Возможности использования ИКТ в изучении координат на плоскости в курсе математики 5 – 9 классов

возможности использования ИКТ  в изучении координат  на плоскости в  курсе математики  5 – 9 классов 

выпускная квалификационная работа

Содержание 

      Введение

     Как известно, создание и совершенствование  компьютеров привело и продолжает приводить к созданию новых технологий в различных сферах научной и  практической деятельности. Одной из таких сфер является образование. Будучи само по себе мощной информационной сферой и владея опытом использования классических (не компьютерных) информационных систем, образование быстро откликнулось на возможности современной техники.

     С началом промышленного изготовления компьютеров первых поколений и  их появлением в образовательных  учреждениях возникло новое направление  в образовании – информационно-коммуникативные  технологии обучению (далее ИКТ). По-настоящему массовыми создание и использование  обучающих программ стали с начала 80-х годов, когда появились и  получили широкое распространение  персональные компьютеры. С тех пор  образовательные применения ЭВМ  выдвинулось в число их основных применений наряду с обработкой текстов  и графики, оттеснив на второй план математические расчеты.

     Благодаря своим конструктивным и функциональным особенностям ИКТ является уникальной системой. Ее возможности позволяют:

• активизировать учебный процесс;
• индивидуализировать обучение;
• повысить наглядность изучаемого материала;
• усилить практическую направленность;
• повысить интерес к учению;
• формировать навык работы с электронными средствами.

     Активизация обучения связана с тем, что каждый ученик работает в диалоговом режиме с программой, в собственном темпе и с достаточным объемом подсказок (обращений к ранее изученному).

     Графические возможности ИКТ позволяют сделать  обучение достаточно наглядным.

     Вычислительные  и модулирующие возможности ИКТ  располагают к обучению через решения задач, обеспечивая практическую направленность обучения.

     В наши дни большое внимание уделяется  разработке цифровых образовательных  ресурсов в поддержку школьных программ, но по ряду причин они остаются невостребованными  учителями-предметниками.

     Актуальность  данной работы заключается в том, что систематизация электронных средств обучения по одному из разделов школьной программы по математики является попыткой создать базу более полного использования ИКТ в образовательном процессе учащихся 5 – 9 классов.

     Объектом  исследования в данной работе является методика обучения математике. Предметом исследования являются особенности изучения темы «Система координат на плоскости» с использованием ИКТ.

     В связи с этим цель настоящей работы: систематизировать особенности электронной поддержки процесса обучения учащихся по теме «Система координат на плоскости». Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Систематизировать основные понятия по теме «Система координат на плоскости»; классифицировать основные задачи;
2. Проанализировать содержание имеющихся электронных средств обучения по теме «Система координат на плоскости»;
3. Создать в помощь обучающимся электронный каталог имеющихся электронных пособий по теме «Система координат на плоскости».

Глава І. Теоретические  основы изучения  координат на плоскости  и использование  ИКТ в обучении математике

1.1. Основные понятия  темы «Система  координат на плоскости»  и особенности  методики ее изучения  учащимися 5–9  классов

     1.1.1 Прямоугольная система координат и метод координат на плоскости

     Впервые прямоугольную систему координат  ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждения о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему  координат называют также – декартовой системой координат.

     Координатный  метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного  метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти.

     Декарт  и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

     Уточним понятия системы координат и  координатного метода.

     Под системой координат на плоскости  понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости ¹. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

     Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющих общее начало О и одинаковую масштабную единицу образуют прямоугольную систему координат на плоскости ². В дальнейшем будем пользоваться только этим определением системы координат, так как оно дает более наглядное представление о координатной плоскости.

     С системой координат связаны понятия  абсциссы и ординаты. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат, а обе оси вместе – осями координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

     Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси Ох и Оу (рис. 1).

      Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть                     соответственно величины отрезков ОА и ОВ направленных отрезков ОА и ОВ, т.е. х=ОА, у=ОВ. 
 
 
 
 
 

     Координаты  х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет  координаты х и у, символически обозначают так: М(х; у). При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй – ординату. Начало отсчета имеет координаты (0; 0).

     Таким образом, при выбранной системе  координат каждой точке М плоскости  соответствует единственная упорядоченная  пара чисел (х; у) – ее прямоугольные координаты, и, обратно, каждой паре чисел (х; у) соответствует, и притом одна, точка М плоскости Оху такая, что ее абсцисса равна х, а ордината у, что позволяет расположение точек, свойства фигур описывать с помощью пары чисел и уравнений, связывающих координаты множества точек.

