Коэфицент ранговой корреляции Спирмена

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1. Понятие корреляции – 2стр.

2. Виды корреляций – 4стр.

    3. Коэффициент корреляции рангов Спирмена – 5стр.

    4. Заключение – 13стр.

5. Список использованной литературы – 14стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Усиление интереса в психологической  науке к потенциалу корреляционного  анализа обусловлено целым рядом  причин. Во-первых, становится допустимым изучение широкого круга переменных, экспериментальная проверка которых  затруднена или невозможна. Ведь по этическим соображениям, к примеру, нельзя провести экспериментальные  исследования самоубийств, наркомании, деструктивных родительских воздействий, влияния авторитарных сект. Во-вторых, возможно получение за короткое время  ценных обобщений данных о больших  количествах исследуемых лиц. В-третьих, известно, что многие феномены изменяют свою специфику во время строгих  лабораторных экспериментов. А корреляционный анализ предоставляет исследователю  возможность оперировать информацией, полученной в условиях, максимально  приближенных к реальным. В-четвертых, осуществление статистического  изучения динамики той или иной зависимости  нередко создает предпосылки  к достоверному прогнозированию  психологических процессов и  явлений.

Однако следует иметь  в виду, что применение корреляционного  метода связано и с весьма существенными  принципиальными ограничениями.

Так, известно, что переменные вполне могут коррелировать и  при отсутствии причинно-следственной связи между собой.

Это иногда возможно в силу действия случайных причин, при неоднородности выборки, из-за неадекватности исследовательского инструментария поставленным задачам. Такая ложная корреляция способна стать, скажем, «доказательством» того, что  женщины дисциплинированнее мужчин, подростки из неполных семей более  склонны к правонарушениям, экстраверты  агрессивнее интровертов и т. п.

Необходимо запомнить: наличие  корреляций не является показателем  выраженности и направленности причинно-следственных отношений.

Другими словами, установив  корреляцию переменных мы можем судить не о детерминантах и производных, а лишь о том, насколько тесно  взаимосвязаны изменения переменных и каким образом одна из них  реагирует на динамику другой.

 

 

 

 

1.ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИИ.

 

Термин "корреляция" впервые  применил французский палеонтолог  Ж. Кювье, который вывел "закон  корреляции частей и органов животных" (этот закон позволяет восстанавливать  по найденным частям тела облик всего  животного). В статистику указанный  термин ввел в 1886 году английский биолог и статистик Френсис Гальтон (не просто связь – relation, а "как бы связь" – co-relation). Однако точную формулу  для подсчёта коэффициента корреляции разработал его ученик – математик  и биолог - Карл Пирсон (1857 – 1936).(7).

Корреляционным называется исследование, проводимое для подтверждения  или опровержения гипотезы о статистической связи между несколькими (двумя  и более) переменными. В психологии переменными могут выступать  психические свойства, процессы, состояния  и др.

"Корреляция" в прямом  переводе означает "соотношение". Если изменение одной переменной  сопровождается изменением другой, то можно говорить о корреляции  этих переменных. Наличие корреляции  двух переменных ничего не  говорит о причинно-следственных  зависимостях между ними, но дает  возможность выдвинуть такую  гипотезу. Отсутствие же корреляции  позволяет отвергнуть гипотезу  о причинно-следственной связи  переменных. Различают несколько  интерпретаций наличия корреляционной  связи между двумя измерениями:

1. Прямая корреляционная  связь. Уровень одной переменной  непосредственно соответствует  уровню другой. Примером является  закон Хика: скорость переработки  информации пропорциональна логарифму  от числа альтернатив. Другой  пример: корреляция высокой личностной  пластичности и склонности к  смене социальных установок.

2. Корреляция, обусловленная  третьей переменной. Две переменные (а, с) связаны одна с другой  через третью (в), не измеренную  в ходе исследования. По правилу  транзитивности, если есть R (а, Ь)  и R (Ь, с), то R (а, с). Примером  подобной корреляции является  установленный психологами США  факт связи уровня интеллекта  с уровнем доходов. Если бы  такое исследование проводилось  в сегодняшней России, то результаты  были бы иными. Очевидно, все  дело в структуре общества. Скорость  опознания изображения при быстром  предъявлении и словарный запас  испытуемых также положительно  коррелируют. Скрытой переменной, обусловливающей эту корреляцию, является общий интеллект.

