Контрольная работа по "Экономико- математические методы и ПМ"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

(Финуниверситет)

Омский филиал Финуниверситета

 

 

 

 

Факультет      Финансово- кредитный

 

Кафедра      Математики и информатики

 

по дисциплине     Экономико- математические    

              

методы и ПМ

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Вариант №4

 

 

 

 

 

Студент (Ф.И.О.)      Киселева Ксения Владимировна

 

№ личного дела      10ФФБ01224

 

курс        3

 

специальность      Финансы и кредит

 

форма обучения      Вечер

 

 

Руководитель      Мещериков Виталий                                                  

 

Александрович

 

Омск – 2012

 

Задача 1.

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации.

1.4. На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед.  На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять  каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

Решение.

 

1. Таблица на основе условия задачи:

 

Параметры	Кукуруза	Соя	Ограничения
Сев/уборка (ден.ед.)	200	100	60000
Объем (ц)	30	60	21000
Ограничение по площади (га)	1	1	400
Стоимость (ден.ед.)	3	6

 

 

 

Пусть х₁ гектаров нужно засеять кукурузы, х₂ – сои.

Первое ограничение  задачи – по площади –  имеет вид:   х₁+ х₂ ≤ 400, т.к. у фермера всего имеется 400 га земли. 

Второе ограничение  – по общим затратам на сев и  уборку: 200х₁+100х₂ ≤ 60 000, т.к. фермер получил на расходы ссуду в 60 тыс. ден.

Третье ограничение  – по объему собранного зерна: 30х₁+60х₂ ≤ 21 000, т.к. вместимость склада составляет 21 тыс. центнеров.

Прибыль фермера: 30х₁∙3+60х₂∙6 = 90x₁+120x₂ (ден. ед.)

Построим  экономико-математическую модель задачи:

max f(X) = 90x₁+120x₂

х₁+ х₂ ≤ 400

200х₁+100х₂ ≤ 60 000

30х₁+60х₂ ≤ 21 000

x_1,2 ³ 0

Это задача линейного программирования с двумя переменными, а значит ее можно решить графическим методом.

Последнее ограничение  – прямое, означает, что область  решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Остальные три – функциональные ограничения.

1. Определим область допустимых решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x₁+x₂=400. Построим прямую a по двум точкам (0;400) и (400;0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных.

Область решений  строгого неравенства — одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство x₁+x₂≤400, получим 0 ≤ 400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом построим области решения  двух других неравенств

200x₁+100x₂=60 000

2 x₁+ x₂ = 600

x₁ = 0, x₂ = 600

x₁ = 300, x₂ = 0

По точкам (0;600), (300;0) построим прямую b.

200х₁+100х₂ ≤ 60 000 при x₁ = x₂ = 0;

0 ≤ 60 000  выполняется, берется левая полуплоскость.

30x₁+60х₂=21 000

x₁ = 0, x₂ = 350

x₁ = 700, x₂ = 0

По точкам (0;350) и (700;0) построим прямую c.

30х₁+60х₂ ≤ 21 000 при x₁ = x₂ = 0;

0 ≤ 21 000 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Выделим общую  область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки C, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой:

x₁+x₂=400,         x₁ = 200; x₂ = 200

2 x₁+ x₂ = 600.

Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: А(0;350), В(100;300), С(200;200), D(300;0), О(0;0).

2. Построим вектор-градиент  , координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. =(90;120). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90;120) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении.

3. Приравняем целевую функцию постоянной величине а:

90x₁+120x₂ = а.

Это уравнение  является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x₁+120x₂ = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как при x₁ = 4   x₂ = -3, то в качестве второй точки возьмем точку E(4;-3).

Через эти  две точки проведем линию уровня f(Х)= 90x₁+120x₂ = 0.

В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

Решение исходной ЗЛП:

Вычислим  значение целевой функции в точке  B (100;300):

f(Х)= 90x₁+120x₂=90∙100 + 120∙300 = 45000.

max f(Х) =45000,  достигается при x₁ = 100, x₂=300.

Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 100 га земли кукурузой, 300 га – соей. При этом прибыль составит 45 000  ден. ед.

Если поставить задачу минимизации функции f(Х) = 90x₁+120x₂ при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О(0;0). Это означает, что фермер не получит ни чего, если не засеет поле зерновыми культурами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

2.4 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

Для изготовления трех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие			Запасы сырья
	А	Б	В
I	4	2	1	180
II	3	1	2	210
III	1	2	3	244
Цена изделия	10	14	12

Требуется:

1. Сформулировать прямую  оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную  задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого;
• оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение.                                            

1. Обозначим через  х_j , j=1,3 - объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум прибыли»:

max f(X) = 10x₁+14x₂+12x₃

4x₁+2x₂+x₃ ≤ 180

3x₁+x₂+2x₃ ≤ 210

x₁+2x₂+3x₃ ≤ 244

х_j ≥ 0, j=1,3

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Найдем оптимальный  план задачи с помощью надстройки Excel Поиск решения.

