Анализ динамических рядов. Экстраполяция. Интерполяция

    Содержание

    Введение……………………………………………………………………...1

    Теоретическая часть:

    1. Два общих типа компонент временных  рядов……………………..……3

    2. Анализ динамических рядов……………………………………………...3

    2.2 Показатели изменений уровней  динамических рядов……………..….4

    2.3 Способы обработки динамического ряда………………………………9

    3. Экстраполяция. Интерполяция……………………………………….…11

    4. Сезонные колебания…………………………………………………..…13

    4.1 Анализ сезонности…………………………………………………..….14

    4.2 Понятие сезонной неравномерности  и ее характеристика………..…14

    5. Анализ тренда……………………………………………………….…...16

    Практическая  часть…………………………………………………………18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

    Статистикой называют планомерный и систематический учет, осуществляемый в масштабах страны органами государственной статистики во главе с государственным комитетом РФ по статистике. Статистика – это цифровые данные, публикуемые в специальных справочниках и средствах массой информации. Статистика – специальная научная дисциплина. Предметом статистики является количественная сторона массовых социально-экономических явлений, неразрывные связи с их качественной стороной, конкретных условий, места и времени.

      Основные черты предмета статистической  науки:

1. Статистика- наука общественная.
2. В отличие от других общественных наук статистика изучает количественную сторону общественных явлений.
3. Статистика изучает массовое явление.
4. Статистика изучает количественную сторону явлений в неразрывной связи с количественной стороной и это находит свое воплощение в существовании системы статистических показателей.
5. Статистика изучает количественную сторону явлений в конкретных условиях места и времени.

    Под статистической методологией понимается система принципов и методов  их реализации направленных на изучение количественных закономерностей, проявляющихся  в структуре взаимосвязей и динамике социально-экономических явлений. Важными составными элементами метода статистики и статистической методологии являются массовое статистическое наблюдение, сводка и группировка, а также применение обобщающих  статистических показателей и их анализ.

    Все отрасли статистики развивая и совершенствую свою  методологию способствуют развитию статистической науки в целом. 
 

    Краткий обзор методов анализа данных, представленных в виде временных  рядов, т.е. в виде последовательностей  измерений, упорядоченных в неслучайные моменты времени. В отличие от анализа случайных выборок, анализ временных рядов основывается на предположении, что последовательные значения в файле данных наблюдаются через равные промежутки времени (тогда как в других методах нам не важна и часто не интересна привязка наблюдений ко времени).

Две основные цели анализа временных рядов:

    1) Определение природы ряда 

    2) Прогнозирование (предсказание будущих  значений временного ряда по  настоящим и прошлым значениям).

    Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, вы можете с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные (например, использовать в вашей теории для понимания сезонного изменения цен на товары, если занимаетесь экономикой). Не обращая внимания на глубину понимания и справедливость теории, вы можете экстраполировать затем ряд на основе найденной модели, т.е. предсказать его будущие значения.

    Изменение социально-экономических явлений  во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов. Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. 
 
 
 
 

    1. Два общих типа  компонент временных  рядов 

    Большинство регулярных составляющих временных  рядов принадлежит к двум классам: они являются либо трендом, либо сезонной составляющей. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Сезонная составляющая - это периодически повторяющаяся компонента. Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно. Например, продажи компании могут возрастать из года в год, но они также содержат сезонную составляющую (как правило, 25% годовых продаж приходится на декабрь и только 4% на август).  

    2. Анализ динамических  рядов 

    Ряды  динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Каждый  динамический ряд содержит две составляющие:

    1) показатели периодов времени  (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);

    2) показатели, характеризующие исследуемый  объект за временные периоды или на соответствующие даты, которые называют уровнями ряда.

    Уровни  ряда выражаются как абсолютными, так  и средними или относительными величинами. В зависимости от характера показателей  строят динамические ряды абсолютных, относительных и средних величин. Ряды динамики из относительных и средних величин строят на основе производных рядов абсолютных величин. Различают интервальные и моментные ряды динамики.

    Динамический  интервальный ряд содержит значения показателей за определенные периоды  времени. В интервальном ряду уровни можно суммировать, получая объем явления за более длительный период, или так называемые накопленные итоги.

