Економіко - математичні моделі в управлінні та економіці

Теоретична частина

Систематизація  моделей поведінки споживачів

 

Дослідження математичної моделі дає змогу діставати характеристики реального економічного об’єкта  чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей (ЕММ), які класифікують за різними  критеріями.

За цільовим призначенням ЕММ поділяються  на теоретико-аналітичні, застосовувані  для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних  процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв’язування  конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).

ЕММ можуть бути призначені для дослідження  як різних функціональних складових  економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і  його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем — секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв’язків тощо.

Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні найчастіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв’язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об’єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об’єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.

В умовах ринкової системи управління виробничою і збутовою діяльністю підприємств і фірм в основі прийняття господарських рішень лежить ринкова інформація, а обгрунтованість рішень перевіряється ринком у ході реалізації товарів і послуг. При такому підході основою підприємницької діяльності стає вивчення споживчого попиту.

Розглянемо деякі питання моделювання попиту і споживання.

Рівень споживання суспільства  можна висловити цільової функцією споживання U = U (Y), де Y О - вектор змінних різноманітних товарів і послуг. Ряд властивостей цієї функції зручно вивчати, використовуючи геометричну інтерпретацію рівнянь U (Y) = С, де С - мінливий параметр, що характеризує значення (рівень) цільової функції споживання (наприклад, прибуток або рівень матеріального добробуту).

У сукупності споживчих  благ кожному рівнянню U (Y) = С відповідає певна поверхню рівноцінних, або байдужих, наборів благ, яка називається поверхнею байдужості. Для наочності розглянемо простір двох благ, наприклад, у вигляді двох агрегованих груп товарів: продукти харчування (y ₁₎ і непродовольчі товари, включаючи послуги (у _2). Тоді рівні цільової функції споживання можна зобразити на площині у вигляді кривих байдужості, відповідних різним значенням С (рис. 1.1, де З ₁ <З ₂ <Сз).

 

 
 

 

 

 

Рис. 1.1. Графік кривих байдужості

З основних властивостей цільової функції споживання можна відзначить наступні:

1. функція U (Y) є зростаючою функцією всіх своїх аргументів, тобто збільшення споживання будь-якого блага при незмінному рівні споживання всіх інших благ збільшує значення даної функції;

2. криві байдужості не можуть  перетинатися, тобто через одну  точку сукупності благ (товарів,  послуг) можна провести тільки  одну поверхню байдужості;

3. криві байдужості мають негативний  нахил до кожної осі координат, при цьому абсолютний нахил кривих зменшується при русі в позитивному напрямку по кожній осі, тобто криві байдужості є опуклими кривими.

Методи побудови цільової функції  споживання засновані на узагальненні досвіду поведінки споживачів і тенденцій купівельного попиту в залежності від рівня добробуту.

Розглянемо моделювання поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин на базі цільової функції споживання. В основі моделі поведінки споживачів лежить гіпотеза, що споживачі, здійснюючи вибір товарів при встановлених цінах і наявному доході, прагнуть максимізувати рівень задоволення своїх потреб.

Нехай у сукупності п видів товарів досліджується поведінка споживачів. Позначимо попит споживачів через вектор Y = (y _1, у ₂ ,..., y _n), а ціни на різні товари - через вектор Р = (р _1, р _2, ..., p _п). Нехай D - величина доходу . Тоді споживачі можуть вибирати тільки такі комбінації товарів, які задовольняють обмеженню , Званому бюджетним обмеженням.

Нехай U (Y) цільова функція споживання. Тоді найпростіша модель поведінки споживачів в векторної формі можна записати у вигляді:

(1.1)

Геометрична інтерпретація моделі (1.1) для двох агрегованих груп товарів представлена на рис. 1.2.

Лінія АВ (в інших варіантах А ₁ В _1, А ₂ В ₂₎ відповідає бюджетному обмеженню і називається бюджетною лінією. Вибір споживачів обмежений трикутником АОВ (A ₁ OB _1, A ₂ OB _2).

Рис. 1.2. Графік найпростішої моделі поведінки споживача

Набір товарів М, відповідний точці дотику прямої АВ з найбільш віддаленій кривої байдужості, є оптимальним рішенням (в інших варіантах це точки К і L). Легко помітити, що лінії АВ і A ₁ B ₁ відповідають одному і тому ж розміру доходу та різними цінами на товари y ₁ і у _2; лінія A ₂ B ₂ відповідає більшому розміру доходу.

