Контрольная работа по "Экономико - математические методы и модели"

 УО «ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Контрольная  работа по предмету «Экономико-математические методы и модели».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                 Студента 3 курса заочного факультета

                                                                 группы Эс-38 шифр 10443

                                                                 Вариант №3                 

 Васильева И.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИТЕБСК 2013

Содержание:

 

 

   1. Задача 1 Метод сетевого планирования.

   2. Задача 2 Кореляционно-регрессивный анализ.

   3. Задача 3 Расчёт производственной программы оптимизация ассортимента трикотажного производства.

  Литература.

 

 

1. Задача 1.

    Построение сетевого графика и его оптимизация.

    На предприятии осуществляется реконструкции меха. Известна средняя продолжительность выполнения отдельных paбот (табл. 1). Сред--неквадратическое отклонение продолжительности выполнения работ σ_п (где п - номер работы) по всем работам комплекса равно одному дню.

    Необходимо:

1. Построить сетевой  график выполнения работ по  реконструкции цеха и определить  значения его параметров (ранние  и поздние сроки свершения событий, резервы времени по отдельным событиям).

     Результаты расчетов значений указанных параметров указать непосредственно на сетевом графике.

2. Определить на сетевом  графике критический путь. Критический  путь выделить жирной линией  и отдельно дать перечень работ,  принадлежащих, критическому пути, и его длительность.

Таблица 1(вариан №3).

Код работы	Продолжительность работы (дни)
1-2	10
2-3	5
3-8	3
1-4	8
4-6	2
4-7	12
6-7	5
7-8	9
1-5	6
5-8	6
2-4	3
5-6	0

 

Решение:

    1) Определим ранние сроки наступления события по формуле:

T^р_j=max { T^p_i +t_ij},  i=1,……,k

где T^р_j  – ранний срок наступления i-го события,

t_ij – средняя продолжительность работы ij;

k – число работ, предшествующих непосредственно j-му событию (все эти работы на сетевом графике обозначаются стрелками, входящими в кружок, обозначающий j-е событие.

     Рассчитаем сроки раннего наступления события:

Т^p₁ = 0

Т^p₂ = Т^p₁ + t₁₂ = 0 + 10 = 10

Т^p₃ = max {Т^p₁ + t₁₂; Т^p₂ + t₂₃} = max {0+10;10+5}= max {10;15} = 15

Т^p₄ = max {Т^p₁ + t₁₄; Т^p₂ + t₂₄} = max {0+8;10+3}= max {8;13} = 13

Т^p₅ = Т^p₁ + t₁₅ = 0 + 6 = 6

Т^p₆ = max {Т^p₄ + t₄₆; Т^p₅ + t₅₆} = max {13+2;6+0}= max {15;6} = 15

Т^p₇ = max {Т^p₄ + t₄₇; Т^p₆ + t₆₇} = max {13+12;15+5}= max {25;20} = 25

Т^p₈ = max {Т^p₃ + t₃₈; Т^p₅ + t₅₈; Т^p₇ + t₇₈ } = max {15+3;6+6;25+9}= max {18;12;34} = 34

 

    2) Определим поздние сроки совершения события по формуле:

Tⁿ_i=min{ Tⁿ_j –t_ij},     j=1,…….L,

 

где  Tⁿj (j=1,…….L) – поздний срок наступления j-го события,

L -- число работ, непосредственно следующих за i-ым событием (все эти работы нас етевом графике обозначаются стрелками, выходящими из кружка, обозначающего i-е событие).

Рассчитаем сроки позднего наступления события:

Tⁿ₈ = 34

Tⁿ₇ = Tⁿ₈ - t₇₈ = 34 – 9 = 25

Tⁿ₆ = Tⁿ₇ - t₆₇ = 23 – 5 = 18

Tⁿ₅= min { Tⁿ₆ –t₅₆; Tⁿ₈ –t₅₈}= min {18-0;34-6} = min {18;28}=18

Tⁿ₄= min { Tⁿ₆ –t₄₆; Tⁿ₇ –t₄₇}= min {18-2;25-12} = min {16;13}=13

Tⁿ₃ = Tⁿ₈ – t₃₈ = 34 – 3 = 31

Tⁿ₂= min { Tⁿ₃ –t₂₃; Tⁿ₄ –t₂₄}= min {31-5;13-3} = min {26;10}=10

Tⁿ₁= min { Tⁿ₂ –t₁₂; Tⁿ₄ –t₁₄; Tⁿ₅ –t₁₅}= min {10-10;11-8;18-6} = min {-2;3;12}= 0

