Анализ замкнутой системы

Содержание

 

Задание и исходные данные…………………………………………….3

1. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ………….5
2. Устойчивость САУ…………………………………………………...8
3. Частотные характеристики разомкнутой и замкнутой САУ…….10
4. Качество САУ……………………………………………………….20
5. Дифференциальное уравнение замкнутой САУ………………….22
6. Уравнения состояния замкнутой САУ в нормальной форме……23

Список используемой литературы……………..……………………...25

 

Задание и исходные данные

 

Исходные  данные к контрольной работе:

Структурная схема линейной САУ представлена на рисунке 1, где  соответствующие передаточные функции  имеют вид апериодических звеньев:

 

     

 

Параметры T₁, T₂, T₃, K₁, K₃ для каждого варианта задания представлены в таблице 1:

 

Таблица 1.

Номер варианта	T1	T2	T3	K1	K3
1	2	3	4	5	6
30	0.60	1.60	0.90	2.00	3.90

 

Величина коэффициента K₂ выбирается далее из условия устойчивости.

 

 

Рисунок 1. Структурная схема  САУ.

 

Задание к  контрольной работе:

1. Найти передаточные  функции разомкнутой и замкнутой  системы:  при , (т.е. разомкнута главная обратная связь); при - главная передаточная функция замкнутой системы; при - передаточная функция замкнутой системы по ошибке; при - передаточная функция замкнутой системы по возмущению. Параметры , входят в передаточные функции в общем виде, т.е. в буквенных символах.

2. Найти характеристическое  уравнение замкнутой системы.  Используя критерий Гурвица, записать  в общем виде условия устойчивости. При заданных в таблице 2 параметрах  , , , , найти максимальное граничное значение коэффициента передачи при котором система еще устойчива. В дальнейшем полагать .

3. Найти аналитические  выражения и построить графики:

 – амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы;

 – амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) разомкнутой системы;

 – фазо-частотной характеристики (ФЧХ) разомкнутой системы;

 − логарифмических амплитудно- и фазо-час-тотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы;

 - вещественной частотной характеристики замкнутой системы;

 - амлитудно-частотный характеристики замкнутой системы.

4. Используя полученные  и построенные характеристики, найти  и оценить следующие показатели качества системы:

- - статическую ошибку при подаче на ее входе единичного ступенчатого воздействия;

- частоту среза системы , запасы устойчивости системы по амплитуде и фазе ;

- показатель колебательности системы ;

- время регулирования t_p и перерегулирование .

5.Найти дифференциальное  уравнение замкнутой системы,  связывающее  и (полагая ).

6. Найти уравнения состояния  замкнутой системы в векторно-мат-ричном  виде, в нормальной форме, связывающие  координаты  и (полагая ).

 

1. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ

 

 

Рисунок 2. Структурная схема  САУ.

 

Передаточная  функция – это отношение изображения по Лапласу сигнала на выходе системы к изображению по Лапласу сигнала на входе системы при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция разомкнутой системы - это передаточная функция, которая связывает изображение выходного сигнала Y(s) и входного V(s) при размыкании цепи главной обратной связи и при F(s)=0.

Определим передаточную функцию разомкнутой САУ W(s):

 

 

Исходя из структурной  схемы САУ, приведенной на рисунке  2, запишем уравнения для всех звеньев и узлов САУ:

 

 

Решим эту систему относительно Y(s) и E(s). Получим следующие выражения:

 

 

Главная передаточная функция замкнутой системы - это передаточная функция, которая связывает изображение выходного сигнала Y(s) и входного V(s) при замыкании цепи главной обратной связи и при F(s)=0.

Определим главную передаточную функцию замкнутой САУ Ф(s):

 

Передаточная  функция замкнутой системы по возмущению - это передаточная функция, которая связывает изображение выходного сигнала Y(s) и возмущения F(s) при замыкании цепи главной обратной связи и при V(s)=0.