На основі теорії нелінійного програмування, можна визначити математичні умови оптимальності рішень для моделі (1.1). Із завданням нелінійного програмування зв'язується так звана функція Лагранжа, яка для задачі (1.1) має вигляд

L (Y, l,) = U (Y) + l (D - PY),

де множник Лагранжа l є оптимальною оцінкою доходу.

Позначимо приватні похідні функції U (Y) через U _i:

Вони представляють собою граничні корисні ефекти (граничні корисності) відповідних споживчих благ і показує на скільки одиниць збільшується цільова функція споживання при збільшенні використання i - гоблага (товару) на деяку умовну «малу одиницю».

Необхідними умовами того що вектор Y ⁰ буде оптимальним рішенням, є умови Куна-Таккера:

при цьому 

(Товар купується)

(Товар не купується) (1.2)

 
Останнє з співвідношень (1.2) відповідає повному використанню доходу, і для цього випадку очевидно нерівність .

З умов оптимальності (1.2) випливає, що

Це означає, що споживачі  повинні вибрати товари таким  чином, щоб відношення граничної  корисності до ціни товару було однаковим  для всіх придбаних товарів, тобто в оптимальному наборі граничні корисності обираних товарів повинні бути пропорційні цінами.

Функціями попиту називаються функції, що відбивають залежність обсягу попиту на окремі товари і послуги від сукупності факторів, що впливають на нього. Розглянемо побудову функцій попиту залежно від двох факторів - доходу і цін.

Нехай в моделі (1.1) ціни і дохід розглядаються як змінні параметри. Мінливу доходу будемо позначати Z. Тоді рішенням оптимізаційної задачі (1.1) буде векторна функція компонентами якої є функції попиту на певний товар від цін і доходу:

Розглянемо окремий випадок, коли вектор цін є незмінним, а дохід змінюється. Для двох товарів цей випадок представлений на рис. 1.3. Якщо по осі абсцис відкласти кількість одиниць товару y _1, яке можна придбати на що має дохід Z (точка В), а по осі ординат - те ж саме для товару y ₂ (точка А), то пряма лінія АВ, званої бюджетною лінією, показує будь-яку комбінацію кількостей цих двох товарів, яку можна купити за суму грошей Z. При збільшенні доходу бюджетні лінії переміщуються паралельно самим собі, віддаляючись від початку координат. Разом з ними переміщуються відповідні криві байдужості. Точками оптимуму попиту споживачів для відповідних розмірів доходу будуть в даному випадку точки M _1, M _2, M _3. При нульовому доході попит на обидва товари нульовий. Крива, що з'єднує точки 0, M _1, M _2, M _3, є графічним відображенням векторної функції попиту і доходу при заданому векторі цін.

Рис. 1.3. Графік функції попиту і доходу (для двох товарів у ₁ і у ₂₎

Однофакторні функції  попиту від доходу широко застосовуються при аналізі купівельного попиту. Відповідні цим функціям криві називаються кривими Енгеля (по імені німецького економіста). Форми цих кривих для різних товарів можуть бути різні. Якщо попит на даний товар зростає приблизно пропорційно доходу, то функція буде лінійною (рис. 8.4а). Якщо у міру зростання доходу попит на дану групу товарів зростає все більш високими темпами, то крива Енгеля буде опуклою (рис. 1.4б). Якщо зростання значень попиту, починаючи з певного моменту, в міру насичення попиту відстає від зростання доходу, то крива Енгеля має вигляд увігнутою кривою (рис. 1.4в). запропонував спеціальні види функції попиту (функції Торнквиста) для трьох груп товарів: першої необхідності, другої необхідності, предметів розкоші.

Важливим показником функції попиту є коефіцієнт еластичності. Коефіцієнт еластичності попиту від  доходу показує на скільки відсотків, зміниться попит, якщо доход збільшиться  на 1% (за інших не змінюються факторах), і обчислюється за формулою:

де  - Коефіцієнт еластичності для i-го товару (групи товарів) за доходом Z; y _i - попит на i-й товар, що є функцією доходу: .

