Преемственность в изучении геометрических построений

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Одной из важнейших  задач, стоящих перед современной  школой, является обеспечение преемственности  в обучении детей дошкольного  и младшего школьного возраста, где  особое место отводится задачам  на построение.

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения математики. Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию.

Между тем заметим, что процесс формирования логического  мышления, общелогических умений, как  компонента общего образования, должен быть целенаправленным, непрерывным  и связанным с процессом обучения математике на всех ее ступенях.

О целесообразности ранней пропедевтики материала средней  школы говорят многие методисты. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это «благотворно в смысле достижения целостности знаний, преемственности», считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в «опережении» той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать,

насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии. Одним из условий эффективности  процесса обучения детей дошкольного  и младшего школьного возраста, в  целом, и в геометрии в частности, как показывают психолого-педагогические исследования, является соблюдение принципа преемственности в учебно-воспитательном процессе.

Проблема преемственности  всегда была в центре внимания отечественной  психолого-педагогической науки Б.Г. Ананьев, Ш.И. Ганелин , В.В. Давыдов , В.Т. Кудрявцев , А.А. Люблинская , М.Р. Львов . Методические вопросы преемственности в обучении детей дошкольного и младшего школьного возраста отражены в исследованиях, посвященных обучению математике Р.А. Должикова , Е.А. Конобеева , Е.Э. Кочурова , И.А. Попова[60,с24]

Большинство этих исследований выполнено во второй половине XX века. Изменения, происходящие в обществе и системе образования в настоящее время, требуют новых подходов к обсуждаемой проблеме: реализации преемственности с учетом современного состояния и перспектив развития дошкольного и начального образования. Изучение состояния вопроса в теории и практике показывает, что преемственность зачастую понимается узко и больше декларируется, чем осуществляется.

Решение данного  вопроса осложняется многообразием  авторских программ, используемых при обучении детей дошкольного и младшего школьного возраста, что не всегда обеспечивает преемственность между данными ступенями образования. Как показывают результаты психолого-педагогического исследований, анализ работы педагогов ДОУ и начальной школы далеко не всегда данные программы преемственны, что создаёт определённые трудности при переходе ребёнка с одной ступени на другую. Особое место в данном процессе отводится геометрическому материалу, где важной составляющей являются геометрические построения.

Исходя из этого, проблема соблюдения преемственности  в изучении геометрического материала  является на современном этапе образования  актуальной и активно разрабатываемой.

Объект  исследования: изучение геометрического материала в ДОУ и начальной школе;

Предмет исследования: преемственность в изучении геометрических построений в ДОУ и начальной школе;

Цель  исследования: выявить условия соблюдения преемственности в изучении геометрических построений в ДОУ и начальной школе, эффективно влияющие на результативность обучения;

Гипотеза  исследования: соблюдение условий преемственности в изучении геометрических построений в ДОУ и начальной школе будет эффективным если:

  1. использование наглядности применяемой в ДОУ и начальной школе при изучении данной темы на уроках математики в начальной школе будет одним из условий обучения.
  2. учитывать возрастные особенности учащихся в ДОУ и начальной школе.

Задачи  исследования:

  1. изучить учебно-методическую литературу по теме исследования;
  2. проанализировать методические подходы к изучению геометрических построений в ДОУ и начальной школе;
  3. выделить пути реализации принципа преемственности в процессе изучения геометрических построений между ДОУ и начальной школой;
  4. экспериментально проверить выдвинутую гипотезу, дать качественный анализ полученных результатов.

Решение поставленных задач потребовало следующих  методов: 

- изучение литературы  по проблеме; 

- анализ действующих  программ по математике;

- изучения передового  педагогического опыта;

- качественной  и количественной анализ полученных результатов;

- эксперимент    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Теоретическое значение проблемы изучения преемственности  в изучении геометрических построений в дошкольном образовательном  учреждении и начальной  школе

1.1. Преемственность как педагогическое понятие  

В психолого-педагогической и методической литературе существуют различные подходы к пониманию  преемственности. В исследованиях  Л.С.Давыдова, Д.Б. Эльконина преемственность  трактуется как связь между отдельными предметами в процессе обучения (физика и математика, математика и черчение, и так далее).

Во многих исследованиях  преемственность трактуется как  дидактический принцип, обеспечивающий такую систему учебно-воспитательной работы, когда в каждом последующем  звене продолжается закрепление, расширение и углубление тех знаний, умений и навыков, которые составляли содержание учебной деятельности на предшествующем этапе[40,с.96].