Определим передаточную функцию  замкнутой САУ по возмущению Ф_f(s):

 

Передаточная  функция замкнутой системы по ошибке - это передаточная функция, которая связывает изображение сигнала ошибки E(s) и входного V(s) при замыкании цепи главной обратной связи и при F(s)=0.

Определим передаточную функцию  замкнутой САУ по ошибке Ф_е(s):

 

 

В итоге получаем ряд необходимых  передаточных функций САУ:

 

 

 

2. Устойчивость САУ

 

Если найдена главная  передаточная функция замкнутой  системы в виде , где K = K₁K₂K₃ − общий коэффициент передачи прямой цепи, − полином относительно , то характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

 

.

 

Коэффициенты  зависят от параметров системы , . Условие устойчивости в соответствии с критерием Гурвица для системы третьего порядка имеет вид: , . При заданных из полученных условий устойчивости определяется ограничение на величину коэффициента передачи далее принимается .

Характеристическим полиномом D(s) является знаменатель главной передаточной функции замкнутой системы. Полином носит название характеpистичeского полинома замкнутой систeмы, а уравнение – характepистичeского уpавнeния замкнутой систeмы. Степень полинома определяется величиной n (если m < n) или m (если m > n). Для физически реализуемой разомкнутой системы степень полинома равна n.

Рассматриваемая САУ является системой третьего порядка, для которой характеристический полином имеет вид:

 

 

Характеристическое уравнение  в свою очередь будет иметь  вид:

 

 

В соответствии с критерием  Гурвица для устойчивости системы  необходимо и достаточно, чтобы  и .

 

 

 

_{Условия устойчивости САУ  в общем виде:}

 

 

Максимальное граничное значение коэффициента передачи при котором система еще устойчива (находится на колебательной границе устойчивости) определяется из уравнения .

_{Запишем преобразованное  уравнение из пятого условия устойчивости САУ в общем  виде:}

 

 

_{Решаем  это уравнение  относительно К2’:}

 

 

В дальнейшем полагаем . Тогда:

 

 

Подставим численные значения и рассчитаем коэффициент К₂:

 

 

 

3. Частотные характеристики разомкнутой и замкнутой САУ

 

Для определения частотных  характеристик разомкнутой САУ  воспользуемся передаточной функцией разомкнутой САУ W(s), а для определения частотных характеристик замкнутой САУ воспользуемся главной передаточной функцией замкнутой САУ Ф(s):

 

 

Запишем передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ W(s) и Ф(s) соответственно в следующем виде:

 

        где

 

 

Определим частотные передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ. Для этого выполним подстановку: (0 ≤ ω < ∞).

 

 

 

Отсюда получаем вещественные U(ω), P(ω) и мнимые V(ω), Q(ω) составляющие:

 

     

 

По выражениям U(ω) и V(ω) находим выражение для АЧХ разомкнутой САУ:

По выражениям P(ω) и Q(ω) находим выражение для АЧХ замкнутой САУ:

Логарифмическая амплитудно-частотная  характеристика разомкнутой САУ:

Фазо-частотная характеристика разомкнутой САУ:

Подставим численные значения параметров и рассчитаем характеристики разомкнутой и замкнутой САУ:

 

 

 

Результаты расчёта характеристик приведены в таблице 2:

 

Таблица 2.