1) Для задачи подготовим форму для ввода условий (см. рис. 1)

Рис. 1. Введена форма  для ввода данных.

 

2) В нашей задаче  оптимальные значения вектора  Х=(Х₁, Х₂, Х₃) будут помещены в ячейках С3:E3, оптимальное значение целевой функции – в ячейке F4.

3) Введем исходные  данные в созданную форму. Получим результат, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Данные введены.

 

4) Введем зависимость  для целевой функции (обозначим  через М1 следующее действие  – «один щелчок левой кнопкой  мыши»):

• Курсор в F4.
• Курсор на кнопку Мастер функций.
• М1. На экране диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.
• Курсор в окно Категория на категорию Математические.
• М1
• Курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ.
• М1.
• В массив 1 ввести (адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, чьи адреса следует ввести) С$3:E$3.
• В массив 2 ввести С$4:E$4.
• Готово. На экране: в F4 введена функция, как показано на рис. 3.

 

  Рис. 3. Вводится функция  для вычисления целевой функции.

 

5) Введем зависимость  для левых частей ограничений:

• Курсор в D7: СУММПРОИЗВ(С3:E3;A7:C7).
• Курсор в D8: СУММПРОИЗВ(С3:E3;A8:C8).
• Курсор в D9: СУММПРОИЗВ(С3:E3;A9:C9).

На этом ввод зависимостей закончен.

 

Запуск Поиска решения

После выбора команд СервисÞПоиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.

6) Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

• Курсор в поле «Установить целевую ячейку».
• Ввести адрес $F$4.
• Ввести направление целевой функции: Максимальному значению.

Ввести адрес искомых  переменных:

• Курсор в поле «Изменяя ячейки».
• Ввести адреса $C$3:$E$3.

7) Ввод ограничений.

• Курсор в поле «Добавить». Появится диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 4).

 

          Рис. 4. Ввод правых и левых частей  ограничений.

 

• В поле «Ссылка на ячейку» ввести адрес $D$7.
• Ввести знак ограничения <=.
• Курсор в правое окно.
• Ввести адрес $F$7.
• Добавить. На экране опять диалоговое окно Добавление ограничения.
• Ввести второе ограничение.
• Добавить. На экране опять диалоговое окно Добавление ограничения.
• Ввести третье  ограничение ОК.

На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 5).

8) Ввод параметров  для решения ЗЛП (рис. 6.).

• Открыть окно Параметры поиска решения.
• Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.
• Установить флажок Неотрицательные значения.
• ОК. (На экране диалоговое окно Поиска решения).
• Выполнить. (На экране диалоговое окно Результаты поиска решения – рис. 7).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. Введены все  условия для решения задачи.

 

Рис. 6. Ввод параметров.

 

Рис. 7. Решение.

Полученное решение означает, что максимум функции равен 1420, при Х₁=0, Х₂=74 и Х₃=32.

 

Проверим, как удовлетворяется  система функциональных ограничений  оптимальным планом X* = (x₁ = 0, x₂ = 74, х₃ = 32):

4*0+2*74+1*32 = 180 = 180

3*0+1*74+2*32 = 138 < 210 (*)

1*0+2*74+3*32 = 244 = 244

Значение целевой функции  на этом плане равно

f(X^*) = 10*0+14*74+12*32 = 1420

 

2. Двойственная задача  имеет вид:

min g(Y) = 180y₁+210y₂+244y₃

4y₁+3y₂+y₃ ≥ 10

2y₁+y₂+2у₃ ≥ 14

y₁+2y₂+3y₃ ≥ 12

y_1,2,3 ≥ 0.

Для нахождения оценок y₁, у₂, у₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то у₂^* = 0. Так как :х₂ > 0 и х₃ > 0, то:

2y₁^*+y₂^*+2y₃^* = 14

y₁^*+2y₂^*+3y₃^* = 12.

Итак, для получения  двойственных оценок имеем систему  линейных уравнений:

у₂^* = 0

2y₁^*+y₂^*+2y₃^* = 14

y₁^*+2y₂^*+3y₃^* = 12.

т.е. у₁^* = 4,5; y₂^* = 0; y₃^* = 2,5.

Вычислим значение целевой  функции двойственной задачи:

g(Y^*) = 180*4,5+210*0+244*2,5 = 1420, т.е. f(X*) = g(Y*) = 1420

По первой теореме  двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

 

3. Нулевое значение  переменной х₁ в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода сырья на изготовление одного изделия этого вида высокие.

