Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Экономико-математическая модель"

Содержание

Вопрос №13……………………………………………………………...3
Вопрос №47………………………………………………………….…..4
Вопрос №81……………………………………………………………...5
Задача №13 линейного программирования графическим методом…………………………………………………………………..6
Составить и решить экономико-математическую модель по оптимальному суточному рациону кормления дойных коров стойловый период при содержании жира в молоке 3,8 (вариант №13)……………………………………………………………………...9
Транспортная задача №13……………………………………………..17

Вопрос №13 Открытая и закрытая модели транспортной задачи

Модель транспортной задачи с ограничениями неравенствами называется открытой моделью. Модель с ограничениями равенствами носит название закрытой модели.

Транспортная задача называется закрытой, если выполняется условие баланса: суммарный объем производства равен суммарному объему потребления:

Следует обратить внимание на то, что математическая модель задает закрытую транспортную задачу.

Открытая ТЗ имеет место в двух случаях.

Первый случай. Суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления:

Известно, что для существования допустимого решения транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы задача была закрытой. Поэтому транспортную задачу открытого типа предварительно необходимо свести к закрытой, для чего вводится фиктивный пункт производства с номером m+1 с объемом производства:

, при этом полагают .

Второй случай. Суммарный объем производства больше суммарного объема потребления:

Для сведения ТЗ к закрытому типу вводят фиктивный пункт потребления с номером n+1 с объемом потребления:

, при этом полагают .

Методы решения:

Как задача линейного программирования ТЗ может быть решена симплекс методом;
Также разработаны специальные (более эффективные) методы решения транспортной задачи: обобщенный венгерский метод; метод северо-западного угла, метод минимального элемента для нахождения опорного плана; метод потенциалов для нахождения оптимального плана.

Вопрос №47 Алгоритм симплексного метода для линейного программирования с ограничениями «=»

Для того чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

Привести задачу к каноническому виду;
Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений);
Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода;
Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается;
Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения.

Все ограничения задачи модифицируются согласно следующим правилам:

Ограничения типа «≤» переводятся на равенства созданием дополнительной переменной с коэффициентом «+1». Эта модификация проводится и в однофазном симплекс-методе, дополнительные переменные в дальнейшем используются как исходный базис;
Ограничения типа «≥» дополняются одной переменной с коэффициентом «−1». Поскольку такая переменная из-за отрицательного коэффициента не может быть использована в исходном базисе, необходимо создать ещё одну, вспомогательную, переменную. Вспомогательные переменные всегда создаются с коэффициентом «+1»;
Ограничения типа «=» дополняются одной вспомогательной переменной.

Соответственно, будет создано некоторое количество дополнительных и вспомогательных переменных. В исходный базис выбираются дополнительные переменные с коэффициентом «+1» и все вспомогательные. Осторожно: решение, которому соответствует этот базис, не является допустимым.

Вопрос №81 В чем заключается содержание симплексной таблицы

Симплекс-таблица представляет собой расширенную матрицу системы ограничений с некоторыми дополнительными столбцами и строками. В ней строк столько, сколько ограничений в задаче ЛП плюс строка для функции Z (индексная строка). Симплексные таблицы отображают конкретный вариант решения задачи ЛП при условии, когда базисные неизвестные равны значениям элементов столбца свободных членов, а значения небазисных неизвестных равны нулю. Соответствующее этому решению целевой функции представляет элемент таблицы, стоящей в столбце членов по строке Z.

Задача №13. Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Постановка задачи.

