Эконометрика

 

Владимир  Дмитриевич Черномордик

Задача 1:

Имеются статистические данные зависимости расходов на питании(y, тыс. руб.) от душевого дохода(x, тыс. руб.) для восьми групп семей. Требуется построить и проанализировать линейную модель парной регрессии. 

 
 

                                                                                                                         

Основные  понятия эконометрики

Эконометрика (экономика+метрика – измерение в экономике)

Определение:

Эконометрика - это наука исследующая количественные закономерности и взаимосвязи в экономике с помощью методов математической статистики.

Основной  метод исследования социальных экономических  систем – метод регулирования.

Классификация эконометрических моделей 

Выделяют  три класса моделей:

• Регрессионная модель с одним уравнением
• Системы эконометрических уравнений
• Временные ряды

Регрессионная модель с одним уравнением:

Выделяют 2 вида моделей:

А) Модели парной регрессии(однофакторные модели) => { y^= f(x)}

Б) Множественной  регрессии = > { y^ = f(x, x₁, x₂, x₃….x_n} (многофакторные модели); x_i – независимая, объясняемая переменная, фактор-аргумент.

y- зависимая, объясняемая переменная, результирующий показатель, полученная переменная из модели.

Существуют  следующие виды модели парной регрессии:

• Линейные : y^= a+bx
• Нелинейные

• Степенная: Y^=ax^b
• Показательная: y^=ab^x ; экспоненциальная : y^=e^a+bx
• Полулогарифмические : y= a+b*Lnx
• Равносторонняя гипербола:  y= a +b/x и т.д., где a и b – параметры модели

Пример линейной двухфакторной модели

Y^ = a+b₁*x₁ + b₂*x₂

2) Системы эконометрических уравнений: модель спроса и предложения

3) Модель  тождества

Одним из факторов, учитываемых при моделировании является время.

Парная  регрессия и корреляция

Линейная  модель парной регрессии 

Парная регрессия  представляет собой регрессию между  двумя переменными y и x. Поскольку между переменными y и x нет строгой функциональной зависимости, то  в каждом отдельном случае величина у может быть представлена ввиде суммы двух слагаемых.

Y_i= y^_I + Е_I,  где Y_i – фактическое значение результирующего показателя.

У_i – теоретическое значение результирующего показателя, полученного по модели (неслучайная величина), Е_i  - случайная величина, ошибка модели, количественно степень несоответствия фактических и модельных значений выражений остаточной дисперсией.

Д_ост= ơ²_ост = 1/n∑ Е²= 1/n ∑(y_i-y_i^)²

Построение  модели парной регресси сводится к оценке параметров а и b, которая осуществляется с помощью метода наименьших квадратов(ММК). ММК - позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя “y” от модельных минимальна. { S=∑Е²_i= ∑(y_i-y_i^)²= ∑(y_i-(a+b*x_i))² -> min (1)

(S= f(a,b))

Используя выражение (1) можно получить формулы для  расчета параметров а и b.

B= (y*x^-----) – (y^---* x^----)/ x^----2 – (x^--)² (2)

A= y^-- - b*x^---

// В нашем случае: b = (26,09 – 2,34*8,95)/ 110,66 – (8,95)²= 0,169

A = 2,34 – 0,169* 8,95 = 0,824

Y^ = 0,824 + 0,169*x

 Подставляем в полученную модель исходные данные по доходу(переменная х), получим модельные значения расходов на питание “Y” модельное, смотри столбец (7). Анализ остатков см. ст. 8 и ст.9

Уравнение регрессии в таком виде строить  нельзя:

Yг = α+βх

Yв = а+bx

1)Параметр В называется коэффициентом регрессии. Его знак определяет направление связи между переменными. Если b>0 то связь прямая, если b<0  то связь обратная.

Экономический смысл коэффициента регрессии:

Его величина показывает, насколько единиц в среднем  изменится результирующий показатель Y при изменении данного фактора на одну единицу ( измерения)

2) В нашем  случае B>0 то есть связь между расходами на питание и душевым доходом прямая.

При увеличении дохода на 1000 рублей, расходы на питание  возрастают в среднем на 169 рублей

Частоту связи  оценивает линейный коэффициент  парной корреляции ,он изменяется от -1 до 1. Если модуль равен единице, то связь между переменными функциональная , если модуль находится в интервале от 0.7 до 1,то связь между переменными сильная, если интервал от 0.5 до 0.7 то связь средняя умеренная, если от 0.3 до 0.5, то слабая, от 0 до 0.3,то связь практически отсутствует. Коэффициент корреляции рассчитывается по одной из формул:

 

Dx = 110.66+ (8.95)^2 = 30.55

Dy= 6.35-(2.34)^2 = 0.89

Sigma x =корень из (31.55) = 5.53

Sigma y = корень (0.89)= 0.94

То есть связь  между расходами на питание и  душевыми доходами очень тесна. Для  оценки качества подбора линейной функции рассчитывается коэффициент детерминации. Он изменяется  от 0 до 1. Чем больше величина его, тем лучше качественнее модель, Также он характеризует долю дисперсии.

В нашем случае коэффициент детерминации равен  R^2 yx(0.091)^ =0.982 
 
 

Элементы  дисперсионного анализа. 

 

ГЛАВНАЯ ФОРМУЛА  КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ!!!!!

