Контрольная работа по "Экономико-матемаическое моделирование"

Задача.

     Исследуется связь между расходами дилеров  некоторой компании на рекламу продукции (X, тыс. ден. ед.) и их объемами продаж (Y, сотни тыс. ден. ед.) и зависимость  объема продаж Y от расходов на рекламу X. Сведения по 60 случайно отобранным дилерам сгруппированы в корреляционную таблицу (табл. 1).

Таблица 1

Требуется:

1.  Выяснить, существует ли корреляционная зависимость объема продаж Y от величины расходов на рекламу X. Для этого необходимо:

а)  построить поле корреляции; вычислить групповые средние — средние объемы продаж для указанных в корреляционной таблице интервалов расходов на рекламу; на том же графике построить линию групповых средних — линию, соединяющую точки  (x’; ) где  - центр соответствующего интервала значений расходов на рекламу x;

Данные  об объемах продаж сгруппируем  по пяти интервалам вложенных в рекламу средств и введем в рабочий лист Microsoft Excel,

отождествив каждый интервал с его серединой (рис. 1).

Рис 1. Числовые данные для  программы

«Однофакторный  дисперсионный анализ»

     Воспользуемся  программой « Однофакторный дисперсионный  анализ».

Для  этого  выберем  соответствующий  пункт  меню надстройки «Анализ данных». В появившемся окне ввода данных (рис. 2)  укажем входной интервал  A1:E33, в который мы ввели исходные данные (с заголовками столбцов — серединами интервалов X, поэтому отметим флажок «Метки в первой строке»). Зададим  уровень значимости «Альфа» (по  условию α  = 0,05).  Укажем,  что данные сгруппированы по столбцам, а результаты работы программы необходимо  вывести на  новый рабочий лист.  Результаты  работы программы представлены на рис. 3.

Групповые средние

средние объемы продаж для каждого интервала  вложенных средств ( — количество наблюдений (X; Y),  у которых x принадлежит интервалу X,  y принадлежит  интервалу Y)  рассчитаны  программой (средние).  Построим  на рис. 9 поле корреляции — прямоугольную сетку, в каждом прямоугольнике которой проставляется точек. Здесь же построим линию групповых средних, т. е. ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x’; ).

Рис. 2. Окно ввода данных программы  «Однофакторный дисперсионный анализ» 

Рис. 3. Результаты работы программы  «Однофакторный дисперсионный анализ»

б)  используя случайную модель однофакторного дисперсионного анализа, проверить гипотезу об отсутствии влияния интервала вложенных в рекламу средств на объем продаж;

Используя  случайную  модель  однофакторного дисперсионного  анализа:

где , проверим гипотезу об отсутствии влияния интервала вложенных в рекламу средств на объем продаж.

Расшифровка  дисперсионной  таблицы,  полученной  с  помощью  программы «Однофакторный дисперсионный анализ», представлена в табл.2.

Таблица 2

     Проверка  гипотезы  H₀ производится  на  основе  анализа  статистики , имеющей (в предположении справедливости H₀) распределение Фишера — Снедекора с ν – 1 = 4  и n – ν = 55  степенями свободы (здесь ν = 5 — число интервалов x). В данном случае наблюдаемое значение статистики F _4;55 оказалось равным 20, 22 [в результатах работы программы (рис. 3,  рис.2)  оно приводится  в  таблице « Дисперсионный анализ»  в столбце «F»], а критическая точка f_{0,05; 4; 55} = 2,54 (F критическое), откуда следует, что гипотеза H₀ об отсутствии влияния вложений в рекламу на объем продаж отвергается на 5%-ном уровне значимости.

     Гипотезу  H₀ можно проверить и так:  если  P-значение  оказывается не меньше принятого уровня значимости α (в данном случае α = 0,05), гипотезу H₀

 принимают,  а если P-значение оказывается меньше α, гипотезу H₀ отвергают. В данном случае P-значение равно P = P{F_{4; 55}> 2,54} = 2,73849E-10 [оно приводится в результатах работы программы (рис.3, рис.2)], значит, гипотезу H₀ следует отвергнуть на 5%-ном уровне значимости.

в)  при отклонении гипотезы оценить влияние величины вложенных в рекламу средств на объем продаж, используя корреляционное отношение    и коэффициент детерминации .