Найти максимальное значение целевой функции max Z = 2x₁+x₂, при системе ограничений:

x₁+ x₂ ≤ 20	(1)
x₁≤ 10	(2)
x₂≤ 30	(3)
x₁+ x₂ ≥ 10	(4)
x₁≥ 0	(5)
x₂≥ 0	(6)

Уравнения граничных прямых:

x₁+ x₂ = 20

x₁= 10

x₂= 30

x₁+ x₂ ≥ 10

Строим графики граничных прямых:

x₁+ x₂ = 20	граничная (1)
x₁= 10	граничная (2)
x₂= 30	граничная (3)
x₁+ x₂ = 10	граничная (4)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи max Z=2x₁+x₂.
Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: Z = 2x₁+x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке F. Так как точка F получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x₁+x₂≤20; x₁≤10

Решив систему уравнений, получим: x₁=10, x₂=10, откуда найдем максимальное значение целевой функции: Z(х) = 2*10 + 1*10 = 30

Решение двойственной задачи позволяет определить существенные и несущественные ресурсы и их избытки, а также вычислить объективно обусловленные оценки и составить соотношение устойчивости.

Задача №13. Составить и решить экономико-математическую модель по оптимальному суточному рациону кормления дойных коров на стойловый период. Критерий оптимальности - минимальная стоимость рациона. Провести анализ оптимального решения.

1 Постановка задачи

Живая масса 500 кг, удой 16 кг. Корма: мука виковая, отходы ячменя, комбикорм, шрот льняной, сено луговое, сено люцерново-житняковое, солома просяная, силос люцерновый, силос кукурузный, силос травы луговой, сахарная свекла, кормовая морковь, барда. В общем балансе кормовых единиц концентрированные корма могут составлять не менее 15, но не более 35%, грубые от 13 до 30%, силос от 20 до 40%, корнеклубнеплоды от 10 до 22%.

Удельный вес шрота льняного в концентрированных кормах должен быть не более 20%, соломы в грубых не более 25%, силоса кукурузного не менее 40% всего силоса, сахарной свеклы не менее 30% корнеклубнеплодов. В общем балансе кормовых единиц барда может составлять не более 10%.

Количества питательных веществ будут служить ограничениями, меньше которых брать не допускается (ограничение типа неравенства «>»). Эту информацию удобно представлять в табличной форме (табл. 1.1).

Таблица 1.1.

№ п/п	Живая масса, кг	Суточный удой, кг	Рацион должен содержать не менее
№ п/п	Живая масса, кг	Суточный удой, кг	кормов единиц, кг	периваримого протеина, г	каротина, мг
1	2	3	4	5	6
1	600	16	12,6	1400	550

Занесем в таблицу виды кормов, имеющихся в хозяйстве, содержание в каждом виде корма кормовых единиц, переваримого протеина и каротина, стоимость 1 кг корма каждого вида. Данные взяты из условия задачи и таблицы 1.11. методических указаний.

Количество каждого вида корма, входящего в рацион неизвестно. Обозначим его через . – основные переменные математической модели задачи. По смыслу задачи все .

Таблица 1.2

п/п

Наименование кормов

Количество необходимого корма (кг)

Содержится в 1 кг корма

Стоимость 1 кг корма

(руб)

кормов единиц,

кг

периваримого протеина, г

каротина, мг

Концентрированные корма

мука виковая

отходы ячменя

комбикорм

шрот льняной

1,16

0,9

1,02

209

160

286

120

5,2

6,15

Грубые корма

сено луговое

сено люц-житняковое

солома просяная

0,42

0,52

0,41

107

0,37

0,42

0,2

Силос

силос люцерновый

силос кукурузный

силос травы луговой

0,18

0,2

0,19

2,33

1,91

1,9

Корнеклубнеплоды

сахарная свекла

кормовая морковь

0,26

0,14

3,2

3,0

Прочие корма

барда

0,08

1,95

Выпишем из условия задачи допустимые пределы скармливания различных групп и видов кормов, кормовых добавок (табл. 1.3).

Таблица 1.3

%п/п	Группы и виды кормов	Не менее	Не более
1	Концентрированные корма	15%	35%
2	Грубые корма	13%	30%
3	Силос	20%	40%
4	Корнеклубнеплоды	10%	22%
5	Удельный вес шрота льняного в концентрированных кормах может составлять не более 20%
7	Соломы в грубых не более 25%
8	Силос кукурузный не менее 40% всего силоса
9	Сахарная свекла не менее 30% корнеклубнеплодов
10	Барда не более 10% общей потребности в кормовых единицах

Состав переменных

– мука виковая,

– отходы ячменя,

– комбикорм,

– шрот льняной,

– сено луговое,

– сено люцерново-житняковое,

– солома просяная,

– силос люцерновый,

– силос кукурузный,

– силос травы луговой,

– сахарная свекла,

– кормовая морковь,

– барда.