     Оси координат разбивают плоскость  на четыре части, их называют четвертями, квадрантинами или координатными углами.

     Определения прямоугольной системы координат  на плоскости, ось абсцисс, ось ординат, начала координат, координаты точек  изучаются в курсе геометрии  как в общеобразовательных учреждениях, так и в школах (классах) с углубленным  изучением математики. 

      1.1.2. Типовые задачи на координатной плоскости

Задача 1.О расстоянии между двумя точками.

     Даны две точки М₁ (х₁; у₁) и  М₂( х₂; у₂) (т.е. даны координаты этих точек); требуется найти расстояние d=М₁М₂  (рис. 2.).

     Решение: выведем общую формулу вычисления расстояния между двумя точками.

      Формула для этого расстояния вытекает из теоремы Пифагора, применяемой  к прямоугольному треугольнику М₁М₂Р. Имеем М₁М₂²=М₁Р²+М₂Р². Кроме этого, расстояние между точками числовой прямой равно модулю разностей их координат.  
 
 
 
 
 

т.е. d²=(х₂-х₁)²+(у₂-у₁)²  или  

(1)

     Эта формула, как и дальнейшие, справедливы  при любом расположении точек  М₁ и М₂. 
 

Задача 2. О делении отрезка в данном отношении.

      Даны точки М₁ (х₁; у₁) и  М₂( х₂; у₂); требуется найти точку М (х; у), лежащую на отрезке М₁М₂ и делящую его в данном отношении М₁М/ММ₂=λ (рис. 3).            
 
 

     Решение этой задачи вытекает из подобия треугольников  М₁РМ и МQМ₂, из которого следует, что М₁P\MQ = M₁M = λ, т.е. (х-х₁)/(х₂-х) = λ,х-х₁ = λх₂- λх, откуда окончательно получаем

(выражение  для у выводится аналогично).

     Замечание: если λ = 1, т.е. при делении отрезка  М₁М₂ пополам, получается

        ,                                                                           (2)

Задача 3. О площади треугольника.

     Даны три точки А (х₁; у₁), В (х₂; у₂) и С (х₃; у₃); требуется найти площадь треугольника АВС.

      Решение: начнем с того, что опускаем перпендикуляры из вершин А,В и С АА₁, ВВ₁ и СС₁ на ось Ох (рис. 4). Очевидно, что

S_ABC=S_AA1B1B+S_B1BCC1 - S_A1ACC1.

Поэтому  
 

     т.е.                                           (3)

     Замечание: если при вычислении площади треугольника получили S = 0, то это означает, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если же получили отрицательное число, то следует взять его модуль.

Задача 4. О составлении уравнения линии.

     Даны две точки М₁ (х₁; у₁) и  М₂( х₂; у₂). Составить уравнение прямой М₁М₂.

     Решение: пусть точка М (х; у) – текущая точка прямой М₁М₂. Тогда М принадлежит М₁М₂ если, и только если вектор М₁М и М₁М₂ коллинеарны, т.е. справедливо равенство: М₁М = t*М₁М₂, где t є R (рис. 5).

       Используя координаты точек,  запишем векторное равенство в координатной форме. Учитывая, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты, получим два равенства: 
х – х₁ = t(х₂ – х₁), у – у₁ = t(у₂ – у₁). 
 
 
 

     Выражая х и у, получаем: 

х = х₁ + t(х₂ – х₁), 

у = у₁ + t(у₂ – у₁).  (4)

     Равенства (4) называют параметрическими уравнениями  прямой М₁М₂. Каждому значению параметра t из множества действительных чисел соответствуют координаты некоторой точки данной прямой, которые можно вычислить, используя равенства (4). При выводе этих уравнений мы использовали вектор М₁М₂ и точку М. то же можно сделать, если будут заданы точка М₀(х₀; у₀) и параллельный этой прямой вектор m(m₁;m₂). Он называется направляющим вектором прямой. Вектор m≠0, поэтому его координаты не могут одновременно равняться нулю. В этом случае условием принадлежности точки М данной прямой будет векторное равенство: М₀М=t*m (t – действительное число), которое выражается в координатах следующим образом:

     х-х₀=tm₁, y-y₀=tm₂.