     Оценим  влияние величины расходов на рекламу  на объем продаж с помощью коэффициента детерминации  такова (60%) доля общей вариации (дисперсии, разброса,  различий)  объема продаж Y, обусловленная влиянием на него расходов на рекламу X. Корреляционное отношение 0,77 

2.  Исследовать правомерность предположения о линейности корреляционной связи между X и Y. Для этого:

     а)  вычислить оценку коэффициента корреляции и оценку коэффициента линейной детерминации ; предположив нормальность  распределения случайной величины (X, Y),  на 5%-ном уровне  значимости  проверить гипотезу    при альтернативной гипотезе  ;  при отклонении  H₀ дать содержательную интерпретацию    и ;

     Наблюдения,  сгруппированные  в  табл.1,  представим  в обычной форме: пару (0,15; 4,95) выпишем 1 раз, пару (0,15; 5,85) — 1 раз и т. д. Введем эти данные в рабочий лист Microsoft Excel (рис. 4). Воспользуемся программой «Корреляция». Для этого выберем соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных». В появившемся окне ввода данных (рис. 5)  укажем входной интервал A1:B61,  в который мы ввели исходные данные (с заголовками столбцов — названиями признаков, поэтому отметим флажок «Метки в первой строке»). Укажем, что данные сгруппированы по столбцам, а результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист. Результаты работы программы представлены на рис. 6.

     В результате работы этой программы рассчитана оценка 0,86 коэффициента корреляции . Проверим на 5%-ном уровне значимости гипотезу при альтернативной гипотезе .

     Наблюдаемое числовое значение статистики 

равно

     При α= 0,05 значение критической точки . Поскольку |12,8| > , есть основания отвергнуть проверяемую  гипотезу Hо.  При этом  оценка  коэффициента линейной  детерминации = 0,74  означает, что 74% общей вариации  объема продаж  Y  обусловлены линейным  влиянием на него расходов на рекламу X (сравним это значение  с коэффициентом детерминации = 0,6 — долей вариации объема продаж, связанной с влиянием расходов на рекламу). Положительное  и   близкое к единице значение оценки коэффициента корреляции  означает,  что наблюдается прямая  и   достаточно тесная  корреляционная связь между X и Y.  

     Рис. 4. Числовые данные для программ «Корреляция» и «Регрессия»

Рис. 5. Окно ввода данных программы «Корреляция» 

Рис. 6. Результаты работы программы  «Корреляция» 

б) найти оценки параметров одели линейной регрессии и прямой линией   «выровнять» линию групповых средних ;

     Предположив, что корреляционная зависимость Y  от  x  линейна (функция регрессии Y на x линейна), оценим степень близости связи между Y и x к линейной функциональной. Модель  парного  линейного  регрессионного  анализа признака Y записывается следующим образом:

где все  случайные величины ε_i  (случайные эффекты влияния на результативный признак неконтролируемых факторов)  независимы и имеют одинаковое нормальное распределение  или, иначе, все наблюдения Y_i независимы  и имеют нормальное  распределение . Функция   называется линейной функцией регрессии.

     Рассчитаем  оценки параметров модели линейной регрессии. Для  этого  воспользуемся  программой «Регрессия»,  выбрав  соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel. 

     В окне ввода исходных данных программы «Регрессия» (рис. 7)  укажем входные интервалы результативного признака Y (B1:B61)  и факторного признака x (A1:A61). Установим флажок «Метки» (указав, что в первой строке  находятся названия переменных),  очистим флажок «Константа — ноль» (чтобы в уравнении присутствовал свободный член a₀),  уровень надежности (1 – α)  указывать не будем (по умолчанию он равен 95%). Укажем,  что результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист. Результаты работы программы «Регрессия» представлены на рис. 8.

     Модуль  коэффициента корреляции =0,86 выведен в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 7) в таблице «Регрессионная статистика»  под  заголовком «Множественный R»;  коэффициент  линейной детерминации =0,74  выведен под заголовком «R-квадрат».  

     Оценки  параметров   содержатся в результатах работы  программы « Регрессия» (рис. 8)  в нижней  таблице  в столбце «Коэффициенты» под заголовками «Y-пересечение» и «X» соответственно.  Таким  образом,  оценка  линейной  функции  регрессии  такова: 0,72+2,92х.  График этой функции построен на рис. 9.

     Рис. 7. Окно ввода данных программы «Регрессия» 

Рис. 8. Результаты работы программы «Регрессия»

      Стандартная ошибка уравнения регрессии

(т. е.  оценка параметра σ_ELR)  приводится  в результатах работы  программы «Регрессия» в таблице под заголовком «Регрессионная статистика» (рис. 8).

в)  на 5%-ном уровне значимости  проверить гипотезу при альтернативной гипотезе ; при отклонении H₀

•   дать содержательную интерпретацию коэффициента  ;

• построить 95%-ную интервальную оценку параметра и дать содержательную интерпретацию ее границ; построить 95%-ную интервальную оценку параметра ;

• дать точечные и 95%-ные интервальные прогнозы генерального среднего объема продаж и объема продаж для центров интервалов расходов на рекламу; найденные интервальные прогнозы изобразить на том же графике, где изображено поле корреляции.