Математическая запись модели

Первая группа ограничений (баланс питательных веществ):

, где

Вторая группа ограничений. Содержание в рационе кормов -й группы не менее или не более допустимого количества

; ,

где множество видов кормов входящих в группу ;

, – минимально и максимально допустимые пределы введения в рацион кормой данной -й группы, заданные в процентах (%) к общей питательности рациона;

– общее множество кормов, переменных в рационе.

Третья группа ограничений. Удельный вес отдельных видов кормов внутри соответствующих групп кормов:

; ,

Условие неотрицательности переменных .

Целевая функция

Так как цель минимизировать стоимость рациона, то

где – стоимость единицы корма го вида.

Построение развернутой числовой модели для оптимизации рациона

Основные ограничения по балансам питательных веществ в рационе

По кормовым единицам:

По переваримому протеину:

По каротину:

Дополнительные ограничения по зоотехнически допустимым границам содержания групп кормов в рационе

По концентрированным кормам:

По грубым кормам:

По силосу:

По корнеклубнеплодам:

По шроту льняному в концентрированных кормах:

или

По соломе в грубых кормах:

или

По силосу кукурузному от всего силоса:

или

По сахарной свекле в корнеклубнеплодах:

или

По барде в общей потребности в кормовых единицах:

Минимизацию стоимости рациона выражает целевая функция :

Запишем систему ограничений в матричной форме.

Матричная запись математической модели ограничений для расчета оптимального рациона кормления коров (масса 500 кг, удой 16 кг)

№ п/п	Ограничения	Единицы измерения	Концентрированные корма				Грубые корма			Силос			Корнеклубнеплоды		Прочие корма	Кормовые единицы	Объем и тип ограничения
			мука виковая я	отходы ячменя	комбикорм	шрот льняной	сено луговое	сено люцерново-житняковое	солома просяная	силос люцерновый	силос кукурузный	силос травы луговой	сахарная свекла	кормовая морковь	барда	Кормовые единицы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	По кормовым единицам	кг	1,16	0,9	0,9	1,02	0,42	0,52	0,41	0,18	0,2	0,19	0,26	0,14	0,08	-1	=0
2	По кормовым единицам															1	12,6
3	По переваримому протеину:	г	209	90	160	286	46	107	24	29	14	18	12	7	12		1400
4	По каротину:	мг	2	1	2	0	15	45	10	25	15	15	0	30	0		550
5	По концентрированным кормам:	%	1,16	0,9	0,9	1,02										-0,15	0
6	По концентрированным кормам:	%	1,16	0,9	0,9	1,02										-0,35	0
7	По грубым кормам:	%					0,42	0,52	0,41							-0,13	0
8	По грубым кормам:	%					0,42	0,52	0,41							-0,3	0
9	По силосу:	%								0,18	0,2	0,19				-0,2	0
10	По силосу:	%								0,18	0,2	0,19				-0,4	0
11	По корнеклубнеплодам:	%											0,26	0,14		-0,1	0
12	По корнеклубнеплодам:	%											0,26	0,14		-0,22	0
13	По шроту льняному в концентр. кормах	%	1	1	1	-4											0
14	По соломе в грубых кормах:	%					1	1	-3								0
15	По силосу кукурузному	%								1	-1,5	1					0
16	По сахарной свекле в корнеклубнеплодах:	%											-2,333	1			0
17	По пивной дробине в общей потребности в кормовых единицах	кг													0,08	-0,1	0
18	Стоимость рациона	Руб.	12	9	5,2	6,15	0,37	0,42	0,2	2,33	1,91	1,9	3,2	3,0	1,95

Запишем математическую модель в каноническом виде:

Целевая функция:

Неравенства – ограничения записываются в виде равенств. В левые части неравенств добавляются дополнительные переменные .

