О полугруппе эндоморфизмов одной некоммутативной группы шестого порядка

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

«Таганрогский государственный педагогический институт»

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

 

 

 

 

 

Выпускная квалификационная работа

 

на тему: «О полугруппе эндоморфизмов одной некоммутативной группы шестого порядка»

 

 

 

 

 

 

Выполнила

Студентка 58 группы

Кириченко Т. В.

научный руководитель

профессор, Фридман М. А.

 

 

 

Таганрог 2009

 

Содержание

 

 

Введение……………………………………………………………......3

Глава 1. Описание всех групп шестого  порядка………………..........4

§1.  Определение необходимых  специальных понятий…….....4 

§2. Теоремы Силова……………………………………………...5

§3. Строение группы шестого порядка  …………………….......6

Глава 2. Нахождение всех эндоморфизмов групп шестого порядка и

их таблиц умножения………………………………………………...11

§1. Нахождение всех эндоморфизмов группы шестого 

порядка………………………………………………………......11

§2. Составление  таблиц умножения эндоморфизмов  группы

шестого порядка………………………………………………...13

Заключение……………………………………………………………23

Список литературы…………………………………………………...24

 

 

Введение.

 

Целью данной В.К.Р. является нахождение всех эндоморфизмов  группы шестого порядка. Чтение ее предполагает знакомство читателя с многими основными  исходными понятиями, такими как  понятия группы, подгруппы, нормального  делителя, нормализатора подгруппы, индекса подгруппы, смежного класса, сопряженных элементов, сопряженных подгрупп, порядка группы и ее элементов, фактор - группы,  циклической группы, свободной группы и ее свободных образующих, гомоморфизма, прямое произведение групп и т.д., а также- с известными простейшими свойствами этих понятий, в частности, такими как представление группы в виде фактор – группы некоторой свободной группы по ее нормальному делителю, классическая теория Лагранжа. Что же касается остальных используемых в работе понятий и их свойств, то они будут приведены в тексте В.К.Р. по ходу изложения.

Первая часть  данной работы состоит в описании с точностью до изоморфизма всех групп шестого порядка, которое  достигается при помощи классических теорем Силова (Силов Петер Людвиг (1832-1918) – норвежский математик); вторая часть работы содержит нахождение всех эндоморфизмов групп и их таблиц умножения.

В работе используется мультипликативная терминология.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.

§1. Определение  необходимых специальных понятий.

Известно, что  всякая группа может быть представлена как фактор – группа W/H, некоторой свободной группы W по некоторому ее нормальному делителю H. Нахождение этой свободной группы W и соответствующего нормального делителя H можно эффективно установить с помощью упоминавшихся выше теорем Силова. Прежде чем их сформулировать, приведем определение необходимых специальных понятий.

Определение.

Группа P называется p- группой, если все ее элементы, отличные от единицы, имеют порядки, равные степеням простого числа p.

Определение.

Подгруппа S группы G называется силовской p- подгруппой группы G, если S-p- подгруппа, не содержащая ни в какой другой p- подгруппе группы G.

Заметим, что, согласно теореме Лагранжа, порядок  подгруппы конечной группы является делителем порядка группы. Однако, обращение теоремы Лагранжа неверно. На самом деле, подгруппа A4 четных подстановок симметрической группы S4 имеет порядок 12, но, как показывает непосредственная проверка, не содержит подгрупп порядка 6.

Тем не менее, если порядок конечной группы G делится на простое число p, то G содержит элемент порядка p. Действительно, для абелевых групп G этот факт следует из разложения группы G в прямое произведение своих силовских S(p1), S(p2 ), …,S(pr),где S(pi)- группа порядка piei, являющаяся прямым произведением циклических групп порядков piei1,…,pieit, где ei1+ei2+…+eit=ei; для неабелевой группы этот факт следует из теоремы Лагранжа и строения центра Z группы G.

 

 

 

§2. Теоремы  Силова.

Перейдем  к формулировкам теорем Силова и  их непосредственных следствий.

Первая теорема Силова.

Если группа G имеет порядок n=pms, где p-простое число, которое не делит s, то G содержит подгруппы порядков pi (i=1,…,m), причем каждая подгруппа порядка pi (i=1,…,m-1) является нормальным делителем, по крайней мере, в одной подгруппе порядка pi+1 .