Рис. 1.4. Криві Енгеля

Аналогічний принцип  розмежування груп товарів за типами функцій попиту від доходу використовував шведський економіст Л. Торнквіст, який

Коефіцієнти еластичності попиту від доходу різні за величиною  для різних товарів, аж до негативних значень, коли із зростанням доходів споживання зменшується. Прийнято виділяти чотири групи товарів залежно від коефіцієнта еластичності попиту на них від доходу:

Малоцінні товари ( );

· Товари з малою еластичністю ( );

· Товари з середньою еластичністю ( близькі до одиниці);

· Товари з високою еластичністю ( ).

До малоцінних товарів (з негативною еластичністю попиту від доходу) відносяться хліб, а також низькосортні товари. За результатами обстежень, коефіцієнти еластичності для основних продуктів харчування знаходяться в інтервалі від 0,4 до 0,8, по одягу, тканин, взуття - в інтервалі від 1,1 до 1,3 і т.д. У міру збільшення доходу попит переміщається з товарів першої та другої груп на товари третьої і четвертої груп, при цьому споживання товарів першої групи за абсолютними розмірами скорочується.

Перейдемо до розгляду та аналізу  функцій купівельного попиту від  цін на товари. З моделі поведінки  споживачів (1.1) випливає, що попит на кожен товар в загальному випадку залежить від цін на всі товари (вектора Р), однак побудувати функції загального вигляду дуже складно. Тому в практичних дослідженнях обмежуються побудовою та аналізом функцій попиту для окремих товарів залежно від зміни цін на цей же товар або групу взаємозамінних товарів: .

Для більшості товарів  діє залежність: чим вища ціна, тим  нижче попит, і навпаки. Відносне зміна обсягу попиту при зміні ціни даного товару або цін інших пов'язаних з ними товарів характеризує коефіцієнт еластичності попиту від цен.Етот коефіцієнт еластичності зручно трактувати як величину зміни попиту у відсотках при зміні ціни на 1%.

Для попиту y _i на i-й товар щодо його власної ціни p _i коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою:

(1.4)

Значення коефіцієнтів еластичності попиту від цін практично  завжди негативні. Однак за абсолютним значенням цих коефіцієнтів товари можуть істотно відрізнятися один від одного. Їх можна розділити на три групи:

- Товари з нееластичним  попитом у відношенні ціни  ;

- Товари з середньою  еластичністю попиту від ціни ( близькі до -1);

- Товар з високою  еластичністю попиту  .

У товари еластичного  попиту підвищення ціни на 1% призводить до зниження попиту більш ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% призводить до зростання покупок більше ніж на 1%. Якщо підвищення ціни на 1% тягне за собою пониження попиту менш ніж на 1%, то говорять, що цей товар нееластичного попиту.

Розглянемо вплив на попит на будь-який товар зміни  цін на інші товари. Коефіцієнт, що показує, на скільки відсотків зміниться  попит на даний товар при зміні  на 1% ціни на інший товар за умови, що інші ціни і доходи покупців залишаються  незмінними, називається перехресним коефіцієнтом еластичності. Для попиту у _i на i-й товар відносно ціни p _j на j-й товар ( ) Перехресний коефіцієнт еластичності розраховується за формулою:

(8.5)

За знаком перехресних  коефіцієнтів еластичності товари можна  розділити на взаємозамінні і взаємодоповнюючі. Якщо , Це означає, що i-й товар замінює в споживанні товар j, тобто на товар i переключається попит при збільшенні ціни на товар j. Прикладом взаємозамінних товарів можуть служити багато продуктів харчування.

Якщо  , Це є ознакою того, що i-й товар у процесі споживання доповнює товар j, тобто збільшення ціни на товар j призводить до зменшення попиту на товар i. Як приклад можна привести такі взаємодоповнюючі товари, як автомобілі і бензин, чай і цукор.

Попит багато в чому визначає стратегію і тактику організації  виробництва і збуту товарів і послуг. Облік попиту, обгрунтоване прогнозування його на короткострокову та довгострокову перспективу - одна з найважливіших завдань різних організацій та фірм.

Склад і рівень попиту на той чи інший товар залежать від багатьох чинників, як економічних, так і природних. До економічних факторів належать рівень виробництва (пропозиції) товарів та послуг (позначимо цей фактор у загальному вигляді П), рівень грошових доходів окремих груп населення (D), рівень і співвідношення цін (Р). До природних факторів належать демографічний склад населення, в першу чергу розмір і склад сім'ї (S), а також звички і традиції, рівень культури, природно-кліматичні умови і т.д.