ω, с-1.	lg(ω), дек.	U(ω).	V(ω).	AP(ω).	L(ω), дБ.	φ(ω),град.	P(ω).	Q(ω).	A3(ω).
0	-	4.77431	0	4.77431	13.5782	0	0.82682	0	0.82682
0.1	-1	4.46589	-1.42239	4.68694	13.41778	-17.66667	0.82865	-0.04459	0.82985
0.5	-0.3	0.58857	-3.20273	3.25636	10.25465	-79.5868	0.87571	-0.25058	0.91086
1	0	-1.05693	-1.21819	1.61278	4.15153	-130.94559	1.03828	-0.8191	1.32248
1.5	0.2	-0.77625	-0.23972	0.81242	-1.80439	-162.83849	-1.08084	-2.22932	2.47752
2	0.3	-0.44177	0.02923	0.44274	-7.07702	-183.7858	-0.78649	0.09355	0.79204
2.5	0.4	-0.24766	0.08196	0.26087	-11.67164	-198.3112	-0.31359	0.1431	0.3447
3	0.5	-0.14385	0.07926	0.16424	-15.69034	-208.85397	-0.1581	0.10721	0.19102
3.5	0.5	-0.08743	0.0654	0.10918	-19.23707	-216.79941	-0.0902	0.07813	0.11933
4	0.6	-0.05551	0.05172	0.07587	-22.39847	-222.97536	-0.05561	0.0578	0.08021
4.5	0.7	-0.03666	0.04057	0.05468	-25.24309	-227.90001	-0.03622	0.04364	0.05671
5	0.7	-0.02506	0.03197	0.04062	-27.82452	-231.91123	-0.0246	0.0336	0.04164
5.5	0.7	-0.01765	0.02543	0.03096	-30.18482	-235.23734	-0.01729	0.02634	0.0315
6	0.8	-0.01276	0.02045	0.02411	-32.35726	-238.03755	-0.01249	0.02098	0.02441
6.5	0.8	-0.00944	0.01663	0.01912	-34.36846	-240.42589	-0.00924	0.01695	0.0193
7	0.8	-0.00712	0.01367	0.01542	-36.23998	-242.48601	-0.00698	0.01387	0.01553
7.5	0.9	-0.00547	0.01136	0.0126	-37.98943	-244.28058	-0.00537	0.01148	0.01267
8	0.9	-0.00427	0.00952	0.01043	-39.63139	-245.85739	-0.00419	0.0096	0.01048
8.5	0.9	-0.00338	0.00805	0.00873	-41.17805	-247.2535	-0.00332	0.00811	0.00876
9	1	-0.0027	0.00687	0.00738	-42.63965	-248.49809	-0.00266	0.0069	0.0074
10	1	-0.00179	0.0051	0.00541	-45.34128	-250.62115	-0.00177	0.00512	0.00542
15	1.2	-0.00036	0.00158	0.00162	-55.80213	-257.03747	-0.00036	0.00158	0.00162
20	1.3	-0.00012	0.00068	0.00069	-63.26155	-260.26662	-0.00012	0.00068	0.00069
25	1.4	-5E-005	0.00035	0.00035	-69.05901	-262.20902	-5E-005	0.00035	0.00035
30	1.5	-2E-005	0.0002	0.0002	-73.80057	-263.50558	-2E-005	0.0002	0.0002
35	1.5	-1E-005	0.00013	0.00013	-77.81175	-264.43236	-1E-005	0.00013	0.00013
45	1.7	0	6E-005	6E-005	-84.35426	-265.66876	0	6E-005	6E-005
55	1.7	0	3E-005	3E-005	-89.58015	-266.4559	0	3E-005	3E-005
65	1.8	0	2E-005	2E-005	-93.9314	-267.00098	0	2E-005	2E-005
75	1.9	0	1E-005	1E-005	-97.65915	-267.40075	0	1E-005	1E-005
85	1.9	0	1E-005	1E-005	-100.9198	-267.70649	0	1E-005	1E-005
95	2	0	1E-005	1E-005	-103.8176	-267.94788	0	1E-005	1E-005

По результатам расчёта  строим графики характеристик:

 

 

Рисунок 3. АФЧХ разомкнутой  САУ.

 

 

Рисунок 4. АЧХ разомкнутой  САУ.

 

 

Рисунок 5. ФЧХ разомкнутой  САУ.

 

 

Рисунок 6. ЛАЧХ разомкнутой  САУ.

 

 

Рисунок 7. ЛФЧХ разомкнутой  САУ.

 

 

Рисунок 8. ВЧХ замкнутой  САУ.

 

 

Рисунок 9. АЧХ замкнутой  САУ.

