Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Однофакторный регрессионно-корреляционный анализ

 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 1 - Поле корреляции 
 
 
 

 

2. Для расчета параметров линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 2)

Таблица 2    
 

 

    2а. Построим линейное уравнение парной регрессии y по x. Используя данные таблицы 2, имеем

    

 

    

 

    Тогда линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

    

    Оно показывает, что с увеличением  среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. средняя зарплата возрастает в среднем на 0,78 руб. 

    2б. Учитывая:

    

                     

    оценим  тесноту линейной связи с помощью  линейного коэффициента парной корреляции:

    

    Найдем  коэффициент детерминации:

    

 

    Это значит, что почти 70% вариации заработной платы y объясняется вариацией фактора x-среднедушевого прожиточного минимума.

    2в. Для оценки качества полученной модели найдем среднюю ошибку аппроксимации:

    

    В среднем, расчетные значения отклоняются  от фактических на 3,387%. Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. значение -       менее 8%.

    2г. Для оценки силы связи признаков y и x найдем средний коэффициент эластичности:

    

 

    Таким образом, в среднем на 0,48% по совокупности изменится среднедневная зарплата от своей величины при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%.

    Бета-коэффициент:

    

    показывает, что среднее квадратическое отклонение среднедневной зарплаты изменится в среднем на 83% от своего значения при изменении прожиточного минимума в день одного трудоспособного на величину его среднего квадратического отклонения.

    2д. Для оценки статистической надежности результатов использования F -критерий Фишера.

    Выдвигаем нулевую гипотезу H₀ о статистической незначимости полученного линейного уравнения.

    Рассчитаем  фактическое значение F -критерия при  заданном уровне значимости :

    

    Сравнивая табличное и фактическое значения, отмечаем, что

    

    что указывает на необходимость отвергнуть выдвинутую гипотезу H₀.

    2е. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из показателей.

    Выдвигаем гипотезу H₀ о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля:

    Табличное значение t-статистики для числа степеней свободы

    

    при заданном уровне значимости составляет 2,23.

    Определим величину случайных ошибок: 

    

    

 

    

 

    

 

    Найдем  соответствующие фактические значения t-критерия Стьюдента:

    

    

    

 

    Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение =2,23

                              

    поэтому гипотеза H₀ о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля отклоняется, т.е. параметры и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

    Для расчета доверительных интервалов для параметров и определим их предельные ошибки

    

    Доверительные интервалы

    для параметра : (41,351; 105,223),

    для параметра  (0,419; 1,141).

    С вероятностью

    

    можно утверждать, что параметры  и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

    3. Проверим результаты, полученные в п.2 с помощью ППП Excel.

Рисунок 2 - Диалоговое окно «Мастер функций»

 

Рисунок 3 - Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН 
 

    Дополнительная  регрессионная статистика будет  выводиться в порядке, указанном  в следующей схеме (табл. 3): 

          Таблица 3

 

Рисунок 4 - Результат вычисления функции ЛИНЕЙН 

Рисунок 5 - Подключение надстройки Пакет анализа

Рисунок 6 - Диалоговое окно Анализ данных 

Рисунок 7 - Диалоговое окно ввода параметров

инструмента Регрессия 

Рисунок 8 - Результаты применения инструмента Регрессия 

    4. Построению показательной модели

                                                                        (1)

      предшествует процедура линеаризации  переменных.

    Прологарифмируем  обе части уравнения (1), получим:

                                                              (2)

    Введем  обозначения

    

                          

    Тогда уравнение (2) запишем в виде:

                                                         (3)

    Параметры полученной линейной модели (3) рассчитываем аналогично тому, как это было сделано ранее. Используем данные расчетной таблицы 4. 
 

 

Таблица 4 
 
 
 
 
 

 

    Построим  линейное уравнение парной регрессии  Y по X. Используя данные таблицы 3, имеем:

    

    Получим линейное уравнение регрессии:

                                                   (4)

    Тесноту полученной линейной модели характеризует  линейный коэффициент парной корреляции:

    

    Коэффициент детерминации при этом равен:

    

    Это означает, что 63% вариации фактора  Y объясняется вариацией фактора x.