Економічні чинники дуже мобільні, особливо розподіл населення за рівнем грошових доходів. Природні ж фактори змінюються порівняно повільно і протягом невеликого періоду (до 3-5 років) не надають помітного впливу на попит. Виняток становить демографічний склад населення. Тому в поточних і перспективних прогнозах попиту всі природні фактори, крім демографічних, доцільно враховувати спільно, ввівши фактор часу (t).

Загальному вигляді  попит визначається у вигляді  функції перерахованих вище факторів:

у = f (П, D, P, S, t). (1.6)

Оскільки найбільший вплив на попит надає чинник доходу, багато розрахунки попиту і споживання здійснюються у вигляді функції від душового грошового доходу: у = f (D).

Найбільш простий підхід до прогнозування попиту на невеликий період часу пов'язаний з використанням так званих структурних моделей попиту. При побудові моделі виходять з того, що для кожної економічної групи населення за статистичними бюджетних даних може бути розрахована притаманна їй структура споживання. При цьому передбачається, що на досліджуваному відрізку часу помітні зміни зазнає лише дохід, а ціни, розмір сім'ї та інші фактори приймаються незмінними. Зміна доходу, наприклад його зростання, можна розглядати як переміщення певної кількості сімей з нижчих дохідних груп до вищих. Іншими словами, змінюються частоти в різних інтервалах доходу: вони зменшуються у нижніх і збільшуються у верхніх інтервалах. Сім'ї, які потрапляють у новий інтервал, будуть мати ту ж структуру споживання і попиту, яка склалася у сімей з таким же доходом до теперішнього часу.

Таким чином, структурні моделі розглядають попит як функцію  тільки розподілу споживачів за рівнем доходу. Маючи відповідні структури попиту, розраховані за даними статистики бюджетів, і частоти розподілу споживачів за рівнем доходу, можна розрахувати загальну структуру попиту. Якщо позначити структуру попиту у групі родин із середнім доходом D _i через r (D _i), а частоти сімей з доходом D _i через , То загальна структура попиту R може бути розрахована за формулою:

(1.7)

де п - кількість інтервалів доходу сімей.

Структурні моделі попиту - один з основних видів економіко-математичних моделей планування та прогнозування попиту і споживання. Зокрема, широко поширені так звані компаративні (порівняльні) структурні моделі, в яких зіставляються структури попиту даного досліджуваного об'єкта і деякого аналогового об'єкта. Аналогом зазвичай вважаються регіон чи група населення з оптимальними споживчими характеристиками.

Поряд зі структурними моделями в плануванні та прогнозуванні попиту використовуються конструктивні моделі попиту. В основі їх лежать рівняння бюджету населення, тобто такі рівняння, які висловлюють очевидне рівність загального грошового витрати (іншими словами, обсягу споживання) і суми добутків кількості кожного спожитого товару на його ціну. Якщо Z - обсяг споживання, т - кількість різних видів благ, q _i - розмір споживання i-го блага, p _i - ціна i-го блага, то конструктивна модель попиту може бути записана наступним чином:

Ці моделі, звані також  моделями бюджетів споживачів, відіграють важливу роль у плануванні споживання. Однією з таких моделей є, наприклад, всім відомий прожитковий мінімум. До таких моделей відносяться також раціональні бюджети, засновані на наукових нормах споживання, насамперед продуктів харчування, перспективні бюджети (наприклад, так званий бюджет достатку) і ін.

У практиці планування та прогнозування попиту крім структурних і конструктивних моделей застосовуються також аналітичні моделі попиту і споживання, які будуються у вигляді однофакторних і багатофакторних рівнянь, що характеризують залежність споживання товарів і послуг від тих чи інших факторів

 

Практична частина

 

Задача 1. Розподіл ресурсів

1) Нехай сім Споживачів подали заявки в розмірі s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇. Наявний в розпорядженні Центру ресурс складає R_Ц1. Як повинен бути розподілений цей ресурс у відповідності з механізмом прямих пріоритетів ?

2) Нехай існує сім Споживачів, пріоритети яких визначаються числами А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, А₇. Ресурс Центру складає R_Ц2. Визначити рівноважні стратегії (заявки) Споживачів, якщо ресурс розподіляється у відповідності з механізмом зворотних пріоритетів.

