Контрольная работа по «Эконометрика». 5

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине «Эконометрика»

 

Вариант № 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краснодар 2011

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Х	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
У	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_ε²; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения У, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной. 

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

 

1. Найти параметры  уравнения линейной регрессии,  дать экономическую интерпретацию  коэффициента регрессии.

Уравнение  линейной регрессии  имеет вид:  

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии используем формулы:

 ,     

Построим следующую расчетную таблицу, используя MS Excel:

 

По данным таблицы  рассчитываем значения параметров уравнения линейной регрессии:

Следовательно, искомое  уравнение линейной регрессии будет  иметь вид:

Таким образом, при увеличении объема капиталовложений (x) на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции (y) увеличится в среднем на 0,909 млн. руб., что свидетельствует об эффективности работы предприятия.

 

2. Вычислить  остатки; найти остаточную сумму  квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле  , где

 – значения у, вычисленные  по модели  .

Остатки рассчитываем в таблице, используя MS Excel:

 

 

Остаточная сумма квадратов равна .

Дисперсию остатков рассчитываем по формуле:

,

.

 

График остатков построим с помощью  инструмента Excel Регрессия.

 

 

 

3. Проверить  выполнение предпосылок МНК.

 

1) Математическое  ожидание случайной величины, как видно из таблицы, равно нулю: . Сумма всех остатков равна нулю. Предпосылка выполнена.

2) Случайный характер остатков (критерий поворотных точек):

, где

n – количество наблюдений;

р – количество поворотных точек, р = 5.

, следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

3) Независимость уровней ряда остатков (отсутствие / наличие автокорреляции) проверяем с помощью Критерия Дарбина-Уотсона:

 

Определяем численное  значение коэффициента, используя данные следующей таблицы:

 

, находим 

Расчетное значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n=10 и к=1 (число факторов) нижнее значение d₁=0,88, а верхнее d₂=1,32.

Случаи, когда d₁ ≤ d' ≤ d₂ являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается.

Расчетный показатель попал  в область d₁ ≤ d' ≤ d₂ (0,88 ≤ 0,89 ≤ 1,32), следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатков не принимается и не отвергается. 

Поскольку ситуация  оказалась  неопределенной, воспользуемся первым

коэффициентом автокорреляции:

Так как фактическое  значение коэффициента меньше табличного для 5%-ного уровня значимости – 0,6319, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции.

 

4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем с помощью R/S-критерия:

,

, - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков.

(2,67;3,57), т.е. 2,967 (2,67;3,57), значит, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

5. Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.

Расчетные значения для  обнаружения гетероскедастичности представлены в следующей таблице:

Для обнаружения гетероскедастичности (нарушение гомоскедастичности), используем тест Гольдфельда-Квандта:

а) Упорядочим выборку из n-наблюдений по мере возрастания факторного признака x.

   

б) Совокупность наблюдений разделим на 2 группы, соответственно с малыми и большими значениями факторного признака х и определим по каждой из групп уравнение регрессии:

- для первой группы уравнение регрессии имеет вид ;

- для второй группы уравнение регрессии имеет вид .

в) Вычислим остаточную сумму квадратов:

- для первой регрессии,  по формуле:

 

- для второй регрессии, по формуле:

 

Далее определяем расчетное значение F-критерия Фишера по формуле:

, так как

 

Используя надстройки Excel, находим табличное значение F-критерия Фишера: F_{(0,05; 4; 4)} = 6,389.

Сравниваем расчетное значение F-критерия Фишера с табличным значением. Поскольку F_расч = 3,530 < F_табл = 6,389, то остатки обладают свойством гомоскедастичности.

 

4. Осуществить  проверку значимости параметров  уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Для оценки статистической значимости, существенности параметров модели парной регрессии  , используем t-критерий Стьюдента. Расчетные значения t-статистики получаем путем сопоставления значения параметров α (a) и β (b) с величинами случайных ошибок этих параметров S_α и S_β:

Стандартные ошибки определяем по формулам:

  ;               

            

Тогда:

,           

Табличное значение t-критерия при и степенях свободы (10-2=8) составляет 2,306. Так как t_расч > t_табл, то это говорит о значимости параметров модели.

Для значимого уравнения регрессии строим интервальную оценку:

- для параметра :  

α₁:   0,909 ± 2,306 ∙ 0,043

α₁:   0,909 ± 0,099

Нижняя граница: 0,909 – 0,099 = 0,81

Верхняя граница: 0,909 + 0,099 = 1,008

α₁: (0,81 1,008), следовательно, коэффициент регрессии α₁ значим, так как в эти границы не попадает 0.

 

- для свободного члена :    ,                                                             

α₀:   12,242 ± 2,306 ∙ 1,073

α₀:   12,242 ± 2,474

Нижняя граница:  12,242 – 2,474 = 9,768

Верхняя граница:  12,242 + 2,474 = 14,716

α₀:  (9,768 14,716), следовательно, параметр α₀ значим, так как в эти границы не попадает 0.

 

 

 

5. Вычислить  коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

1) Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

Качество данной модели высокое.

Таким образом, все изменения объема выпуска продукции в среднем  обусловлены на 98,3% изменениями объема капиталовложений и на 1,7% – изменениями факторов, неучтенных в модели.

2) Для проверки значимости модели регрессии используем F-критерий Фишера:

- вычисляем расчетное значение F_расч  по формуле:

 

- определяем табличное  значение F_табл:     F(_0,05;1;8) = 5,318.

