменение. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При этом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Вихри отслаиваются то с одной, то с другой стороны и в какой-то момент вытягиваются вихревым следом за цилиндром. Такой поток вихрей называется цепочкой Кармана. Она всегда появляется для чисел Рейнольдса Re > 40.

Рис. 3.3

 

1. ламинарный режим, Re < 1;
2. первая стадия неустойчивости, 1 < Re <40;
3. вторая стадия неустойчивости (вихревая дорожка), Re > 40;
4. развитая турбулентность, Re > 10³.

 

При малых значениях Re ( Re < 1 ) имеет место ламинарное обтекание цилиндра (рис. а).

При 1 < Re < 40 вблизи первого критического значения значения Re = 1 исходный поток становится неустойчивым, однако новый тип течения окончательно определяется при Re > 10: за цилиндром образуются два вихря, но течение остается стационарным и ламинарным (рис. b).

При Re > 40 стационарное движение теряет устойчивость. Вихри удлиняются, отрываются и уплывают с потоком жидкости. В результате за цилиндром образуется т.н. вихревая дорожка. Движение становится нестационарным, но периодическим (рис. c).

При Re > 1000 вихри уже не успевают формироваться и заменяются быстротурбулизирующимися областями. При Re ~ 10⁴ движение становится нерегулярным; при Re ~ 10⁵ турбулентная область продвигается вплоть до поверхности цилиндра (рис. 2.5d).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Кинематика жидкости

Кинематика занимается изучением  движения жидкости, не интересуясь  причинами, которые его вызвали. По образному выражению Н.Е.Жуковского, кинематика изучает «геометрию движения». Принципиально можно пойти двумя путями. По первому из них изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени отмечаются ее координаты , и . Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т.е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц. Этот путь предложен Лагранжем. По методу Эйлера изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства x, y, z.

1. Установившееся  и неустановившееся движение жидкости

Установившемся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры  потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т.е.

      (4.1.1)

Рис. 4. 1.1

Если это условие не соблюдается  и параметры в точке меняются с течением времени

              (4.1.2)

движение называют неустановившимся (нестационарным).

В этих формулировках следует обратить внимание на то, что речь идет о параметрах в точке. Чтобы уяснить это, рассмотрим канал, показанный на рис. 4.1.1. В гидромеханике такие каналы, в которых площадь сечения уменьшается по ходу потока, называют конфузорами. Исходя из чисто интуитивных представлений ясно, что скорость течения по ходу канала будет возрастать. Возникает вопрос, может ли быть установившемся движение в таком канале. Очевидно, может, если параметры в точках A и B не будут изменяться с течением времени. Определение вида движения не требует, чтобы параметры в точках А, В и С были одинаковы.