3) Існує сім Споживачів, які подали заявки в розмірі s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇ і повідомили Центру відповідно наступні показники ефекту: w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆, w₇. Яким повинен бути розподіл ресурсу об'ємом R_Ц1 у відповідності з конкурсним механізмом ?

4) Сім Споживачів подали Центру свої заявки: s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇. Центр має ресурс R_Ц1. Необхідно розподілити цей ресурс у відповідності з механізмом відкритого управління.

R_Ц1 = 42; R_Ц2 = 65;

s₁ = 6; s₂ = 15; s₃ = 4; s₄ = 8; s₅ = 9; s₆ = 10; s₇ = 5;

A₁ = 6; A₂ = 15; A₃ = 4; A₄ = 8; A₅ = 9; A₆ = 10; A₇ = 5;

w₁ = 30; w₂ = 28; w₃ = 27; w₄ = 25; w₅ = 31; w₆ = 32;     w₇ = 26.

Розв’язок

1). Отже, визначимо, як повинен бути розподілений ресурс у відповідності з механізмом прямих пріоритетів.

Обсяг заявок:

S =

s_i = 6 + 15 + 4 + 8 + 9 + 10 +5 = 57 > R_Ц1,   R_Ц1= 42

Ресурси є дефіцитними.

g = = » 0.74.

Відповідно до механізму  прямих пріоритетів, маємо:

x* = {min(s_i; g × s_i); i = 1..7} = {g × s_i; i = 1..7} » 0.74 × (6; 15; 4; 8; 9; 10; 5;) »

» (4,44; 11,1; 2,96; 5,92; 6,66; 7,1; 3,7;).

 

2). Визначимо рівноважні стратегії (заявки) Споживачів, якщо ресурс розподіляється у відповідності з механізмом зворотніх пріоритетів:

= = » 3,32.

s* =

× { ; i = 1..7} » 3.32 × { ; i = 1..7} »

» (8,13; 12,86; 6,64; 9,39; 9,96; 10,5; 7,42) = x*.

 

3). Визначаємо ефективність:

c = {

; i = 1..7} » (3,69; 2,18; 4,07; 2,66; 3,11; 3,05; 3,5).

Відповідно до конкурсного  механізму маємо:

max(c_i; i = 1..7) = c₄ = 4,07 Þ x₄ = s₄ = 4.  4 < R = 42.

max(c_i; i = 1..7; i ¹ 3) = c₁ = 3.69 Þ x₁ = s₁ = 6.  4+6 < R = 42.

max(c_i; i = 1..7; i ¹ {1;3}) = c₇ = 3.5  Þ x₇ = s₇ = 5.  4+6+5 < R = 42.

max(c_i; i = 1..7; i ¹ {1; 3; 7}) = c₅ = 3,11 Þ x₅ = s₅ = 9.

4+6+5+9 < R = 42.

max(c_i; i = {2; 4; 6}) = c₆ = 3,05  Þ x₆ = s₆ = 10.

4+6+5+9+10 < R = 42.

max(c_i; i = {2; 4}) = c₄ = 2,66  Þ x₄ = s₄ = 8.

4+6+5+9+10 +8 = R = 42

Відповідно принципів  конкурсного механізму решта  споживачів нічого не отримає.

Розподіл ресурсу має  наступний вигляд:

x* = (6; 0; 4; 8; 9; 10; 5).

4). Відповідно до механізму відкритого управління, маємо:

Перший етап.  = = 6.

s₁ = 6 = = 6 Þ x₁ = s₁ = 6.

s₃ = 4 < = 6 Þ x₃ = s₃ = 8.

s₇ = 5 < = 6 Þ x₇ = s₇ = 9.

n₁ =  4.

R₁ = R – (6 + 4 + 5) = 42 – 15 = 27.

x* = (6; ?; 4; ?; ?; ?; 5).

Другий етап.  = = 6,75.

s₂ = 5 = = 6,75  Þ x₂ = s₂ = 6,75.

n₂ = n₁ – 1 = 4 – 1 = 3.

R₂ = R₁ – 6,75 = 20,25.

Розподіл ресурсу має  наступний вигляд:

x* = (6; 6,75; 4; 6,75; 6,75; 6,75; 5).