Доказательство  этой теоремы существенно использует разложение группы G по двойному модулю. ЕЕ непосредственными следствиями являются:

Следствие 1.

Любая конечная группа G порядка n=pms, (p,s)=1, p-простое число, содержит силовскую p- подгруппу порядка pm, причем любая p- подгруппа содержится в некоторой силовской     p- подгруппе группы G.

Следствие 2.

Любая собственная  подгруппа p- группы P порядка pm содержится в некоторой максимальной подгруппе порядка pm-1, причем все максимальные подгруппы группы P являются нормальными делителями в P.

Вторая теорема Силова.

В конечной группе G все силовские p – подгруппы сопряжены.

Доказательство  непосредственно следует из разложения группы G по двойному модулю.

Третья теорема Силова.

Число силовских  p-подгрупп конечной группы G порядка n=pms, (s,p)=1, p- простое число, равно 1+kp и делит n .

Доказательство  следует из второй теоремы Силова и свойств нормализатора подгруппы и свойств сопряженных подгрупп.

Эти три теоремы  Силова позволяют легко описать с точностью до изоморфизма все группы шестого порядка.

§3. Строение группы шестого порядка.

Пусть G произвольно взятая группа шестого порядка. Так как 6=2*3, то группа G содержит силовские 2- подгруппы и 3- подгруппы. Число силовских 3- подгрупп согласно третьей теореме Силова равно числу 1+3k,где k=0,1,2,…, делящему порядок группы G, равный 6, а это возможно лишь при k=0. Таким образом, группа G обладает единственной силовской 3- подгруппой  B, которая согласно второй теореме Силова обязана быть ее нормальным делителем. Так как порядок подгруппы B, согласно первой теореме Силова, равен простому числу 3, то эта подгруппа является циклической. Пусть B={1,b,b2}, где b – элемент третьего порядка.

Пусть, далее, A- одна из силовских 2- подгрупп группы G. Понятно, что A состоит из двух элементов, один из которых есть единица 1, а другой - элемент a второго порядка: A={1,a} . 

Заметим, что  число силовских 2- подгрупп группы G согласно третьей теореме Силова равно 1+2k и делит число 6, что возможно лишь при k=0 или k=1.

При k=0 группа G обладает единственной силовской 2- подгруппой A, состоящей из 1 и элемента второго порядка, скажем a: A = {1, a} и, следовательно, согласно второй теореме Силова, являющейся нормальным делителем группы G. Так A∩B=E , где E– единичная подгруппа группы G, то G является прямым произведением A×B циклических подгрупп второго и третьего порядков и поэтому - абелевой и состоящей из элементов

 1, a, b, ab, b2, ab2.

Заметим, что  порядок элемента g = ab равен шести. Действительно,

(ab)1 = ab , (ab)2 = abab =a2b2 = b2 , (ab)3 = ababab = a3b3 =a2·a·1 = a , (ab)4 = abababab = a4b4= 1·b, (ab)5= a5b5 = b2.

 Все это означает, что в рассматриваемом случае группа G является циклической с образующим g = ab и обладает, кроме единичной и самой группы, только единственной подгруппой второго порядка, состоящей из элементов 1 и g3 = a, единственной подгруппой третьего порядка, состоящей из элементов 1, g3 = b2, g4 = b.

Отметим, что  в рассматриваемом случае группа G задается образующим элементов g и определяющим соотношением g6 = 1.

При k =1 число силовских 2- подгрупп группы G равно 3. Пусть A = {1, a} – одна из них. Элемент a-1ba имеет порядок 3, что и элемент b, и, значит, a-1ba = b или a-1ba = b2.

Если a-1ba = b, то ba = ab ( ведь a-1 = a ) и группа G оказывается абелевой и, следовательно, как отмечалось выше, - циклической шестого порядка.

Если a-1ba = b2, то ba = ab2. Порядки элементов ab и ab2 равны 2 :

(ab)2 = abab = a·ab2·b = a2·b3 = 1; (ab2)2 = ab2·ab2 = ab2·ba = ab3a = a2 = 1.