 

 

4. Качество САУ

 

1. Определим статическую ошибку САУ при подаче на её вход единичного ступенчатого сигнала. Статическая ошибка e_ст определяется по формуле: где K - коэффициент передачи САУ:

 

 

2. Определим частоту среза ω_с. Частота среза определяется по графику ЛАЧХ разомкнутой САУ (рисунок 6). Это значение частоты, при которой график ЛАЧХ L(ω) пересекает ось абсцисс. То есть: L(ω_c)=0.

По графику ЛАЧХ разомкнутой САУ (рисунок 6):

 

lg(ω_c)= 0.13033 (дек).

ω_c=10^0.13033=1.35 (с^-1).

 

3. Показатель колебательности М определим из графика АЧХ замкнутой САУ (рисунок 9):

 

 

Так как показатель колебательности  в несколько раз больше единицы, то САУ склонна к незначительным колебаниям.

 

4. Определим время регулирования t_p и перерегулирование σ. Эти показатели ориентировочно можно оценить, используя максимальное значение P_max(ω) ВЧХ замкнутой САУ (рисунок 8) и частоту среза ω_c.

Графики, связывающие σ, t_p, P_max, ω_c приведены ниже на рисунке 10.

 

 

Рисунок 10. Графики зависимостей σ, t_p, P_max, ω_c.

Для нашей САУ: P_max=1.05617; ω_c=1.35 (с^-1). Тогда из графиков (рисунок 10) видно, что:

 

5. Запасы устойчивости по амплитуде ΔL и фазе Δφ находятся по ранее построенным ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ:

По графикам имеем: ΔL=7.56 дБ, Δφ=25.29^о. 

5. Дифференциальное уравнение замкнутой САУ

 

Найдём дифференциальное уравнение замкнутой системы, связывающее и (полагая ).

Зная передаточную функцию, связывающую изображения входа  и выхода системы, нетрудно получить дифференциальное уравнение, связывающее  входную и выходную координаты системы.

Важной характеристикой  замкнутой системы является ее дифференциальное уравнение. из уравнения , заменяя и выражениями, полученными ранее, получим (с учётом того, что F(s)=0):

 

 

Используя замену s оператором дифференцирования р, перейдём от изображения по Лапласу к оригиналу:

 

 

С учётом того, что:

 

 

Запишем дифференциальное уравнение  замкнутой системы, связывающее  и (полагая ):

 

 

 

6. Уравнения состояния замкнутой САУ в нормальной форме

 

Найдём уравнения состояния замкнутой системы в векторно-мат-ричном виде, в нормальной форме, связывающие координаты и (полагая ).

По дифференциальному  уравнению, найденному в предыдущем пункте, легко найти уравнения  состояния в нормальной форме.

Пусть динамика одномерной системы, имеющей вход v и выход y, описывается дифференциальным уравнением:

,

где , .

Требуется найти уравнения  состояния в нормальной форме.

Задача легко решается для частного случая, если m = 0, т.е. правая часть будет иметь вид . Сделаем замену переменных . Дифференцируя последовательно каждое равенство, получим:

 

 

где последнее соотношение  соответствует уравнению. Полученную систему с учетом запишем в виде уравнений состояния в векторно-матричном виде:

 

,    ,

 

где, как обычно, .

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение нашей замкнутой системы имеет вид:

 

 

 

Разделим обе части  уравнения на a₀:

 

 

Следуя вышеизложенному  правилу и методике, получаем систему  уравнений состояния в нормальной форме и в векторно-матричном виде:

 

 

,

.

 

 

Список используемой литературы

 

1. Теория автоматического управления. Пособие по курсовой и контрольной работам для студентов специальности 1-53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» (заочное обучение) / В. П. Кузнецов, С. В. Лукьянец, М. А. Крупская. – Минск: БГУИР, 2008. − 32 с.
2. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2 ч. Ч.1: Линейные непрерывные системы: учеб.-метод. пособие / В. П. Кузнецов, С. В. Лукьянец, М. А. Крупская. – Минск: БГУИР, 2007. − 132 с.
3. Бесекерский, В. А. Теория автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – СПб.: Профессия, 2004.