Иными словами, преемственность рассматривается  как принцип, лежащий в основе целостности системы учебно-воспитательной работы. Но при этом рассматривается лишь один из компонентов этой системы - содержание учебной деятельности. При таком подходе к проблеме, преемственность отождествляется с использованием полученных ранее знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета. Именно этот аспект мы посчитали важным проанализировать.

К сожалению, фиксированные  в учебниках и в методических пособиях подходы к проблеме преемственности, скорее уводят от решения, нежели позволяют  её решить. В подтверждение этого  утверждения сошлёмся на мнение учёного, автора многочисленных учебников и методических пособий К.И. Нешкова: «Во многих педагогических и методических исследованиях преемственность

понимается как  некая связь. Однако представляется эта связь довольно поверхностной, не выражающей основных характеристик преемственности. Более того, часто эта связь отражается во второстепенных деталях, не затрагивающей существа процесса обучения»

Во многих исследованиях  преемственность отождествляется  с систематическим повторением. Такое понимание преемственности характерно, например, для многих ныне действующих учебников математики для начальной школы, где запоминание рассматривается как функция большого числа повторений, а повторение осуществляется в результате решения большого количества однотипных упражнений на протяжении всего курса. Навыки, сформированные в результате такого повторения, стремительно теряются, как только перестают быть предметом целенаправленной отработки (например, вычислительные навыки при переходе в пятый класс). Так, в работах К.Н. Нешкова убедительно показано, что повторение только в том случае будет способствовать преемственности, если на каждом новом этапе это не будет повторение тех же самых упражнений, выполняемых теми же самыми способами. В упражнениях на повторение непременно должно появляться новое, отмирать старое, несущественное в соответствии с логикой развития изучаемого понятия и с повышением уровня образования учащихся. Таким образом, преемственность в соответствии с позицией К.И. Нешкова, которая весьма обоснована и логически представлена, хотя и требует повторения, но лишь такого, которое обеспечивает непрерывное развитие системы понятий. Для того, чтобы преемственность реально осуществлялась, повторение должно быть органически включено в новую тему и по мере развития темы должно соответственным образом меняться, не сводясь лишь к механическому повторению одних и тех же упражнений

Обеспечение преемственности  связано не только с усвоением  содержания учебного материала, но и  со способами обучения, с теми действиями, которые

выполняются учащимися  в ходе овладения ими учебным  материалом. В методической литературе отмечается, что данная задача ещё  не нашла должного решения.  

Такое понимание  преемственных связей позволяет  решить вопрос о соотношении преемственности и пропедевтики. Вопрос о пропедевтике возникает тогда, когда обнаруживаются серьёзные трудности при формировании некоторого понятия или системы понятий. Правильно решить вопрос о пропедевтики можно лишь при полном учёте всех требований преемственности. Понимание преемственности поможет выделить существенные части темы и расположить их так, чтобы её прохождение представляло собой логическое развитие с надлежащим образом установленными связями между отдельными частями и этапами изучения.

Обобщая всё выше сказанное, можно дать следующее определение преемственности.

Преемственность — это установление необходимой  связи и правильного соотношения  между частями отдельного учебного предмета на разных ступенях его изучения.

Понятие преемственности  характеризуется также требованиями к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приёмам объяснения нового учебного материала и ко всей последующей работе по его усвоению.

В методической литературе отмечается, что осуществление  преемственности между ДОУ и начальной школой: выбор школы для обучения ребенка и выбор программы обучения, проблема завышенных требований к готовности ребенка к школьному обучению в части школ, недостаточного использования игровой деятельности при переходе детей в школу и др. [ 60,с.30]

Обучение с  соблюдением преемственности воспитывает  действенность, активность знаний и  умений, способность использовать их при решении новых практических и теоретических задач. Это является важным условием преодоления формализма знаний, который, по мнению многих исследователей, является одним из основных недостатков современного школьного обучения. Кроме того, развитие и обучение с соблюдением преемственности во многом способствует успешности обучения, развитию интереса как к конкретному учебному предмету, так и к процессу обучения вообще.  

    1.2Геометрия  как раздел математики. История вопроса.  Геометрические построения

Геометрия - раздел математики, занимающийся изучением  свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости; в стереометрии изучаются пространственные фигуры. Возникновение геометрии связано с практической деятельностью людей. Строя пирамиды и храмы люди украшали их орнаментами, им приходилось применять свои сведения о форме, размерах и взаимном расположении предметов.

Если не учитывать  весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное

искусство.

Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся  примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.

Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие  в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным  путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 – ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим  купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически – во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни.

Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пифагор умер в  изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.

Афинская школа  числила в своих рядах таких  великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из тринадцати были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов

и открытий, Архимед  расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая геометрия вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа.