Оценка значимости уравнения регрессии. Производится оценка значимости уравнения регрессии  в целом и отдельных его  параметров. Проверить значимость уравнения  регрессии означает установить соответствует  ли математическая модель экспериментальным  данным ( адекватность модели) и достаточно ли включённых в уравнение регрессии объясняющих переменных ( одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Для оценки качества модели из относительных отклонений по каждому наблюдению ,определяют среднюю ошибку аппроксимации.

 
 

Показатель  не должен превышать 8-10 % 

А отн среднее = 6.35%,что говорит о достаточно хорошем качестве уравнения регрессии.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом  производится на основе F-критерия Фишера ,фактическое значение данного критерия рассчитывается по формуле :

n- количество наблюдений,

m – количество факторов, включенных в модель

Уровень значимости- альфа – вероятность отвергнуть правильную гипотезу ( модель) при условии что она верна.

Обычно альфа  выбирается из следующего множества  значений:

0.01, , 0.1

Α= 0.05 Если модель из 100 наблюдений не объяснит 5

Гамма = 1- Альфа = 0.95 

К1 и к2 – степени свободы

К1=m

k2= n-m-1

В случае линейной однофакторной модели, m= 1 ,тогда n-2

Если F факт > F табл , То уравнение регрессии в целом признается статистически значимым.

 

F факт = (0.982/ ( 1- 0.982))(8-2)= 335.6

F табл выбирается из таблицы распределения Фишера

F табл ( 0.05 ;1; 6) = 5.99

Поскольку фактическое  значение больше чем табличное, то с  вероятностью 0.95 уравнение регрессии  признаётся в целом статистически  значимым и надёжным.

m количество коэффициентов при неизвестных 

Оценка значимости отдельных параметров уравнения  регрессии.

Осуществляется  с использованием t критерия стьюдента  

             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                           Стандартизованное уравнение регрессии. 

 
 
 

                        Средние коэффициенты эластичности. 

Эi - его величина показывает, насколько процентов изменится результирующий показатель при изменении данного фактора на 1%,при неизменном среднем уровне других показателей.

Т статистики стьюдента коэффициентов регрессии Tbi

Частные критерии Фишера Fxi

 Значимость качества уравнения регрессии оценивают с помощью множественного коэффициента корреляции (индекс корреляции) и коэффициента индекса детерминации.

R Отражает силу совместного влияния факторов на результирующий показатель.

                   Элементы дисперсионного анализа 

 

R^2 = 0.81

81%  объясняется увеличением уровня организации работ,а на долю прочих факторов приходится 19%

R= 0.901 то есть связь объема добычи угля с мощностью пласта и уровнем механизации достаточно тесная.

Оценку статистической значимости модели проведем с использованием критерия Фишера 

 

Поскольку F факт > Fтабл То с вероятностью 0.95 ур. Регрессии признается значимым и всецелым.

Оценка статистической значимости параметров модели осуществляется с использованием Т статистики стьюдента.

Ранжирование  факторов с использованием коэффициентов  эластичности

 

При увеличении мощности пласта на 1% объем добычи угля возрастат в среднем на 1.18%, а при увеличении уровня механизации работ на 1%, объем добычи возрастает в среднем на 0.34 %.

Поскольку Тб1>Tb2 , то фактор Х1 оказывает большее влияние на показатель у, чем Х2

Если Т  i> T табл то данный параметр признается статистически значимым.

Поскольку Тб1> Ттабл ,то коэффициент регрессии b1 признается статистически значимым и включение в модель фактора Х1 целесообразно. Поскольку Тb2 меньше, то коэффициент регрессии признается статистически незначимым, а включение в модель фактора х2 нецелесообразно. Таким образом двухфакторную модель можно упростить ,исключив из неё фактор х2 и построить линейную однофакторную модель у= F(х1)

              Временные ряды.

Временной ряд- это совокупность значений какого-либо показателя, за несколько последовательных моментов времени.

Предполагается ,что каждый уровень временного ряда формируется под воздействием трёх групп факторов:

1)Факторы,  формирующие тенденцию ряда (тренд)

2)Факторы,  формирующие циклические( сезонные) колебания

3)Циклические- период изменения несколько лет, а сезонные это изменения в течение года.

 Обычно  используют аддитивные(сложение) и мультипликативные(умножение)

    Алгоритм  моделирования временных рядов.  Алгоритм построения аддитивной  и мультипликативной моделей.  Сводится к расчету значений  T S Е для каждого уровня ряда.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (СС)
2. Рассчёт значений сезонной компоненты S модельное.
3. Устранение сезонной компоненты ( yt-S модельное) для аддитивной модели и (yt/Sм) Для мультипликативной модели и получение выровненных  данных (Т+Е)
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) и расчет значений Тм с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчёт моделей значений уровня временного ряда.
6. Оценка качества построенной модели(коэффициент детерминации R2).

 

 
 

Пример  построения аддитивной модели: 

Имеются статистические данные квартального потребления электроэнергии yt в киловаттах условного предприятия за 4 года ( t= 16) Построить и проанализировать аддитивную модель временного ряда. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1

-

Решение:

Этап 1 Выравнивание исходного ряда

Для этого  среднее 1-4,2-5 и тд… Просуммируем уровни ряда за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени (столбец 3) Ииииииииииии найдём скользящие средние поквартального энергопотребления (((((столбец 4) Полученные выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

2) Приведем  полученные значения в соответствие  с

Расчёт  значений сезонной компоненты табл 1 и табл 2