 

Задача 2. Управління запасами

1. Система управління  запасами певного виду товару  підпорядковується умовам основної моделі. Кожного року з рівномірною інтенсивністю надходить попит на d одиниць товару, витрати на організацію поставки складають s грн. за одну партію, ціна одиниці товару c грн., а витрати на її зберігання h грн. в рік. Знайти оптимальний розмір партії. Якими будуть тривалість циклу і число поставок за рік, якщо стратегія управління запасами є оптимальною ?

2. Система управління  запасами описується моделлю  виробничих поставок і має  наступні значення параметрів. Попит  рівний d одиниць товару в рік,  ціна c грн., витрати на зберігання одиниці товару протягом року h грн., організаційні витрати s грн. Протягом року може бути вироблено p одиниць товару при повному завантаженні виробничої лінії. Розрахуйте оптимальний розмір партії, тривалість поставки і тривалість циклу поповнення запасів.

3. Очікується, що інтенсивність  рівномірного попиту складає  d одиниць товару в рік. Організаційні  витрати рівні s грн., витрати на  зберігання – h грн. Ціна одиниці  товару рівна c грн., однак, якщо  розмір партії не менше q₀ одиниць, ціна знижується до c₀ грн. Знайти оптимальний розмір партії.

d = 2700; s = 140; h = 60; c = 60; p = 3500;

q₀ = 1350; c₀ = 50.

Розв’язок

Нехай q – розмір партії.

1). Загальні витрати:  C(q) = c × d + + ® min.

C’(q) = – + = 0  Þ оптимальний розмір партії:

q* =

= » 112,2 » 112.

Оптимальне число поставок за рік:  n* = » = 24,1.

Оптимальна тривалість циклу: t* = = = 15,2 (днів).

C_min » 60 × 2700 + + = 168 735,0 (грн.).

 

2). Загальні витрати:  C(q) = c × d + + ® min.

C’(q) = – + = 0  Þ оптимальний розмір партії:

q* =

= » 234,8 » 235.

Тривалість поставки:  t* = × 365 » × 365 » 25.6 (днів).

C_min » 60 × 2700 + + » 166 311,4 (грн.).

 

3). Загальні витрати:  C(q) = ® min.

C’(q) = – + = 0  Þ оптимальний розмір партії:

q* =

= » 112,2 » 112.

C_min » 60 × 2700 + + = 168 735 (грн.).

 

Задача 3. Побудова математичної моделі

 

Фабрика виробляє два види фарб: перший – для зовнішніх, а другий – для внутрішніх робіт. Для виробництва фарб використовуються два інгредієнти: А і В. Максимально можливі добові запаси цих інгредієнтів складають 6 і 8 т відповідно. Відомі витрати А і В на 1 т відповідних фарб. Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу 2-го виду ніколи не перевищує попиту на фарбу 1-го виду більше, ніж на 1 т. Крім того, встановлено, що попит на фарбу 2-го виду ніколи не перевищує 2 т на добу. Оптові ціни однієї тонни фарб дорівнюють: 3 тис. грн. для фарби 1-го виду; 2 тис. грн. для фарби 2-го виду.

Необхідно побудувати математичну  модель, що дозволяє встановити, яку  кількість фарби кожного виду треба виробляти, щоб дохід від  реалізації продукції був максимальним. Також розв’язати задачу графічним методом.

Інгредієнти	Витрати інгредієнтів, т  інгр./т фарби		Запас, т інгр./добу
	Фарба 1-го виду	Фарба 2-го виду
А	1	2	6
В	2	1	8

 

Розв’язок

Нехай x_j – кількість фарби j-го виду відповідно, т; j = 1..2.

Тоді прибуток від  реалізації всієї продукції складе:

F = 3x₁ + 2x₂ (тис. грн.).

Витрати інгредієнтів складуть:

А: x₁ + 2x₂ £ 6;

В: 2x₁ + x₂ £ 8.

Обмеження на виробництво:

x₂ £ x₁ + 1;

x₂ £ 2.

Величину F необхідно  максимізувати.

Математична модель задачі приймає вигляд:

F = 3x₁ + 2x₂ ® max;

x₁ + 2x₂ £ 6;

2x₁ + x₂ £ 8;

x₂ – x₁ £ 1;

x₂ £ 2;

x₁ ³ 0; x₂ ³ 0.

У декартовій системі  координат x₁Ox₂ будуємо прямі:

l₁: x₁ + 2x₂ = 6; l₂: 2x₁ + x₂ = 8; l₃: x₂ – x₁ = 1; l₄: x₂ = 2.