Группа G в данном случае задается образующими a, b и определяющими соотношениями a2 = 1, b3 = 1, ba = ab2.

Таблица Кэли для этой группы принимает  вид, так как

 

 

 

ab·a = aab2 = b2 ab·ab2 = a·ab2

ab·ab2 = a·ab2b2 = b4 = b

ab2·a = b·a·a = b

ab2·ab = ba·ab = b2

b·ab = ab2· b= a      и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица Кэли

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a

a·b

a·b2

b

b2

1

1

a

a·b

a·b2

b

b2

а

a

1

b

b2

a·b

a·b2

а·b

a·b

b2

1

b

a·b2

a

а·b2

a·b2

b

b2

1

a

a·b

b

b

a·b2

a

a·b

b2

1

b2

b2

a·b

a·b2

a

1

b




 

 

 

 

 

 

Группа  G имеет помимо единичной подгруппы и самой группы три подгруппы второго порядка {a}, {ab}, {ab2} и одну подгруппу третьего порядка {b}.

Впрочем, строение групп шестого порядка можно  было получить и не опираясь на теоремы  Силова. Действительно, по теореме Лагранжа в такой группе G apriory могут, кроме 1, быть элементы второго, третьего и шестого порядка. В последнем случае группа является циклической.

С другой стороны, не все элементы, отличные от 1, не могут  иметь порядок, равный двум. С этой целью отметим, что любая группа, в которой каждый элемент, не равный единице, имеет порядок 2, обязательно, абелева.

Действительно, если a1 и a2- два элемента второго порядка, a1≠a2, то a1·a2≠a1 и a1·a2≠a2, так в противном случае a2=1 или a1=1. Поэтому (a1·a2)2=1, т.е. a1·a2·a1·a2=1 . Учитывая, что a1-1=a1, a2-1=a2, заключаем, что a1·a2·a1·a2·a2·a1=a2·a1 и, значит, a1·a2=a2·a1.

Вернемся  к группе G шестого порядка, в которой, все отличные от единицы элементы, имеют порядок 2. Если теперь a1 и a2 – два неравных элемента такой группы, отличные от единицы, то, согласно отмеченному выше, a3 =a1·a2 – еще один элемент второго порядка, значит, как и выше, a1·a3≠a1, a2·a3 ≠a2, a1·a3 и a2·a3 - еще два элемента второго порядка и, таким образом, группа G шестого порядка содержит, по меньшей мере, семь элементов :

 1, a1, a2, a3, a1·a2, a1·a3, a2·a3 , что невозможно.

Таким образом, в группе G должен быть хотя бы один элемент b порядка 3. Подгруппа B={1, b1, b12} имеет индекс 2 и поэтому является нормальным делителем группы.

Заметим, что  невозможен случай, при котором все  отличные от 1 элементы имеют порядок 3. Действительно, в противном случае, беря в группе G элемент b1 третьего порядка, b1 не принадлежит G\B, и полагая B1={1, b1, b12}, получаем B∩B1={1}, b·b1≠b, b·b1≠b2, b·b1≠b1, b·b1≠b1, b·b1≠b2, b·b1≠1 и поэтому b·b12≠b1, b·b12≠b, b·b12≠1 и поэтому в группе G содержатся, помимо 1, еще шесть элементов: b, b2, b1, b12, b·b1, b·b12, что невозможно.

Все сказанное  говорит о том, что группа G обладает элементами второго порядка. Пусть a – один из них. Тогда G={a, b} и задается определяющими соотношениями a2=1, b3=1, b·a=a·b2 . Это, как известно, симметрическая группа третьей степени.

Получили  те же результаты, которые выше были получены с помощью теорем Силова.

Вывод: существуют с точностью до изоморфизма только две группы шестого порядка, а  именно циклическая и симметрическая группа третьей степени, которая  обычно представлена подстановками:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.

§1. Нахождение всех эндоморфизмов группы шестого  порядка.

Обратимся теперь к нахождению эндоморфизмов групп  шестого порядка. Напомним с этой целью определения соответствующих  понятий и простейших их свойств.

Определение.

Эндоморфизмом группы называют гомоморфное отображение  группы в себя и, следовательно, на свою подгруппу.