    Динамический  моментный ряд отражает значения показателей на определенный момент времени (дату времени). В моментных  рядах исследователя может интересовать только разность явлений, отражающая изменение уровня ряда между определенными датами, поскольку сумма уровней здесь не имеет реального содержания. Накопленные итоги здесь не рассчитываются.

    Важнейшим условием правильного построения динамических рядов является сопоставимость уровней рядов, относящихся к различным периодам. Уровни должны быть представлены в однородных величинах, должна иметь место одинаковая полнота охвата различных частей явления.

    Для того чтобы избежать искажения реальной динамики, в статистическом исследовании проводятся предварительные расчеты (смыкание рядов динамики), которые предшествуют статистическому анализу динамических рядов. Под смыканием рядов динамики понимается объединение в один ряд двух и более рядов, уровни которых рассчитаны по разной методологии или не соответствуют территориальным границам и т.д. Смыкание рядов динамики может предполагать также приведение абсолютных уровней рядов динамики к общему основанию, что нивелирует несопоставимость уровней рядов динамики. 

    2.2 Показатели изменений уровней динамических рядов 

    Для характеристики интенсивности развития во времени используются статистические показатели, получаемые сравнением уровней  между собой, в результате чего получаем систему абсолютных и относительных показателей динамики: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста. Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний коэффициент роста, средний темп роста, средний темп прироста, среднее абсолютное значение 1% прироста.

    Если  в ходе исследования необходимо сравнить несколько последовательных уровней, то можно получить или сравнение с постоянной базой (базисные показатели), или сравнение с переменной базой (цепные показатели).

    Базисные  показатели характеризуют итоговый результат всех изменений в уровнях  ряда от периода базисного уровня до данного (i-го) периода.

    Цепные  показатели характеризуют интенсивность изменения уровня от одного периода к другому в пределах того промежутка времени, который исследуется.

    Абсолютный  прирост выражает абсолютную скорость изменения ряда динамики и определяется как разность между данным уровнем  и уровнем, принятым за базу сравнения.

    Абсолютный  прирост (базисный): 

      (9.1)

где yi - уровень сравниваемого периода; y0 - уровень базисного периода.

    Абсолютный  прирост с переменной базой (цепной), который называют скоростью роста: 

      (9.2)

где yi - уровень сравниваемого периода; yi-1 - уровень предшествующего периода.

    Коэффициент роста Ki определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

    Коэффициент роста базисный: 

      (9.3) 

    Коэффициент роста цепной: 

     (9.4) 

    Темп  роста: 

      (9.5) 

    Темп  прироста ТП определяется как отношение  абсолютного прироста данного уровня к предыдущему или базисному.

    Темп  прироста базисный: 

     (9.6) 

    Темп  прироста цепной: 

      (9.7) 

    Темп  прироста можно рассчитать и иным путем: как разность между темпом роста и 100 % или как разность между  коэффициентом роста и 1 (единицей): 

    1) Тп = Тр - 100%; 2) Тп = Ki - 1. (9.8) 

    Абсолютное  значение одного процента прироста Ai . Этот показатель служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.

    Данный  показатель рассчитывают по формуле: 

      (9.9) 

    Для характеристики динамики изучаемого явления  за продолжительный период рассчитывают группу средних показателей динамики. Можно выделить две категории  показателей в этой группе:

      а) средние уровни ряда;

    б) средние показатели изменения уровней ряда.

Средние уровни ряда рассчитываются в зависимости  от вида временного ряда. Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень ряда рассчитывается по формуле простой средней арифметической: 

      (9.10)

где n - число уровней ряда.

Для моментного динамического ряда средний уровень  определяется следующим образом. Средний уровень моментного ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле средней хронологической:

      (9.11)

где n - число дат. 

    Средний уровень моментного ряда с неравными интервалами рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где в качестве весов берется продолжительность промежутков времени между временными моментами изменений в уровнях динамического ряда: 

     (9.12)

где t - продолжительность периода (дни, месяцы), в течение которого уровень не изменялся.

    Средний абсолютный прирост (средняя скорость роста) определяется как средняя  арифметическая из показателей скорости роста за отдельные периоды времени: 

      (9.13)

где yn - конечный уровень ряда; y1 - начальный уровень ряда. 

    Средний коэффициент роста Кр рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды: 

     (9.14)

где Кр1 , Кр2 , ..., Кр n-1 - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда. 
 

