Контрольная работа по "Эконометрии"

Задача  №1.

     По  территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите  территории по возрастанию фактора  X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте  поле корреляции и сформулируйте  гипотезу о возможной форме  и направлении связи.

3. Рассчитайте  параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените  тесноту связи с помощью показателей  корреляции  (r_yx  и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.

1. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.
2. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По  лучшему уравнению регрессии  рассчитайте теоретические значения  результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте  прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте  интегральную и предельную ошибки  прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза. 

Решение: 

1. Построим  график: расположим территории по возрастанию  значений фактора X_i . См. таблицу 2. Если график строится в табличном процессоре ЕХСЕL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи инвестиций (Y) с основными фондами (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

2. Как правило, моделирование начинается с построения уравнения прямой:

Y = а₀ +а₁*Х, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Рассчитаем неизвестные параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК), построим систему нормальных уравнений и решим её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ∆, ∆а₀ и ∆а₁. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

См. таблицу  З. 

Расчётная таблица № 3

4. Согласно  данной формуле выполним расчёт определителя системы:

∆ = n * ∑(X²) - ∑Х * ∑Х = 12*318732,7 – 1433,2*1433,2 = 1770729,68;

Расчёт  определителя свободного члена уравнения  выполним по формуле:

∆а₀ = ∑Y * ∑(X²) - ∑(Y*X) * ∑Х = 204,01*318732,7 – 49450,6*1433,2 = – 5847904,09.

Расчёт  определителя коэффициента регрессии  выполним по формуле:

∆а₁ =n * ∑(Y*X) - ∑Y * ∑Х = 12*49450,6 – 204,01*1433,2 = 301019,68.

5. Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

а₀ = ∆а₀ /∆ = – 5847904,09/1770729,68 = – 3,3;

а₁ = ∆а₁ /∆ = 301019,68/1770729,68 = 0,17.

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение  регрессии следующего вида:    Ŷ_х= – 3,3 + 0,17 * X

    В уравнении коэффициент регрессии  а₁ = 0,17 означает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1 % (от своей средней) оборот розничной торговли возрастет на 0,17 млрд. руб. (от своей средней).

    Свободный член уравнения а₀ = - 3,3 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на оборот розничной торговли.

6. Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                Э_YX = f ' (X) * X/Y

В нашем  случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Э_YX = а₁ * X/Y = 0,17 * 119,43/17,0008 = 1,194

    Это означает, что при изменении общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличиваются на 1,194 процента от своей средней.

7. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_YX = а₁ * σ_X/σ_Y = 0,17 * 110,89/19,89 = 0,948         r_YX ² = 0,899.

    Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборотом розничной торговли. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 89,9% из 100% предопределена вариацией общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости); роль прочих факторов, влияющих на оборот розничной торговли, определяется в 10,1%, что является сравнительно небольшой величиной.

8. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - F_факт и сравним его с табличным значением - F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н₀: а₀ = а₁ = r_YX = 0, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α = 0,05).

  В нашем случае, 

F_факт = r_YX ² /1- r_YX ² : k – 1/n – k = 0,899/0,101 : (2 – 1)/(12 – 2) = 8,9 : 0,1 = 89,0.

    Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 89 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборота розничной торговли. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: F_та6л = 4,96 при степенях свободы df₁= k – 1 = 1 и df₂ = n – k = 12 – 2 = 10 и уровне значимости α = 0,05.

    Значения  F_та6л представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)».

    В силу того, что F_факт = 89,0 > F_та6л = 4,96, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

9. Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчет.

    Например, Ŷ₁ = – 3,3 + 0,17 * 4,2 = – 2,59. См. графу 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор и Х_факт строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1. 

График 1

10. Оценку  качества модели дадим с помощью  скорректированной средней ошибки аппроксимации:

ε΄ = 1/n * ∑| Y_факт – Ŷ/Y| * 100% = 60,87% .

    В нашем случае, скорректированная  ошибка аппроксимации составляет 60,87%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели. Которое не позволяет использовать ее для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения X).

    Если  предположить, что прогнозное значение фактора Х составит 1,07 от уровня его средней, то есть Х_прогн.= 1,07 * 4,2 = 4,494, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_прогн.=  0,336 + 0,512 * 4,494 = 2,637 млрд. руб.  

Задача  №3.

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи  социально-экономических показателей  в регионе используется статистическая информация  за 2000 год  по территориям  Центрального федерального округа.

Y₁ – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

Y₂ – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;

X₁ – инвестиции прошлого, 1999, года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – кредиты прошлого, 1999, года, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.

X₃ – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Рабочие гипотезы:

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям  выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке  исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ: 

N=15.

      Для проверки рабочей гипотезы №1.             Для проверки рабочей гипотезы №2.

    Задание:

1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.

2. Определите вид уравнений и системы.

3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

• определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
• дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
• рассчитайте параметры a₁, a₂ и a₀ уравнений множественной регрессии в естественной форме;
• с помощью коэффициентов парной корреляции  и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R²);
• оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.

4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.

    Решение: 

1.В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b , коэффициенты при экзогенных переменных - через a. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс – номер уравнения, второй – индивидуальный номер признака. Тогда:

2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y1, значения которой формируются в условиях данной системы, а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче. 

3. Выполним расчёт b-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:

По полученным результатам построено уравнение  в стандартизованном виде:

По данным первого уравнения сделаем вывод, что фактор ( ) влияет на результат - среднегодовую( )  стоимость основных фондов в экономике слабее, чем второй фактор( ) , т.к. . 
Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:

Второе  уравнение в стандартизованной  форме имеет вид: .

Из второго  уравнения очевидно, что на Y2 – стоимость валового регионального продукта среднегодовая стоимость основных фондов в экономике оказывает более сильное влияние, чем третий фактор.  
4. Расчёт параметров уравнения регрессии в естественной форме даёт следующие результаты:

=115,83 – 85,329*0,1615 – 9,969*3,75 = 64,665

По полученным результатам построено уравнение  №1 в естественной форме:

Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным  образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и . 
Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

По полученным результатам построено уравнение  №2 в естественной форме:

Представим  результаты построения уравнений в  виде рекурсивной системы:

Значения  коэффициентов регрессии каждого  из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого  из факторов на результат. Но для сравнительной  оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения - коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - ; ; и

5. Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.

В первом уравнении факторы и объясняют 82,56% вариации среднегодовой стоимости основных фондов в экономике, а 17,44% его вариации определяется влиянием прочих факторов. 
Во втором уравнении переменные и объясняют 84,72% стоимости валового регионального продукта, а 15,28% изменений зависят от прочих факторов. Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.

6.Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:

и

Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По результата сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы. В нашей задаче:

Табличные значения F-критерия формируются под влиянием случайных причин и зависят от трёх условий: а) от числа степеней свободы факторной дисперсии - , где k – число факторных переменных в модели; б) от числа степеней свободы остаточной дисперсии - , где n – число изучаемых объектов; в) от уровня значимости , который определяет вероятность допустить ошибку, принимая решение по нулевой гипотезе. Как правило, значение берут на уровне 5% ( =0,05), но при высоких требованиях к точности принимаемых решений уровень значимости составляет 1% ( =0,01) или 0,1% (( =0,001). 
В рассматриваемой задаче для и для и =0,05 составляет 3,88. В силу того, что нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик уравнения №1 следует отклонить, то есть . Аналогичное решение принимается и относительно второй нулевой гипотезы, т.к. . То есть, .Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах, которые основаны не только на влиянии , но и на влиянии эндогенной переменной Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.