Так как каждый эндоморфизм группы систему образующих группы отображает на систему образующих соответствующей подгруппы, то эндоморфизмы группы надо искать среди всех таких и только таких отображений системы образующих группы на систему образующих соответствующей подгруппы, которые сохраняют определяющие соотношения группы, то есть, переводят каждое определяющее соотношение группы в определяющее соотношение соответствующей подгруппы.

Это обстоятельство позволяет эндоморфизмы группы записывать символически в виде «псевдоподстановки»  из двух строк; первая строка которой  представлена образующими группы, а  вторая - указанием образующего подгруппы, являющегося образом образующего  группы и расположенного под ним.

Таким образом, нахождение всех эндоморфизмов группы, заданной системой образующих и системой определяющих соотношений, связано, во-первых, с нахождением всех подгрупп группы и их систем образующих; во-вторых,- с выявлением всех ядер гомоморфизмов группы на подгруппы; в-третьих,- с установлением всех «псевдоподстановок», первая строка каждой из которых состоит из образующих группы, а вторая - состоит из образующих подгруппы, являющихся образами соответствующих образующих группы.

Обычным образом  определяется умножение эндоморфизмов : как произведение эндоморфизмов, рассматривается  как произведение (суперпозиция) двух отображений множества. Хорошо известно, что такое умножение ассоциативно, обладает нейтральным элементом, который  является тождественным отображением, и нулем, который отображает каждый элемент группы в единицу группы.

Все это означает, что совокупность End G всех эндоморфизмов группы G, образует относительно умножения эндоморфизмов полугруппу End G с единицей и нулем.

Среди всех эндоморфизмов группы G естественным образом выделяются так называемые автоморфизмы группы G : под эндоморфизмами понимают изоморфные отображения группы на себя.

2)Понятно,  что множество Aut G всех автоморфизмов группы G, образует подгруппу Aut G группы в подгруппе End G : ведь тождественное отображение группы на себя является единицей в Aut G, а обратным для автоморфизма служит обратное отображение и, наконец, Aut G замкнуто относительно умножения своих элементов.

Среди всех автоморфизмов группы G выделяются так называемые внутренние автоморфизмы.

Определение.

Пусть G – группа, a – элемент группы G. Отображение φa: G→ G, заданное правилом x·φa=a-1·x·a для каждого элемента x, принадлежащего G, называется внутренним автоморфизмом группы G.

Заметим, что  φa: G→ G, действительно, является автоморфизмом группы G. На самом деле, во-первых, для элементов x, y, принадлежащих G

(x·y) φa= a-1·x·ya= a-1x·a a-1y·a=x· φay ·φa;

во-вторых, отображение φa сюрьективно для элемента z, принадлежащего G:

(a·z·a-1)· φa=a-1·(a·z·a-1)·a=a-1·a·z·a-1·a=z.

Заметим также, что множество Φ(G) всех внутренних автоморфизмов группы G является в последней нормальным делителем.

На самом  деле, если φ принадлежит Aut G, φa принадлежит Φ(G), то для элемента x, принадлежащего G

x(φ-1φaφ)=(xφ-1)φaφ=(a-1xφ-1a)φ=a-1φx(φ-1φ)aφ=(aφ)-1xaφ;

то есть φ-1φaφ=φaφ.

Перейдем  теперь к нахождению всех эндоморфизмов  обеих групп шестого порядка  и построению таблиц Кэли для соответствующих полугрупп.

§2. Составление таблиц умножения эндоморфизмов группы шестого порядка.

A.Пусть G={g}-циклическая группа шестого порядка. Она, как установлено выше, имеет только подгруппы G={g}={g5}, {g2}={g4}, {g3}, E. С образующими g и g5, g2 и g4, g3, 1, соответственно. Заметим, что в этих подгруппах определяющее соотношение g6 =1, очевидно, выполняется.

Поэтому, эндоморфизмы группы G определяются следующими псевдоподстановками :

 

то есть, в более подробной записи, следующими отображениями множества элементов  группы  G:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как при  псевдоподстановке  , получаем , где r=6, если ki делится на 6 и r является  остатком от деления ki на 6 в противном случае. То есть

 

 

 

Это соображение приводит к таблице  Кэли для полугруппы End G.