3. Случайная корреляция, не обусловленная никакой переменной.

4. Корреляция, обусловленная  неоднородностью выборки. Представим  себе, что выборка, которую мы  будем обследовать, состоит из  двух однородных групп. Например, мы хотим выяснить, связана ли  принадлежность к полу с уровнем  экстраверсии. Считаем, что "измерение"  пола трудностей не вызывает, экстраверсию же измеряем с  помощью опросником Айзенка ETI-1. У нас две группы: мужчины-математики  и женщины-журналистки. Не удивительно,  если мы получим линейную зависимость  между полом и уровнем экстраверсии  — интроверсии: большинство мужчин  будут интровертами, большинство  женщин — экстравертами.  

 

2. ВИДЫ КОРРЕЛЯЦИЙ

 

Виды корреляционной связи  между измеренными переменными  могут быть различны: так корреляция бывает линейной и нелинейной, положительной  и отрицательной. Она линейна, если с увеличением или уменьшением  одной переменной, вторая переменная также растёт, либо убывает. Она нелинейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими законами (полиномиальная, гиперболическая). (5).

Если повышение уровня одной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет о положительной  корреляции. Чем выше личностная тревожность, тем больше риск заболеть язвой желудка. Возрастание громкости звука  сопровождается ощущением повышения  его тона.

Если рост уровня одной  переменной сопровождается снижением  уровня другой, то мы имеем дело с  отрицательной корреляцией. По данным Зайонца, число детей в семье  отрицательно коррелирует с уровнем  их интеллекта. Чем боязливей особь, тем меньше у нее шансов занять доминирующее положение в группе.

Нулевой называется корреляция при отсутствии связи переменных. (2).

В психологии практически  нет примеров строго линейных связей (положительных или отрицательных). Большинство связей — нелинейные. Классический пример нелинейной зависимости  — закон Йеркса—Додсона:. возрастание  мотивации первоначально повышает эффективность научения, а затем  наступает снижение продуктивности (эффект "перемотивации"). Другим примером является связь между уровнем  мотивации достижений и выбором  задач различной трудности. Лица, мотивированные надеждой на успех, предпочитают задания среднего диапазона трудности — частота выборов на шкале трудности описывается колоколообразной кривой.

 

Примеры распределений испытуемых в пространстве двух признаков.

а) строгая положительная  корреляция, б) сильная положительная  корреляция, в) слабая положительная  корреляция, г) нулевая корреляция, д) отрицательная корреляция, е) строгая  отрицательная корреляция, ж) нелинейная корреляция, з) нелинейная корреляция.

 

3. Коэффициент ранговой корреляции rs Спирмена

Метод ранговой корреляции Спирмена, является непараметрическим  методом, он является универсальным  и работает с данными измеренными  в любых шкалах и прост в  применении.

Уникальность метода ранговой корреляции состоит в том, что  он позволяет сопоставлять не индивидуальные показатели,  а индивидуальные иерархии,  или профили,  что недоступно ни  одному из других статистических методов,  включая метод линейной корреляции. Коэффициент ранговой корреляции рекомендуется  применять в тех случаях, когда  нам необходимо проверить, согласованно ли изменяются разные признаки у одного и того же испытуемого и насколько совпадают индивидуальные ранговые показатели у двух отдельных испытуемых или у испытуемого и группы.

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) два признака, измеренные  в одной и той же группе  испытуемых;

2) две индивидуальные  иерархии признаков, выявленные  у двух испытуемых по одному  и тому же набору признаков; 

3) две групповые иерархии  признаков, 

4) индивидуальная и групповая  иерархии признаков. 

Вначале показатели ранжируются  отдельно по каждому из признаков.

Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг. 

В первом случае  (два признака)  ранжируются индивидуальные значения по первому признаку,  полученные разными испытуемыми,  а затем  индивидуальные значения по второму  признаку.