    Средний коэффициент роста можно определить иначе: 

     (9.15)

    Средний темп роста, %. Это средний коэффициент  роста, который выражается в процентах: 

      (9.16)

    Средний темп прироста, %. Для расчета данного  показателя первоначально определяется средний темп роста, который затем уменьшается на 100%. Его также можно определить, если уменьшить средний коэффициент роста на единицу: 

      (9.17)

    Среднее абсолютное значение 1% прироста можно  рассчитать по формуле 

     (9.18) 

    2.3 Способы обработки динамического ряда 

    В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление  основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных  колебаний. Для решения этой задачи в статистике существуют особые способы, которые называют методами выравнивания.

Выделяют  три основных способа обработки  динамического ряда:

    а) укрупнение интервалов динамического  ряда и расчет средних для каждого  укрупненного интервала;

    б) метод скользящей средней;

    в) аналитическое выравнивание (выравнивание по аналитическим формулам).

    Укрупнение  интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в  более крупные по продолжительности  временных периодов, что позволяет  более четко выявить действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней.

    По  интервальным рядам итоги исчисляются  путем простого суммирования уровней  первоначальных рядов. Для других случаев  рассчитываются средние величины укрупненных рядов (переменная средняя). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

    Скользящая  средняя - это такая динамическая средняя, которая последовательно  рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом: 

       (9.19) 

    При четных периодах скользящей средней  можно центрировать данные, т.е. определять среднюю из найденных средних. К примеру, если скользящая исчисляется с продолжительностью периода, равной 2, то центрированные средние можно определить так: 

        (9.20) 

    Первую  рассчитанную центрированную относят  ко второму периоду, вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с фактическим сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число уровней интервала.

    Важнейшим способом количественного выражения  общей тенденции изменения уровней  динамического ряда является аналитическое  выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от конкретного характера динамики развития. Его можно определить как теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на исследовании линейной диаграммы.

    Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить:

    1) используя полусумму уровней,  расположенных рядом с интерполируемыми;

    2) по среднему абсолютному приросту;

    3) по темпу роста. 

    3. Экстраполяция. Интерполяция. 

    В практике анализа хозяйственной  деятельности широко используются различные математические методы научного исследования. В качестве примера рассмотрим два из них — это экстраполяция и интерполяция.

    Способ  определения количественных значений за пределами ряда называют экстраполяцией. Экстраполирование используется для прогнозирования тех факторов, которые не только в прошлом и настоящем обусловливают развитие явления, но и могут оказать влияние на его развитие в будущем.

    ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ — метод научного исследования, заключающийся в распространении  выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления, на его другую часть. В пространстве понимается как распространение выборочных данных на другую совокупность, не подвергнутую наблюдению; во времени предполагает, что установленная тенденция в прошлом периоде будет сохраняться и в будущем. Применяется в перспективном планировании, прогнозировании, при нахождении последующих значении (уровней) динамического ряда, когда известны предыдущие.

      Для этих целей могут быть  использованы выравнивание уровней  динамического ряда по способу наименьших квадратов и подстановка в полученное уравнение соответствующих значений t. Например, выравнивая уровни ряда по параболе 2-го порядка за прошедшие 5 лет, получили аналитическое уравнение у1=а0+а1t+а2t2, и есть основание предполагать, что в последующие 2 года данная тенденция не изменится. Подставив в уравнение значения t=6 и 7, получим искомые уровни этих лет.

    Экстраполировать  можно по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста.

    При аналитическом выравнивании может иметь место автокорреляция, под которой понимается зависимость между соседними членами динамического ряда. Автокорреляцию можно установить с помощью перемещения уровня на одну дату. Коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле 

      (9.21)

    Автокорреляцию  в рядах можно устранить, коррелируя не сами уровни, а так называемые остаточные величины (разность эмпирических и теоретических уровней). В этом случае корреляцию между остаточными  величинами можно определить по формуле:

      (9.22)

    ИНТЕРПОЛЯЦИЯ  — нахождение неизвестных промежуточных  значений (уровней) динамического ряда при известных соседних. Может  выполняться путем использования  двух или нескольких уровней, при  этом различные суждения о динамике развития явления при интерполяции приводят и к различным результатам, поэтому при выборе того или иного предположения о тенденции развития изучаемого явления динамический ряд рассматривают до и после (или одновременно) интерполируемого периода и приходят к определенному заключению. 