     Выражая х и у, получим:

      х=х₀+tm₁,                                       (5)     

     y=y₀+tm₂.

     Получены  параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку (х₀; у₀) и параллельной данному вектору (m₁; m₂).

     Из  параметрических уравнений (4) исключим параметр t. Так как точки М₁ и М₂ различны, то вектор М₁М₂≠0. При этом одно из выражений х₂-х₁, у₂-у₁ отлично от нуля. Пусть х₂-х₁≠0, тогда из первого уравнения выразим параметр t.  
Подставим это значение t во второе уравнение, получим равенство

     Получили  уравнение прямой, проходящей через  две данные точки М₁ (х₁; у₁) и  М₂( х₂; у₂), которое удобно записать в следующем виде:

     (х-х₁)(у₂-у₁)=(у-у₁)( х₂-х₁).                          (6)

     В том случае, когда х₂-х₁≠0 и у₂-у₁≠0, это уравнение для лучшего запоминания представить в кананической форме:

                                                          (7)

     Аналогично  можно исключить t из уравнений (5). Получим уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀; у₀), параллельной данному вектору m(m₁;m₂):

m₂(x-x₀)=m₁(y-y₀).                                                     (8)

     Если  m₁≠0 и m₂≠0, то его можно представить в канонической форме:

       
                                                          (9)

       Каждое из уравнений (6), (7), (8), (9) можно привести к общему виду уравнений прямой:

Ах+Ву+С=0, где А²+В²≠0.                                    (10)

     Например, из равенства (9) можно получить, что  m₂x-m₁y+m₁y₀-m₂x₀=0. Положим m₂=A, -m₁=B, m₁y₀+m₂x₀=C, получим уравнение (10) при условии, что А²+В²≠0, так как вектор m≠0 и m₁²+m₂²≠0, т. е. вектор m(-В; А) параллелен данной прямой.

     Теперь  докажем, что любое уравнение  вида (10) есть уравнение некоторой  прямой. Для определенности считаем, что А≠0. Тогда х=(-В/А)у-С/А. Возьмем любое значение у=у₀. Для него вычислим х₀=(-В/А)*у₀-С/А. Легко убедиться, что уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) и параллельной вектору m(-В;А) (используется равенство (8)), эквивалентно уравнению (7).

     Доказано, что всякая прямая может быть задана уравнением (7) и всякое уравнение  вида (7) определяет некоторую прямую. Итак, Ах+Ву+С=0 при А²+В²≠0 есть уравнение прямой. Полезно иметь ввиду, что числа (-В) и А можно принять за координаты направляющего вектора этой прямой.

     Задача  5. О исследовании общего уравнения прямой.

     1) Пусть в общем уравнении прямой  коэффициент В=0, то есть Ах-С=0, тогда А≠0. Уравнение (10) примет  вид: х=а, где а=-С/А. Направляющий  вектор m этой прямой имеет координаты (0; А), следовательно прямая параллельна оси ОУ. Она проходит через точку Т(а; 0), так как числа х=а, у=0 удовлетворяют уравнение прямой.

     Если  в уравнении (10) А=0, то это уравнение  записывается в виде у=в. В этом случае прямая параллельна оси ОХ.

     2) Если в уравнении прямой С=0, то есть Ах+Ву=0, то числа х=0, у=0 удовлетворяют этому уравнению.  Прямая проходит через начало  координат.

     3) Нормальный вектор прямой –  это вектор, перпендикулярный прямой. Рассмотрим вектор n(А; В) и умножим его скалярно на направляющий вектор m(-В; А) данной прямой:

     n*m=-А*В+В*А=0, так как (m┴ℓ, m║ℓ)=>(m┴n).

     Пусть известны координаты точки М₀(х₀; у₀) прямой и координаты ее нормального вектора n(А; В). Если М(х; у) – текущая точка прямой, то векторы М₀М и n взаимно перпендикулярны, следовательно

     А(х-х₀)+В(у-у₀)=0                                                     (11)

     Это необходимое и достаточное условие  перпендикулярности векторов М₀М и n есть уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) перпендикулярно вектору n(А; В).

     4) Угловой коэффициент прямой.

     Если  прямая не параллельна оси ОУ, то в ее общем уравнении (10) коэффициент  В отличен от нуля и уравнение  можно записать в виде: 

     Положим  

     Тогда, у=κх+в есть уравнение прямой с угловым коэффициентом κ.