Если два признака связаны  положительно,  то испытуемые,  имеющие  низкие ранги по одному из них, будут  иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие  ранги по одному из признаков,  будут  иметь по другому признаку также  высокие ранги.  Для подсчета  rs необходимо определить разности (d) между  рангами, полученными данным испытуемым по обоими признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются  и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет rs, тем ближе он будет к +1.

Если корреляция отсутствует,  то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что в этом случае rs окажется близким  к 0.

В случае отрицательной  корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот. Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двум переменным, тем ближе rs к -1.

Во втором случае  (два индивидуальных профиля),  ранжируются индивидуальные значения,  полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг – признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах,  иначе ранжирование невозможно.  Например,  невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF),  если они выражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до 20  и от 0  до 26.  Мы не можем сказать,  какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).

Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно,  то признаки, имеющие низкие ранги  у одного из них,  будут иметь  низкие ранги и у другого,  и  наоборот.

Например, если у одного испытуемого  фактор Е (доминантность) имеет самый  низкий ранг, то и у другого испытуемого  он должен иметь низкий ранг,  если у одного испытуемого фактор С (эмоциональная  устойчивость)  имеет высший ранг,  то и другой испытуемый должен иметь  по этому фактору высокий ранг и т.д. В третьем случае  (два  групповых профиля),  ранжируются  среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному,  одинаковому для двух групп,  набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений  такая же, как и в предыдущих двух случаях.

В случае 4-ом  (индивидуальный и групповой профили),  ранжируются  отдельно индивидуальные значения испытуемого  и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого  отдельного испытуемого – он не участвует в среднегрупповом  профиле,  с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль.  Ранговая корреляция позволит проверить,  насколько  согласованы индивидуальный и групповой  профили.

Во всех четырех случаях  значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать  с объемом выборки n.  Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N – это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах. Если абсолютная величина  rs достигает критического значения или превышает его,  корреляция достоверна.

Гипотезы.

Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй – к трем остальным случаям.

Первый вариант  гипотез

H0: Корреляция между переменными  А и Б не отличается от  нуля.

H1: Корреляция между переменными  А и Б достоверно отличается  от нуля.

Второй вариант  гипотез

H0: Корреляция между иерархиями  А и Б не отличается от  нуля. 

H1: Корреляция между иерархиями  А и Б достоверно отличается  от нуля.

Ограничения коэффициента ранговой корреляции

1.  По каждой переменной  должно быть представлено не  менее 5  наблюдений.  Верхняя  граница выборки определяется  имеющимися таблицами критических  значений.

2. Коэффициент ранговой  корреляции Спирмена  rs при большом  количестве одинаковых рангов  по одной или обеим сопоставляемым  переменным дает огрубленные  значения.  В идеале оба коррелируемых  ряда должны представлять собой  две последовательности несовпадающих  значений.  В случае,  если это  условие не соблюдается,  необходимо  вносить поправку на

одинаковые ранги.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

 

 

 

 

 

 

Если в обоих сопоставляемых ранговых рядах присутствуют группы одинаковых рангов, перед подсчетом  коэффициента ранговой корреляции необходимо внести поправки на одинаковые ранги  Та и Тв:

Та = Σ (а3 – а)/12,

Тв = Σ (в3 – в)/12,

где а  – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А,  в  – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

Для подсчета эмпирического  значения rs используют формулу:

 

 

 

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена rs

1.  Определить,  какие  два признака или две иерархии  признаков будут участвовать  в сопоставлении как переменные  А и В. 

2.  Проранжировать значения  переменной А,  начисляя ранг 1  наименьшему значению,  в соответствии  с правилами ранжирования  (см. П.2.3). Занести ранги в первый  столбец таблицы по порядку  номеров испытуемых или признаков. 

3. Проранжировать значения  переменной В, в соответствии  с теми же правилами. Занести  ранги во второй столбец таблицы  по порядку номеров испытуемых  или признаков. 

4.  Подсчитать разности d  между рангами А и В  по каждой строке таблицы и  занести в третий столбец таблицы. 

5. Возвести каждую разность  в квадрат: d2 .Эти значения занести  в четвертый столбец таблицы  .

6. Подсчитать сумму квадратов  Σd2 .