             
             
             
             
             
             
             

 

 

Согласно  полученной таблице Кэли, полугруппа End G :

  1. является коммутативной;
  2. обладает тремя идемпотентами и двумя эндоморфизмами ψ3 и ω( напомним, что идемпотентом в полугруппе называется такой ее элемент, для которого справедливо x2=x);
  3. обладает главными правыми идеалами, и в виду коммутативности полугруппы  End G, они совпадают с главными левыми, будут:

I1={ε, φ, ψ1, ψ2, ψ3, ω}, I2={ψ1, ψ2, ω}, I3={ψ3, ω}, I4={ω},

а идеалами- кроме указанных главных, I={ψ1, ψ2, ψ3, ω};

4) распадается на классы   R- эквивалентности, совпадающие с классами Z- эквивалентности, то есть множествами элементов, порождающих одни и те же главные идеалы  :

{ε,φ}, {ψ1, ψ2}, {ψ3}, {ω}.

 

B. Пусть теперь группа G определяется образующими a и b и системой определяющих соотношений

                    a2=1, b3=1 и ba=ab2.

Выше отмечалось, что эта группа, кроме единичной  подгруппы и самой группы, обладает тремя подгруппами второго порядка  – циклическими подгруппами {a}, {ab}, {ab2} и одной подгруппой третьего порядка- циклической подгруппой {b} третьего порядка. Последняя является нормальным делителем группы G и, кроме образующего b, порождается также элементом b2.

Сказанное означает, что apriory возможны эндоморфизмы группы G с ядром {b}, отображающими группу G на каждую из подгрупп второго порядка, и, наконец, эндоморфизм с ядром G, отображающим каждый элемент в единицу.

Исследуем каждую из отмеченных возможностей. С этой целью заметим, что при любом  эндоморфизме образом элемента g, принадлежащего G служит элемент, порядок которого является делителем порядка элемента g.

 

B1. Пусть ядро эндоморфизма α, принадлежащего End G совпадает с единичной подгруппой E, другими словами, пусть α является автоморфизмом группы G.

В этом случае образ xα элемента x, принадлежащего G имеет тот же порядок, что и элемент x. Следовательно, система образующих {a, b} отображается при автоморфизме на систему образующих {aα, bα}, состоящую из элементов второго и третьего порядка, соответственно.

 

Apriory для этих образов возможны случаи :

  1. aα = a, bα = b;
  2. aα = a, bα = b2;
  3. aα = ab, bα = b;
  4. aα = ab, bα = b2;
  5. aα = ab2, bα = b;
  6. aα = ab2, bα = b2.

Заметим, что в каждом из этих случаев (aα)2 = 1 и (bα)3 = 1. В справедливости и третьего определяющего соотношения ba = ab2 для элементов aα и bα, то есть bα·aα = aα·(bα)2.

Убеждаемся  прямой проверкой. Действительно,

в случае 1) эндоморфизм α является тождественным  отображением,

в случае 2) равенство bα·aα = aα·(bα)2 следует из соотношений b2·a = a·b4 = a·b,

в случае 3) из соотношений b·ab = ab2·b = a и ab·b2 = a,

в случае 4) имеем bα·aα = b2·ab = b2·b2a = ba и aα·(bα)2 = ab·b4 = ab2,

в случае 5) имеем bα·aα = b·ab2 = ba·b2 = ab4 = ab и aα·(bα)2 = ab2·b2 = ab4 = ab,

в случае 6) bα·aα = b2·ab2 = b·ba·b2 = b·ab2·b2 = bab = ba·b = ab3 = a и

                   aα·(bα)2 = ab2·b4 = ab6 = a.

Таким образом, полугруппа End G содержит ровно шесть автоморфизмов : α1, α2, α3, α4, α5, α6, определяемых следующими псевдоподстановками:

 

 

 

 

 

B2. Ядро Ker β эндоморфизма β совпадает с циклической подгруппой {b}. Это означает, что

bβ = 1, b2β = 1 и aα ≠ 1.

Apriory для aα имеются лишь следующие возможности :

aβ = a, aβ  = ab, aβ = ab2.