Так как, F_расч > F_табл , следовательно, то уравнение регрессии является. статистически значимым.

 3) Для оценки точности регрессионной модели используем среднюю относительную ошибку аппроксимации, которую находим по формуле:

Это означает, что в  среднем расчетные значения отличаются от фактических значений на 3,193%.

Так как  =3,193% < 7%, то ошибка считается приемлемой, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

 

 

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

Для прогнозирования  результативного показателя подставим  в уравнение значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения:

Тогда точечный прогноз  составит:

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 31,2, точечный прогноз среднего значения «Y» составит 40,6.

Точечный прогноз обычно сопровождают интервальным, поскольку трудно ожидать совпадения в будущем фактического значения y с _прог. Интервальный прогноз задается с помощью доверительного интервала: , где U – величина отклонения от линии регрессии.

Величину U находим по формуле:

Стандартная ошибка – S_у = 1,226;

 рассчитываем с помощью программы Excel – Мастера функций – СТЬЮДРАСПОБР (0,1;8); его значение составит =1,86.

В результате находим интервальный прогноз:

Верхняя граница:  40,60 + 2,47=43,07

Нижняя граница:  40,60 – 2,47 = 38,13

Таким образом, с вероятностью 80% объем выпуска продукции (Y, млн.руб.) при ожидаемых объемах капиталовложений (X, млн.руб.), будет находиться в пределах от 38,13 млн.руб. до 43,07 млн.руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Представить  графически фактические и модельные  значения Y точки прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Составить  уравнения нелинейной регрессии:

• Гиперболической;
• Степенной;
• Показательной.

Привести графики  построенных уравнений регрессии.

 

• Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической  модели парной регрессии

Произведём линеаризацию модели путём замены .

В результате получим  линейное уравнение 

Для получения необходимых значений построим следующую таблицу:

 

Рассчитаем  параметры уравнения по данным таблицы:

      

            

Получим  следующее  уравнение гиперболической модели:

.

В полученное уравнение  регрессии подставляем имеющиеся значения х, таким образом, найдем теоретические значения . Затем по этим данным построим график  гиперболической модели регрессии.

 

                       

• Степенная функция

Уравнение степенной  модели имеет вид:

Приведем это уравнение  к линейному виду. Для этого  произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

 

Обозначим . Тогда уравнение примет вид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии.

Найдем параметры линейного уравнения регрессии степенной функции используя данные следующей таблицы:

      

 

Уравнение регрессии  будет иметь вид:  Y=0,6767+0,6250Х.           

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: 

Использовав функцию  СТЕПЕНЬ Мастера функций Excel, получим уравнение степенной модели регрессии:

Найдем теоретические  значения , подставив имеющиеся значения х в полученное уравнение регрессии. По этим данным построим график степенной модели регрессии.

                   

 

 

• Показательная функция

Уравнение показательной  кривой:

Приведем это уравнение к линейному виду. Для этого также произведем логарифмирование обеих частей уравнения: . 

Введем обозначения  .

С учетом этих обозначений  получим линейное уравнение регрессии: Y = A + Bx.

Найдем параметры линейного уравнения регрессии показательной функции используя данные следующей таблицы:

      

Уравнение регрессии  будет иметь вид:  Y=1,2405+0,0116х.           

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Использовав функцию  СТЕПЕНЬ Мастера функций Excel, получим уравнение степенной модели регрессии: 

Построим график показательной  модели регрессии.

                  9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

а) Линейная модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (также его можно найти с помощью программы Регрессия надстройки Анализ данных пакета Excel):

Качество данной модели высокое.

Это означает, что все  изменения в объеме выпуска продукции  обусловлены в среднем на 98,3%  изменениями объема капиталовложений и на 1,7% – вариациями неучтенных в модели факторов.

Коэффициент эластичности рассчитываем по формуле:

 

Значит, если увеличить  объем капиталовложений на 1%, то объем  выпуска продукции увеличится в среднем на 0,636%.

Средняя относительная  ошибка аппроксимации для линейной модели была найдена в пункте 5 и она равна:

Это означает, что в  среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 3,193%.

 

 

 

б) Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 89,5 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности рассчитываем по формуле:

Если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,485%.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:

В среднем расчетные  значения ŷ для гиперболической  модели отличаются от фактических значений на 7,257 %.

в) Степенная модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 98,3% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для степенной функции рассчитывается по формуле:

 

Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,625%.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:

В среднем расчетные  значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,412 %.

г) Показательная модель

Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 97,6% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Коэффициент эластичности для показательной модели рассчитываем по формуле:

 

Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,628%.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:

В среднем расчетные  значения ŷ для показательной модели отличаются от фактических значений на 3,819 %.

Для сравнения моделей  построим сводную таблицу результатов.

Модель	Параметры	Коэффициент детерминации,	Коэффициент эластичности, Э	Средняя относительная  ошибка,
Линейная		0,9827	0,636	3,193
Гиперболическая		0,895	0,527	7,257
Степенная		0,9825	0,625	3,412
Показательная		0,976	0,628	3,819

 

По данной таблице  можно сделать вывод что, наилучшей  является линейная модель, т.к. у нее наибольший коэффициент детерминации и наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

 

1. Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной и аудиторной работы на ПЭВМ. – М.: Вузовский учебник, 2005. – 122 с.
2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие  / И.И.Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко идр.; Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.– 192 с.