    Средняя ошибка линейной аппроксимации составляет:

    

    Проведя потенцирование  уравнения (4), получим  искомую нелинейную (показательную) модель

                             (5) 

    Результаты вычисления параметров показательной кривой (1) проверим с помощью ППП Excel , для чего используем встроенную статистическую функцию ЛГРФПРИБЛ. 

Рисунок 9 - Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ 

    Для расчета индекса корреляции нелинейной регрессии воспользуемся вспомогательной таблицей 5. 
 
 
 
 
 
 

 

Таблица 5

 

 

    Найдем  коэффициент детерминации

    

=0,7.

    Это означает, что 70% вариации заработной платы  y объясняется вариацией фактора   x- среднедушевого прожиточного минимума.

    Рассчитаем  фактическое значение F- критерия при заданном уровне значимости = 0,05:

    

    Сравнивая табличное  =4,96 и фактическое =23,3 значения, отмечаем, что

    

    что указывает на необходимость отвергнуть выдвинутую гипотезу H₀ о статистически незначимых параметрах уравнения (5). 
 

    5. Так как коэффициенты детерминации, соответствующие линейной и показательной моделям практически равны (около 70% вариации заработной платы y объясняется вариацией фактора   x- среднедушевого прожиточного минимума в обеих моделях), то нет весомых оснований отдать предпочтение какой-либо модели. Тем не менее, прогнозное значение результата рассчитаем по показательной модели (

    По  условию задачи прогнозное значение фактора выше его среднего уровня на 5%, тогда оно составляет:

    

    и прогнозное значение зарплаты при этом составит:

    

    Найдем  ошибку прогноза:

    

    и доверительный интервал прогноза при  уровне значимости  = 0,05.

    Предельная  ошибка прогноза, которая 95% случаев  не будет превышена, составит:

    

    Доверительный интервал прогноза

    (125,7871; 155,2529). 
 
 
 
 
 
 
 
 

Анализ  и прогнозирование  временных рядов

    Заданы временные ряды:

• первый из них Y-объем реализации продукции фирмы. Это зависимая переменная.
• Следующие ряды:

    Х₁ – время,

    Х₂ – расходы на рекламу,

    Х₃ – цена товара,

    Х₄ – средняя цена конкурентов,

    X₅ – индекс потребительских расходов

являются  рядами независимых переменных.

Статистические  данные по всем переменным приведены в таблице 6.

    В рассматриваемом примере число  наблюдений n = 20, факторных признаков m = 5.

    Таблица 6

    

 

    1. Для проведения корреляционного анализа нужно выполнить следующие действия:

    1) расположить данные в смежных диапазонах ячеек;

    2) выбрать команду Сервис => Анализ данных (рисунок 10). Появится диалоговое окно Анализ данных (рисунок  11); 
 

    

    Рисунок  10 - Выбор команды анализ данных

    3) в диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Корреляция (рисунок 11), щелкнуть по кнопке ОК. появится диалоговое окно Корреляция;

    

    Рисунок  11 – Диалоговое окно анализ данных

    4) в диалоговом окне Корреляция в поле «Входной интервал» необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Если также выделены заголовки столбцов, то установить флажок «Метки в первой строке» (рисунок  12);

    5) выбрать параметры вывода. В данном  примере – установить переключатель «Новый рабочий лист»;

    6) щелкнуть по кнопке ОК. 

    

    Рисунок  12 - Диалоговое окно Корреляция 

    На  новом рабочем листе получаем результаты вычислений – таблицу значений коэффициентов парной корреляции (рисунок  13). 

    

Рисунок  13 - Результаты корреляционного анализа

    Выбор вида модели

    Анализ  матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем реализации, имеет тесную связь:

    – с индексом потребительских расходов

,

    – с расходами на рекламу           ,

    – со временем                                .

    Однако  факторы Х₁ и X₅ тесно связаны между собой

,

что свидетельствует  о наличии коллинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели X₅ – индекс потребительских расходов. Переменные Х₃ (цена товара), и Х₄ (цена конкурента) также исключаем из модели, т.к. связь их с результативным признаком Y (объемом реализации) невысокая.

    После исключения незначимых факторов имеем n = 20, k = 2.

    Модель  приобретает вид:

.

    Оценка  параметров модели

    На  основе метода наименьших квадратов  проведем оценку параметров регрессии. При этом используем данные, приведенные в таблице 7.

    Таблица 7