                Проверка  гипотезы (о незначимости  парного линейного уравнения регрессии) при альтернативе  производится  на основе анализа статистики

имеющей (в предположении справедливости H₀) распределение Фишера — Снедекора с одной и n – 2 = 58 степенями свободы. Значения величин 

приводятся  в результатах работы программы  «Регрессия» в столбце «SS»  в строках «Регрессия» и «Остаток»  соответственно (рис. 8).

В данном случае наблюдаемое значение статистики F_{1; 58}, равное 171,4 [в результатах работы  программы (рис. 8)  оно приводится  в таблице «Дисперсионный анализ» в столбце «F»], оказалось больше, чем критическая точка f_{0,05; 1; 58}, равная 4,0 [в Microsoft Excel значение   можно получить с помощью функции   , поэтому есть основания отвергнуть гипотезу H₀ на 5%-ном уровне значимости. 

                 Гипотезу H₀ можно проверить и так: если значимость F [приведенная в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 8) в таблице «Дисперсионный анализ»)]  оказывается не  меньше  принятого уровня  значимости α (в данном случае  α = 0,05),  гипотезу  H₀ принимают,  а  если  значимость F оказывается меньше α, гипотезу H₀ отвергают. В данном случае есть основания отвергнуть гипотезу H₀, поскольку значимость F равна 5,77791E-19

• Значение коэффициента = 2,92 показывает,  что увеличение расходов  на  рекламу на 1  тыс. ден. ед.  сопровождается  увеличением генерального среднего объема продаж на 2,92 сотен тыс. ден. ед.

•   Интервальная оценка параметра a₁ такова:

В  данной  задаче 0,065; 59*0,065=3,84; 0,44 поэтому 95%-ная интервальная оценка параметра a₁ принимает вид

2, 47 <a₁< 3, 36

т. е. с  вероятностью 0,95 можно ожидать, что каждая тысяча ден. ед., дополнительно вложенная в рекламу, приведет к увеличению среднего объема продаж от 2, 47  сотен тыс. ден. ед. до 3, 36 сотен тыс. ден. ед.

Интервальная  оценка параметра a₀ такова:

В  рассматриваемой  задаче 0,72, 0,065, 3,84,

  38,91 , 0,44 поэтому 95%%ная интервальная оценка параметра a₀ принимает окончательный вид:                                       

0,36 <а₀< 1,08

     Интервальные  оценки параметров a₀ и a₁ приведены в результатах работы программы « Регрессия» (рис. 8):  нижние границы  интервалов приводятся в столбце «Нижние 95%», а верхние границы интервалов —  в столбце «Верхние 95%».

•  Точечным  прогнозом  для  генерального  среднего  объема  продаж при расходах  на  рекламу,  равных,  будет 0,72+2,92х; в условиях примера точечные прогнозы

 при; 0,15; 0,45; 0,75; 1,05, 1,35 таковы:  1,16; 2,03; 2,91; 3,78; 4,66

Интервальная  оценка    задается формулой

В условиях задачи

0,863 < M(Y|x) = 0,15 < 1,460

1,855 < M(Y|x) = 0,45 < 2,217

2,797 < M(Y|x) = 0,75 < 3,025

3,614 < M(Y|x) = 1,05 < 3,957

4,374 < M(Y|x) = 1,35 < 4,946

эти интервальные оценки изображены на рис. 9 

Рис. 9. Поле корреляции, линия  групповых средних, точечный и интервальный прогноз групповых  средних

Интервальный  прогноз объема продаж Y при расходах на рекламу x′ (Y|x′) задается формулой 

В условиях данной задачи

0,231 < Y|x = 0,15 < 2,091

1,137 < Y|x = 0,45 < 2,935

2,023 < Y|x = 0,75 < 3,799

2,888 < Y|x = 1,05 < 4,863

3,734 < Y|x = 1,35 < 5,586

эти оценки изображены на рис. 9.

Расчет интервальных оценок для в Microsoft Excel проиллюстрирован рис.10. 

г)  на 5%-ном уровне значимости проверить гипотезу о линейности функции регрессии Y на x.

     Проверим  на 5%-ном уровне значимости гипотезу H₀ о линейности функции регрессии Y на x. Для этого рассчитаем значение статистики

которая в предположении справедливости гипотезы H₀ имеет распределение Фишера — Снедекора с ν– 2 = 3 и n – ν = 55 степенями свободы. Здесь SS_регр приводится в результатах работы программы «Регрессия» в столбце «SS» в строке «Регрессия» (рис. 8), а и SS и и SS_ост

 —  в результатах работы программы  «Однофакторный дисперсионный анализ» (табл.2).

В условиях задачи наблюдаемое значение статистики F_{3; 55} равно

и оно  меньше критической точки f_{0,05; 3; 55} = 2,54, поэтому гипотеза H₀ о линейности функции регрессии Y на x не отвергается. 

Рис. 10. Расчет доверительных  интервалов для  M(Y|x’) и Y|x^’