В каждом из этих случаев соотношения (aβ)2 = 1 и (bβ)3 = 1 автоматически выполнены (ведь a, ab, ab2- элементы второго порядка, а b- элемент третьего порядка). Третье определяющее соотношение bβ·aβ = aβ·(bβ)2.

Таким образом, для эндоморфизма β возможны лишь отображения, задаваемые псевдоподстановками :

 

 

B3. Ядро эндоморфизма γ совпадает с группой G.

 В этом  случае γ совпадает с нулевым  эндоморфизмом ω и определяется псевдоподстановкой:    

Итак, полугруппа End G состоит из шести автоморфизмов α1, α2, α3, α4, α5, α6, определяемыми подстановками :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из нулевого эндоморфизма и трех эндоморфизмов β1, β2, β3, определяемых отображениями:

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственными вычислениями получаем таблицу Кэли для полугруппы End G:

 

 

α1

α2

α3

α4

α5

α6

β1

β2

β3

ω

α1

α1

α2

α3

α4

α5

α6

β1

β2

β3

ω

α2

α2

α1

α4

α3

α6

α5

β1

β2

β3

ω

α3

α3

α6

α5

α2

α1

α4

β1

β2

β3

ω

α4

α4

α5

α6

α1

α2

α3

β1

β2

β3

ω

α5

α5

α4

α1

α6

α3

α2

β1

β2

β3

ω

α6

α6

α3

α2

α5

α4

α1

β1

β2

β3

ω

β1

β1

β1

β2

β2

β3

β3

β1

β2

β3

ω

β2

β2

β3

β3

β1

β1

β2

β1

β2

β3

ω

β3

β3

β2

β1

β3

β2

β1

β1

β2

β3

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω




 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

  Так как 

              a(α5α6) = (aα5)α6 = (ab2)α6 = aα6·(bα6)2 = ab2·b4 = ab6 = a = aα4,

 

              b(α5α6) = (bα5)α6 = bα6 = b2 = bα4.

 

Таким образом, α5α6 = α4.

 

Аналогичными  выкладками заполняются и все  остальные клетки таблицы Кэли для  полугруппы End G.

Отметим, что  группа Aut G состоит из шести автоморфизмов α1, α2, α3, α4, α5, и α6, то есть является группой шестого порядка, причем, согласно таблице Кэли, некоммутативной. А таких групп с точностью до изоморфизма имеется только одна, а, именно,- симметрическая группа третьей степени, которая порождается элементами a и b  второго и третьего порядка, соответственно. Согласно построенной таблице Кэли, такими элементами второго порядка являются автоморфизмы α2, α4, α6, а элементы третьего порядка - автоморфизмы α3 и α5. Поэтому можно считать установленным, что в качестве элементов a и b можно рассматривать автоморфизмы α2 и α3, соответственно.

Таким образом, группа автоморфизмов группы G изоморфна симметрической группе третьей степени. Последняя может быть представлена шестью подстановками:

 

 

 

 

 

 

ε

φ1

φ2

φ3

ψ

ψ-1

ε

ε

φ1

φ2

φ3

ψ

ψ-1

φ1

φ1

Ε

ψ-1

ψ

φ3

φ2

φ2

φ2

Ψ

ε

ψ-1

φ1

φ3

φ3

φ3

ψ-1

ψ

ε

φ2

φ1

ψ

ψ

φ 2

φ3

φ1

ψ-1

ε

ψ-1

ψ-1

φ 3

φ1

φ2

ε

ψ




 

 

 

 

 

и таблицей Кэли

 

 

 

 

Согласно  таблице Кэли для полугруппы End G, можно заключить:

  1. полугруппа End G является некоммутативной и состоит из десяти элементов;
  2. обладает пятью идемпотентами α1, β1, β2, β3, и ω;
  3. имеет три главных правых идеала:

О полугруппе эндоморфизмов одной некоммутативной группы шестого порядка 📙 Дипломная → 🆔 10911

О полугруппе эндоморфизмов одной некоммутативной группы шестого порядка 📙 Дипломная → 🆔 10911

О полугруппе эндоморфизмов одной некоммутативной группы шестого порядка