В неравенства вида «» дополнительная переменная вводится со знаком «–», в неравенствах вида «»– со знаком «+».

Задача подготовлена к решению на компьютере.

Транспортная задача линейного программирования

Решение:

Представим математическую запись задачи в развернутой структурной форме.

Задача является открытой, так как .

Ограничения по ресурсам:

Ограничения по потребителям:

Для решения задачи введем фиктивного потребителя мощностью: 26-21=5

Тогда модель примет вид:

Ограничения по ресурсам:

Ограничения по потребителям:

Условия неотрицательности:

Целевая функция:

Построим опорный план методом «северо-западного угла».

Число занятых клеток в таблице должно быть m+n-1=4+4-1=7.

План

Рассчитаем затраты на перевозку:

Транспортная задача решается методом потенциалов. Каждой строке таблицы и каждому столбцу ставится в соответствие число, называемое потенциалом.

1. Потенциалы строк - и столбцов - удовлетворяют следующему условию: для базисных переменных. Так как система для определения потенциалов содержит на одно уравнение меньше, чем число потенциалов, то, чтобы найти решение системы потенциалов, один потенциал задаем произвольно, например,

Остальные потенциалы найдем, решая систему уравнений:

2. Определяем характеристики для свободных неизвестных (пустых клеток): и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. показывают, на сколько изменится значение целевой функции , если в клетку (i, j) переместить единицу груза.

План будет оптимален, если для всех свободных неизвестных

и т.д.

План не является оптимальным, так как содержит

3. Выбираем клетку (3,2) с наименьшей отрицательной характеристикой и строим контур (цикл). Контур удовлетворяет следующим условиям: а) для каждой клетки можно построить один, и только один контур; б) все вершины контура находятся в заполненной клетке, за исключением клетки, для которой контур строится; в) число вершин – четно.

Для клетки построим контур:

Вершинам присваиваем чередующиеся знаки плюс-минус, начиная с клетки, для которой контур строится. Выбираем наименьшую поставку, в вершинах, отмеченных знаком минус – это количество груза необходимо распределить по контуру

Количество груза в «положительных» вершинах увеличивается на 5, а в «отрицательных» уменьшается на 5. При этом одна и только одна вершина в контуре становится свободной, а клетка, для которой контур строится, заполняется. Получим план .

Рассчитаем затраты на перевозку:.

План будет оптимален, если для всех свободных неизвестных

и т.д.

План не является оптимальным, так как содержит

Выбираем клетку с наименьшей отрицательной характеристикой и строим контур (цикл):

Количество груза в «положительных» вершинах увеличивается на 0, а в «отрицательных» уменьшается на 0. Получим план .

Рассчитаем затраты на перевозку: .

План будет оптимален, если для всех свободных неизвестных

и т.д.

План не является оптимальным, так как содержит

Выбираем клетку с наименьшей отрицательной характеристикой и строим контур (цикл):

Количество груза в «положительных» вершинах увеличивается на 1, а в «отрицательных» уменьшается на 1. Получим план .

Рассчитаем затраты на перевозку: .

План будет оптимален, если для всех свободных неизвестных

и т.д.

Все характеристики свободных клеток в плане неотрицательны, поэтому план оптимальный.

Итак, первый поставщик везет продукцию 1-му потребителю в объеме 8 ед. груза. Второй поставщик везет продукцию 3-му потребителю в объеме 7 ед. груза. Третий поставщик везет продукцию 2-му потребителю в объеме 5 ед. груза. Четвертый поставщик везет продукцию 1-му потребителю в объеме 1 ед. груза. Неиспользованные мощности 4-го поставщика равны 6-1=5 ед.груза. При этом минимальные затраты равны 455ден. ед.

Контрольная работа по Экономико-математическая модель 📙 Контрольная → 🆔 78336