 

Tⁿ₁= Т^p₁ = 0

3) Определим резервы  времени i-го события сетевого графика:

     Разность между поздним и ранним сроками свершения событий – есть резерв времени этого события. Резерв времени i-го события Ri вычисляется по формуле

Ri= Tⁿ_i- T^p_j

R₁= Tⁿ₁- T^p₁ = 0-0=0

R₂= Tⁿ₂- T^p₂ = 10-10 = 0

R₃= Tⁿ₃- T^p₃ = 31 – 15 = 16

R₄= Tⁿ₄- T^p₄ = 13 – 13 = 0

R₅= Tⁿ₅- T^p₅ = 18 – 6 =12

R₆= Tⁿ₆- T^p₆ = 18 – 15 = 3

R₇= Tⁿ₇- T^p₇ = 25 – 25 = 0

R₈= Tⁿ₈- T^p₈ = 34 – 34 = 0

     Определим критический путь сетевого графика λкр, то есть полный путь, имеющий наибольшую продолжительность. Для него является характерным, что все события, принадлежащие ему, не имеют резервов времени (равны нулю). В данном случае критический путь проходит через события 1-2-4-7-8.

4) Определим полный резерв времени  работ по формуле:

r_ij = Tⁿ_i- T^p_j - t_ij

r₁₂ = Tⁿ₂- T^p₁ - t₁₂ = 10 – 0 – 10 = 0

r₂₃ = Tⁿ₃- T^p₂ - t₂₃ = 31 – 10 – 5 = 16

r₃₈ = Tⁿ₈- T^p₃ - t₁₃₈ = 34 – 15 – 3 = 16

r₁₄ = Tⁿ₄- T^p₁ - t₁₄ = 13 – 0 – 8 = 5

r₄₆ = Tⁿ₆- T^p₄ – t₄₆ = 18 – 13– 2 = 3

r₄₇ = Tⁿ₇- T^p₄ – t₄₇ = 25– 13 – 12 = 0

r₆₇ = Tⁿ₇- T^p₆ – t₆₇ = 25 – 15 – 5 = 5

r₇₈ = Tⁿ₈- T^p₇ – t₇₈ = 34 – 25– 9 = 0

r₁₅ = Tⁿ₅- T^p₁ - t₁₅ = 18 – 0 – 6 = 12

r₅₈ = Tⁿ₈- T^p₅ – t₅₈ = 34 – 6 – 6 = 22

r₂₄ = Tⁿ₄- T^p₂ – t₂₄ = 13 – 10 – 3 = 0

r₅₆ = Tⁿ₆- T^p₅ – t₅₆ = 18 – 6 – 0 = 12

5) Определим длину  критического пути:

T_kp=∑t_ij

Т_кр = t₁₂+t₂₄+t₄₇+t₇₈ = 10 + 3 + 12 + 9 = 34 дня 

Т_кр2 = t₁₄+t₄₇+t₇₈ = 8 + 12 + 9 = 29 дней 

 

 

Рис. 1. Сетевой график выполнения работ по реконструкции цеха

 

     Ответ: критическим  путем является путь 1-2-4-7-8 и его  длительность составляет 34 дня.

 

 

 

 

 

 

2. Задача 2.

     Вычислить коэффициент корреляции между производительностью труда и рентабельностью предприятия. Определить уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия.

    Проверить гипотезу о значимости отличия коэффициента корреляция от нуля. Считая связь между производительностью труда: рентабельностью линейной, построить уравнение связи между названными показателями, используя метод наименьших квадратов. Проверить гипотезу об отличии от нуля коэффициента регрессии. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Исходные данные приведены в таблице 5.

Таблица 5(вариант №3).

Уровень рентабельности (млн.р.)	Производительность труда (тыс.руб.)
9.3	133
9.2	139
9.5	126
9.6	160
9.1	123
9.0	132
9.2	133
9.5	131
9.8	158
9.0	127

 

Решение:

Коэффициент корреляции используется для проверки гипотезы о наличии связи между исследуемыми показателями. Для его вычисления используется формула 

 

, где

 

xy – среднее значение произведения величин используемых показателей;

x – среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве независимой переменной;

y – среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве зависимой переменной;

Среднеквадратическое  отклонение величин рассчитывается по формулам:

 

 

 

Где n – число значений переменных.

Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле:

 

Среднеквадратичная выборка  коэффициента корреляции:

 

 

Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличной величиной. Если расчетная величина окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если же расчетное значение критерия меньше табличного, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

Расчеты сведем в таблицу:

Таблица 2.1.

x	y	x-xср	(x-xср)²	y-yср	(y-yср)²	xy	(y-yср)(x-xср)
133	9,3	-3,2	10,24	-0,02	0,0004	1236,9	0,064
139	9,2	2,8	7,84	-0,12	0,0144	1278,8	-0,336
126	9,5	-10,2	104,04	0,18	0,0324	1197	-1,836
160	9,6	23,8	566,44	0,28	0,0784	1536	6,664
123	9,1	-13,2	174,24	-0,22	0,0484	1119,3	2,904
132	9	-4,2	17,64	-0,32	0,1024	1188	1,344
133	9,2	-3,2	10,24	-0,12	0,0144	1223,6	0,384
131	9,5	-5,2	27,04	0,18	0,0324	1244,5	-0,936
158	9,8	21,8	475,24	0,48	0,2304	1548,4	10,464
127	9	-9,2	84,64	-0,32	0,1024	1143	2,944
сумма		0	1477,6	0	0,656	12715,5	21,66
xср	136,2
yср	9,32
xyср	1269,38

∑х = 1362 ∑у = 93.2

Qx = √1477,6/9 = 12,81

 

Qy = √0,656/9 = 0,27

 

     Рассчитаем коэффициент корреляции:

rxy =(1271,55-1269,38)/(12,81*0,27) = 0,627

 

Вычислим ошибку коэффициента корреляции:

Sr =(1-0.627²)/√9 ≈ 0.202

 

     Рассчитаем величину t-критерия:

t=0,627/0,202 ≈ 3,10

     Табличное значение критерия =2,306, следовательно коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

     Расчет уравнения регрессии:

     Для расчета коэффициента регрессии будем пользоваться методом квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимости переменной y, вычисленных по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т.е.

 

где yi –значение переменной в i-ом наблюдении;

yi´ -- значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении x

n – число наблюдений.

     Если предполагается, что связь линейная, т.е.

 

     то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициента a0 и a1 при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений y от фактического была бы минимальной.

     Произведем расчет коэффициента регрессии:

аi =21,66/1477,6 ≈ 0,0146

а0 =9,32-0,0146*136,2 ≈ 7,33

Проверим значимость коэффициента регрессии. Вычислим ошибку коэффициента:

 

 

Данные для расчета  сведем в таблицу:

Таблица 2.2.

Вычислим остаточную сумму квадратов:

∑(уфакт –урасч)²= (0,3384)² = 0,1145

 

Отсюда Sа₁=√0,1145/(8*1477,6) = 0,0031

ta= 0,0146/0,0031= 4,709

Табличное значение критерия равно 2,106. расчетное значение больше табличного, коэффициент регрессии  значимо отличен от нуля.

Рассчитаем коэффициент  эластичности:

Э=0,0146*(136,2/9,32)=0,213

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов  увеличивается у при увеличении х на 1 процент.

 

     Ответ: проведенный анализ показывает, что величина рентабельности предприятия тесно связана с производительностью труд (коэффициент корреляции 0,627). Из полученного уравнения регрессии у=7,33+0,0146х следует, что увеличение производительности труда на 1 тыс. рублей приводит к повышению рентабельности на 0,0146 тыс. рублей. Изменение производительности труда на 1 % приводит к увеличению рентабельности на 0,213 %.

Для проведения корреляционно-регрессионного анализа в EXCEL воспользуемся возможностями Пакета анализа.

1. Разместим в ячейках  А2:В13 таблицу значений производительности труда и уровня рентабельности

уровень рентабельности	производительность  труда
y	x
9,3	133
9,2	139
9,5	126
9,6	160
9,1	123
9	132
9,2	133
9,5	131
9,8	158
9	127

2. Выберем команду  Сервис-Анализ данных, в диалоговом  окне выберем инструмент Корреляция. В поле «Входной интервал» введем диапазон ячеек с исходными данными А3:В13, установим флажок «Метки в первой строке» (поскольку выделены и заголовки столбцов), установим переключатель «новый рабочий лист». Из полученной матрицы коэффициентов видно, что зависимая переменная Y имеет достаточно тесную связь с фактором Х (0,69571).

	y	x
y	1
x	0,69571	1

     Проведем  регрессионный анализ.