После падения  Александрии большинство работ  древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114–1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.

После падения  Римской империи в 5 в. наука в  Европе долгое время находилась почти  в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.

За последние 300 лет доказательная геометрия  была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия

треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.

Тесно связанная  с проективной, начертательная геометрия  была введена французским математиком  Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.

В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию –  первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии  мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.

Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевский (1792–1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826–1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала

включать в  себя тригонометрию, аналитическую  и дифференциальную геометрии, охватив  не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются.

На каждом этапе  развития геометрии как науки  одним из составляющих был вопрос о геометрических построениях которые  рассматривались как решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях геометрических построений выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Геометрические построения обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на построения на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на построения с помощью циркуля и линейки.

Геометрические  построения являются существенным фактором математического образования; они  представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение  орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности.

В своей книге  «Начала» Евклид (III век до н.э.) строго придерживается геометрических построений выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов нигде не упоминает. 
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в

Древней Греции.

Древнегреческие математики ещё 3 000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов:

- гладкой дощечкой  с ровным краем (это линейка)

- двух заострённых  палок, связанных на одном конце (это циркуль).

Циркуль и линейка  рассматривались как равноправные инструменты; было совершенно безразлично  как выполнялись отдельные построения. Уже давно было замечено, что циркуль  является более точным, более совершенным  инструментом, чем линейка.

В 1797 году итальянский  математик, профессор университета в Павии, Лоренцо Маскерони, опубликовал  большую работу «Геометрия циркуля», которая позже переведена на французский  и немецкий языки. В этой работе было доказано следующее предположение: «Все задачи на построение, разрешаемые циркулем и линейкой могут быть точно решены и одним только циркулем. Этот результат позже был назван теоремой Мори-Маскерони, поскольку впервые доказательство было опубликовано датским учёным Георгом Мором в 1672 году.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения одним циркулем называется геометрией циркуля.

В теории геометрических построений одним циркулем всегда подразумевается  свободное пользование циркулем, когда на растворы ножек никаких  ограничений не накладывается.

Таким образом, циркулем можно построить:

- произвольную  окружность;

- окружность  с заданным центром и радиусом;

- отложить данный  отрезок на прямой от данной  точки;

Циркулем можно  чертить окружности как угодно больших  и как угодно малых радиусов.

С помощью одного циркуля мы не сможем, разумеется, начертить  непрерывный прямой линии, заданной двумя точками;

Отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы  с помощью циркуля и линейки.

Геометрическими построениями на плоскости занимался сам Н.И.Лобачевский. Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром Д. Д. Мордухай-Болтовским. 
  Геометрические построения в пространстве связаны с методами начертательной геометрии. Теория Геометрические построения представляет интерес лишь в части, связанной с практическими приложениями в начертательной геометрии.

Следующим чертёжным  инструментом является линейка, и разумеется, мы рассмотрим геометрические построения с помощью линейки.

Линейка простейший чертёжный инструмент, применяемый  для геометрических построений.

С помощью линейки  можно:

- провести прямую, проходящую через данную точку;

- провести произвольную  прямую;

- прямую проходящую  через две данных точки.

Никах других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать отрезки , даже если на ней имеются деления.

Я.Штейнер показал  что все задачи на построений, разрешимы  циркулем и линейкой, могут быть точно решены и линейкой, если в плоскости чертежа даны постоянная (вспомогательная) окружность (O,R) и её центр.

Итак, геометрические построения - это способ решения  задачи при помощи вспомогательных  инструментов, которые предполагаются абсолютно точными.   

1.3. Психолого-педагогическое и методико-математическое обоснование необходимости и целесообразности соблюдения преемственности в ДОУ и начальной школе в процессе изучения геометрического материала  

Осуществление преемственности дошкольного и  начального образования является одной из приоритетных задач модернизации образования, решение которой требует объединения усилий методистов и педагогов - практиков. С психологической точки зрения преемственность выступает как проявление потребности в познании и самопознании, развитии и самосовершенствовании личности.

Преемственность базируется на законах отрицания  отрицания и перехода количественных изменений в качественные. Отметим, что в педагогике действие закона отрицания отрицания не должно абсолютизироваться.

Процесс обучения представляет собой последовательный переход количественных изменений в качественные с неизбежным переосмыслением знаний, их включением в новые связи и с обеспечением гармонии при переходе от одной ступени образовательной системы к последующей. Для каждой ступени обучения можно указать соответствующую меру, которая характеризовала бы уровень развития, обеспечивающий возможность оптимального перехода обучаемого на следующую ступень.

Преемственность в изучении геометрических построений