    4. Сезонные колебания

    Сезонные  колебания измеряются с помощью  индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

    При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно  рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период: 

      (9.23)

    В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как  процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных месяцев:

      (9.24)

    4.1 Анализ сезонности 

    Периодическая и сезонная зависимость (сезонность) представляет собой другой общий  тип компонент временного ряда. Это понятие было проиллюстрировано ранее на примере авиаперевозок пассажиров. Можно легко видеть, что каждое наблюдение очень похоже на соседнее; дополнительно, имеется повторяющаяся сезонная составляющая, это означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самом месяце год назад. В общем, периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка k между каждым i-м элементом ряда и (i-k)-м элементом. Ее можно измерить с помощью автокорреляции (т.е. корреляции между самими членами ряда); k обычно называют лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание). Если ошибка измерения не слишком большая, то сезонность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые k временных единиц. 

    4.2 Понятие сезонной  неравномерности и ее характеристика 

       Слагаясь  под  совместным  воздействием   систематических   и   случайных факторов,  уровень  ряда  динамики  испытывает  также  воздействие   причин, обусловленных периодичностью колебаний.

       В  рядах  внутригодичной   динамики,   можно   выделить   три   важнейшие составляющие колеблемости уровней временного ряда:

тренд, сезонную и случайную компоненты.

    Таким  образом,  при  анализе  колеблемости  динамических  рядов наряду   с выделением случайных колебаний возникает  и  задача  изучения  периодических колебаний.  Как  правило,  изучение  периодических  («сезонных»)   колебаний необходимо с целью исключения их влияния на  общую  динамику  для  выявления  «чистой» (случайной) колеблемости.

    В широком понимании к сезонным относят все явления, которые  обнаруживают  в своем   развитии   отчетливо   выраженную  закономерность    внутригодичных изменений, т.е. более или  менее  устойчиво повторяющиеся из  года  в год колебания уровней. Часто эти колебания  могут  быть  не  связаны  со  сменой времен  года.   К   сезонным   явлениям   относят,   например,   потребление электроэнергии; неравномерность  производственной  деятельности  в  отраслях пищевой  промышленности,  связанных  с  переработкой   сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом, спрос на многие виды продукции  и услуг и т.д.

          Как  бы  ни  проявлялась   сезонность,  она   наносит   большой   ущерб национальной   экономике,   связанный   с    неравномерным  использованием оборудования  и  рабочей  силы,  с   неравномерной   загрузкой   транспорта, необходимостью создания резервов мощностей и т.д. Комплексное регулирование сезонных  изменений   по   отдельным   отраслям   должно   основываться   на исследовании сезонных отклонений.

          Важнейшими  задачами,  решаемыми   в  ходе   исследования   сезонности, являются следующие:

    1) определение наличия сезонности, численное выражение  проявления  сезонных колебаний и выявление их  силы и характера в различных фазах годичного цикла;

    2) характеристика факторов, вызывающих  сезонные колебания;

    3) оценка последствий, к которым приводит наличие сезонных колебаний;

    4) математическое  моделирование   сезонности.   Для   измерения   сезонных колебаний статистикой предложены различные методы. Наиболее простые и  часто употребляемые из них:

    а) метод абсолютных разностей;

    б) метод относительных разностей;

    в) построение индексов сезонности.

    Первые  два  способа  предполагают  нахождение  разностей  фактических уровней и уровней, найденных при выявлении основной тенденции развития.

          Применяя  способ  абсолютных  разностей,   оперируют   непосредственно размерами  этих  разностей,  а  при   использовании   метода   относительных разностей определяют отношение абсолютных  размеров  указанных  разностей  к выровненному уровню. При выявлении основной тенденции используют либо  метод скользящей средней, либо аналитическое выравнивание. В некоторых  случаях  в стационарных  рядах  можно  пользоваться  разностью  фактических  уровней  и средним месячным уровнем за  год.  Использование  данных  за  несколько  лет связано  с  тем  обстоятельством,  что  в  отклонениях  по  отдельным  годам сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать  случайные колебания, берут средние отклонения за несколько лет.