7. При наличии одинаковых  рангов рассчитать поправки:

Та = Σ (а3 – а)/12,          Тв = Σ (в3 – в)/12,

где а  – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А;  в  – объем каждой группы

одинаковых рангов в ранговом ряду В.

8. Рассчитать коэффициент  ранговой корреляции rs по формуле: 

а) при отсутствии одинаковых рангов

 

 

 

б) при наличии одинаковых рангов

 

 

 

где Σd2 –  сумма квадратов  разностей между рангами;  Та и  Тв –  поправки на одинаковые ранги; 

N – количество испытуемых  или признаков, участвовавших  в ранжировании.

9. Определить по Таблице  критические значения  rs для данного  N. Если  rs,

превышает критическое значение или,  по крайней мере,  равен  ему,  корреляция достоверно отличается от 0.

Пример 4.1.При определении  степени зависимости реакции  употребления алкоголя на глазодвигательную реакцию в испытуемой группе были получены данные до употребления алкоголя и после употребления. Зависит ли реакция испытуемого от состояния опьянения?

Результаты эксперимента:

До:16, 13, 14, 9, 10, 13, 14, 14, 18, 20, 15, 10, 9, 10, 16, 17, 18.

После: 24, 9, 10, 23, 20, 11, 12, 19, 18, 13, 14, 12, 14, 7, 9, 14.

Сформулируем гипотезы:

Н0: корреляция между степенью зависимости реакции до употребления алкоголя и после не отличается от нуля.

Н1: корреляция между степенью зависимости реакции до употребления алкоголя и после достоверно отличается от нуля.

Таблица 4.1.  Расчет  d2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена  rs при сопоставлении показателей глазодвигательной реакции до эксперимента и после (N=17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как, мы имеем повторяющиеся  ранги, то в данном случае будем применять  формулу с поправкой на одинаковые ранги:

 

 

 

 

Найдем эмпирическое значение коэффициента Спирмена:

rs = 1- 6*((767,75+6+3)/(17*(172-1)))=0,05

По таблице находим критические значения коэффициента корреляции

для N=17:

 

 

 

 

Получаем

rs=0,05∠rкр(0,05)=0,48

Вывод:  Н1гипотеза отвергается  и принимается Н0.  Т.е.  корреляция между степенью зависимости реакции до употребления алкоголя и после не отличается от нуля.

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В заключение подчеркнем, что  содержательное ограничение корреляционного  анализа состоит в том, что  он позволяет обнаружить только наличие  связи и не дает оснований для  установления причинно-следственных отношений. Например, можно обнаружить положительную  корреляцию между уровнем умственного  развития детей старшего дошкольного  возраста и календарными сроками  смены молочных зубов коренными. Другими словами, чем раньше происходит замена молочных зубов, тем выше показатели умственного развития детей. Следует  ли делать вывод о том, что смена  зубов способствует умственному  развитию детей, или, напротив, ускоренное умственное развитие приводит к более  быстрому изменению состава зубов. Оба предположения выглядят одинаково  нелепо.

Причина в том, что оба  показателя непосредственно отражают индивидуальный темп биологического созревания. Другими словами, они связаны  с третьей — латентной переменной, которая недоступна для прямого  измерения, но благодаря этой связи  оба показателя значимо коррелируют  между собой. Формальная логика корреляционного  анализа не позволяет исследовать  эти аспекты взаимообусловленности  статистических рядов данных. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

1. Годфруа Ж. Что такое психология: В 2-х т. Т. 1: Пер. с франц.-М.: Мир, 1992.

 

2. Горбатов Д.С. Практикум по психологическому исследованию: Учеб. пособие. – Самара: «БАХРАХ - М», 2003. – 272 с.

 

3. Дружинин В.Н. Экспериментальная психология: Учебное пособие — М.: ИНФРА-М, 1997.

 

4. Дружинин В.Н. Экспериментальная психология — СПб: Питер, 2000. – 320с.

 

5. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2003. – 366с.

 

6. Корнилова Т.В. Введение в психологический эксперимент. Учебник для ВУЗов. М.: Изд-во ЧеРо, 2001.

 

7. Мельников В.М., Ямпольский Л.Т. Введение в экспериментальную психологию личности.- М.: Просвещение, 1985.