     В диалоговом  окне Анализ данных выберем  инструмент Регрессия. В поле  «Входной интервал Y» введем диапазон ячеек, характеризующих уровень рентабельности (А3:А13). В поле «Входной интервал Х» введем диапазон ячеек, характеризующих производительность (В3:В13). Установим переключатель «новый рабочий лист». В результате сформировался лист ВЫВОД ИТОГОВ, в котором будут представлены:

Коэффициент корреляции R= 0,695709752531414

Коэффициент детерминированности R²= 0,484012059767322

Критерий Фишера F = 7,50423832850144

Остаточная и регрессионная  сумма квадратов – столбец SS

Коэффициенты уравнения  регрессии (столбец Коэффициенты)

Стандартные ошибки

t-статистика.

    Кроме Пакета  анализа можно воспользоваться  стандартными функциями из категории  «статистические». Приведем функцию  ЛИНЕЙН для расчета уравнения  регрессии и дополнительной статистики  по регрессии для исходного  набора данных «=ЛИНЕЙН(А4:А13;В4:В13;1;1)

В результате получим  таблицу

m	b
0,014659	7,323457
0,005351	0,731725
0,484012	0,205696
7,504238	8
0,317512	0,338488

где в первой строке жирным шрифтом выделены коэффициенты уравнения  регрессии, ниже – коэффициент детерминированности и критерий Фишера. Таким образом уравнение регрессии связывающее уровень рентабельности с производительностью труда, имеет вид:

 

у=0,0146х+7,32

 

 
3. Задача 3.

     Определение оптимального ассортимента трикотажной фабрики методами линейного программирования.

    Трикотажная фабрика предлагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин. Исходные данные приведены в таблицах 3,3.1.

Таблица 3.

Артикулы полотна	Величина выработки в т.р. при выработке 1 т полотна на машине		Фактическая производительность в  кг/час машины
	Текстима	Кокетт	Текстима	Кокетт
150	13,40	13,46	2,42	3,76
90	7,06	7,17	4,08	7,66

 

 Таблица 3.1,(вариант №3)

Машины	Фонд рабочего времени, (маш/час)
Текстима	8608
Кокетт	5642

 

     Решение:

     1)Составим  экономико-математическую модель  задачи.

    Введём следующие  обозначения:

х₁ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Текстима (т);

х₂ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Текстима (т);

х₃ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Кокетт (т);

х₄ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Кокетт (т);

     Составим  целевую функцию, выражающую прибыль,  получаемую от выпуска всей  продукции:

L_(x) = 13,4 х₁ +7,06 х₂ + 13,46 х₃ + 7,17 х₄ → max

     Составим  ограничение на фонд машинного  времени имеющегося оборудования:

- для машины Текстима 1000х₁/2,42 + 1000х₂/4,08 ≤ 8608

- для машины Кокетт 1000х₃/3,76 + 1000х₄/7,66 ≤ 5642

    Так как неизвестные выражают выпуск продукции, то х₁, х₂,х₃,х₄  ≥ 0

     Преобразуем  ограничения – неравенства в  равенстве путём ввведения дополнительных  неизвестных х₅ и х₆ , выполнив соответствующие арифметические операции.

 

L_(x) = 13,4 х₁ +7,06 х₂ + 13,46 х₃ + 7,17х₄ + х₅ + х₆→ max

     ограничения:

413,22 х₁ + 245,09х₂ + х₅ ≤ 8608                  (1)

265,96х₃ + 130,55х₄ + х₆  ≤ 5642

х₁, х₂,х₃,х₄ , х₅, х₆, ≥ 0

     В результате получим математическую модель, представляющую общие задачи программирования.

     Решим задачу  симплекс-методом. Этапы задачи  оформим в виде симплекс таблиц 3.2-3.5.

Таблица 3.2.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х5	413,22	245,09	0	0	1	0	8606
х6	0	0	265,96	130,54	0	1	5642
−L	13,4	7,06	13,46	7,17	0	0	0

Таблица 3.3.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х5	413,22	245,09	0	0	1	0	8606
х3	0	0	1	0,49	0	0,004	21,21
−L	13,4	7,06	0	0,57	0	-0,5	-285,49

Таблица 3.4.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х5	1	0,59	0	0	0,002	0	20,83
х2	0	0	1	0,49	0	0,004	21,21
−L	0	-0,85	0	0,57	0,027	-0,05	-564,61

Таблица 3.5.

Базисн. Неизв. Вв	х1	х2	х3	х4	х5	х6	свободный член
х1	1	0,59	0	0	0,002	0	20,83
х4	0	0	2,04	1	0	0,08	43,29
−L	0	-0,85	-1,16	0	-0,027	-0,05	-589,29