     Выясним геометрический смысл κ и в. Вектор m(1; κ) является направляющий для этой прямой. Если вектор m с положительным направлением оси ОХ образует угол φ, то tg(φ)=κ. Это число называется угловым коэффициентом  данной прямой. Ось ОУ данная прямая пересекает в точке Т(0;в); так как ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.

     При анализе школьной программы общеобразовательных  учреждений по математике выяснилось, что типовые задачи на координатной плоскости: расстояние между двумя  точками, деление отрезка в данном отношении, площадь треугольника изучаются  в курсе геометрии, а изучение уравнения прямой – в курсе  алгебры (построение графика линейной функции, влияние коэффициента κ на расположение прямой в координатной плоскости). Задача о составлении уравнений прямой изучается в курсе геометрии в школах (классах) с углубленным изучением математики. 

     1.1.3. Гипербола. Исследование гиперболы по ее уравнению 

     Гипербола есть множество точек, разность расстояний от которых по абсолютной величине до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная. Точки F₁ и F₂ называются фокусами гиперболы ³.

     Для любой точки М гиперболы, , где а = const     (12)

     Расстояние  между фокусами обозначим через 2с, с > а.

      Выбираем на плоскости систему  координат. Середину О отрезка F₁F₂ примем за начало координат, ось Ох проводим через фокусы (рис. 6 ). Тогда F₁ (- с; 0), F₂(с; 0), М(х; у), 
 
 
 
 
 
 
 
 

       На основании равенства (12) получим уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки гиперболы:

     Возведем  в квадрат обе части равенства  в квадрат и раскроем квадрат  двучлена, получим:

     х² + 2хс + с² + у² = 4а² 4а + х² – 2хс + с² + у².

     Опять возведем обе части в квадрат  и приведем подобные члены.

     х²с² – 2хса² + а⁴ = а²х² – 2хса² + а²с² + а²у².

     х²(с² – а²) – а²у² = а²(с² – а²), 

     Так как с > 0, то с² – а² > 0. Положительную величину с² – а² можно обозначить через b². Получаем окончательное уравнение гиперболы 

     Можно вычислить расстояние от любой точки, координаты которой удовлетворяют  этому уравнению до фокусов, и  показать, что их разность по модулю равна 2а.

     Итак, уравнение гиперболы имеет вид (13). Это уравнение было получено при специальном выборе системы координат. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

     Исследование  уравнения гиперболы.

     1. Пересечение гиперболы с осями  координат.

     В уравнении (1) положим у = 0, получим х² = а², х = а.

     Точки А₁(- а; 0), А₂(а; 0) – точки пересечения гиперболы с осью абсцисс. Они называются вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂ = 2а называется действительной осью гиперболы.

     Из  уравнения (13) следует, что Это равенство возможно лишь при х² – а² 0, то есть х² а², тогда х а, а х. Это означает, что не существует точек гиперболы при – а < x < a. Абсциссы точек гиперболы находятся на оси Ох вне интервала (- а; а).

       При а = 0 получим, что – у² = b². Это уравнение решений не имеет, следовательно, данная гипербола не пересекает ось ординат.

     2. Симметрии гиперболы.

     Если  точка М₁(х₁; у₁) принадлежит гиперболе, то 

       Для координат точек М₂(х₁; - у₁), М₃(- х₁; у₁), М₄(- х₁; - у₁) также выполняются это равенство, значит они также принадлежат гиперболе. Отсюда следует, что гипербола симметрична относительно осей абсцисс и ординат и начала координат (рис. 7). 
 
 
 
 
 
 
 

     3. Асимптоты гиперболы.

     Оказывается, что текущая точка гиперболы  при движении по ней в бесконечность  неограниченно приближается к некоторой  прямой, котороя называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения: 

     4. Эксцентриситет гиперболы.

     Отношение с/а = e называется эксцентриситетом гиперболы. Так как       с² – а² = b², то с > а, значит е > 1. Число е характеризует форму гиперболы. Если зафиксируем число а, число b будем изменять от нуля до бесконечности, то число с будет изменяться от а до бесконечности, а эксцентриситет от 1 до бесконечности. В этом случае угловой коэффициент асимптоты – b/а – изменяется от нуля до бесконечности.