 

4. Двойственные оценки  отражают сравнительную дефицитность  различных видов ресурсов в  отношении принятого в задаче  показателя эффективности. Оценки  показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В примере недефицитным ресурсом является II тип сырья, поскольку у₂= 0.

Острее ощущается дефицитность ресурса I тип сырья (у₁ = 4,5) - он более дефицитен, чем ресурс III тип сырья (у₃ = 2,5).

 

Предположим, что запасы сырья I вида увеличили на 4 ед., т. е. теперь они составляют 180 + 4 = 184 единиц, и запасы сырья III вида увеличили на 4 ед., т. е. теперь они составляют 244 + 4 = 248 единиц. Из теоремы об оценках Δf(X) = y_i • Δb_i, известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f(X). Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i, значения переменных y_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Пределы уменьшения (нижняя граница) определяются по тем x_k (k = 1,..., т), для которых соответствующие d_ki >0:

Δb_i^(-) = min{x_k/d_ki} для d_ki > 0 (1)

Пределы увеличения (верхняя  граница) определяются по тем x_k, для которых    d_ki < 0:

Δb_i⁽⁺⁾ =| max{x_k/d_ki} | для d_ki < 0 (2)

Определим интервалы  устойчивости двойственных оценок в примере. Матрица А имеет вид:

4    2     1

A =     3     1    2

1    2    3

После приведения задачи к канонической форме матрица  А примет следующий вид:

4    2     1    1    0    0

A =     3     1     2    0    1    0

1    2     3    0    0    1

С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли x₂* = 74, x₃* = 32 и х₅* = 72 (из (*) 210-138=72), следовательно, матрица А* будет составлена из второго, третьего и пятого столбцов матрицы А:

2      1     0

A* =     1      2     1

2      3     0

Для вычисления интервалов устойчивости необходимо найти матрицу D = А*^-1 (обратную матрицу матрицы А*):

3/4    0    -1/4

D =     -1/2    0     1/2

1/4    1    -3/4

При вычислении интервалов устойчивости по формулам (1) и (2) примем

х₂* = 74 = x_k=1, х₃* = 32 = x_k=2 и х₅^* = 72 = х_k=3.

Интервалы устойчивости первого ресурса — «запасы  сырья I типа»:

Δb₁^(-) = min{x₁/d₁₁, x₃/d₃₁} = 74:3/4 = 296/3

Δb₁⁽⁺⁾ = | max{x₂/d₂₁} | = | 32:(-1/2) | = | -64 | = 64

b₁ = {b₁ - Δb₁^(-) ; b₁ + Δb₁⁽⁺⁾} = {180 – 296/3; 180+64} = {244/3; 244}.

При изменении запасов  сырья I типа в пределах от 244/3 до 244 единиц двойственная оценка его не изменится.

Интервалы устойчивости второго ресурса — «запасы  сырья II типа»: этот ресурс в оптимальном плане используется не полностью и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости; нижняя граница определяется следующим образом:

Δb₂^(-) = min{x₃/d₃₂} = 72:1 = 72

b₂ = {b₂ – Δb₂^(-) ; b₂ + Δb₂⁽⁺⁾ } = {210-72;210} = {138; 210}.

Интервалы устойчивости третьего ресурса — «запасы сырья III типа»:

Δb₃^(-) = min{x₂/d₂₃} = 74:1/2 = 148

Δb₃⁽⁺⁾ = |mах{x₁/d₁₃, x₃/d₃₃}| = | mах{-74:1/4, -72:3/4}| = |-96| = 96

b₃ = {b₃ – Δb₃^(-) ; b₃ + Δb₃⁽⁺⁾} = {244-148; 244+96} = {96; 340}.

В нашем примере определим  величину изменения объема прибыли от реализации продукции при увеличении запасов I и III типа сырья на 4 ед. каждого. Эти изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок (244/3<184<244; 96<248<340), поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках:

Δf(X) = 4·4,5+4·2,5 = 28

Объем стоимости выпускаемой  продукции увеличится на 28 единиц.

Такой же ответ мы получили бы, если бы решили симплексным методом  задачу с новыми ограничениями по запасам сырья I и III типа. Новый оптимальный план:    Х*=(0, 76, 32, 0, 70, 0)

f(X) = 0*10+76*14+32*12 = 1448,

Δf(X) = 1448-1420 = 28

Структурных сдвигов  в программе не произошло, но значения переменных в плане изменились. Значение целевой функции при новых  ограничениях увеличится на 28 единиц.

 

Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если Δ _j = ∑ a_ij y_i^* - c_j ≤ 0 - выгодно,

если Δ _j > 0 – невыгодно.

Определим целесообразность включения в план изделия «Г»  ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья соответственно.

Δ ₄ = 1*4,5 + 3*0 + 2*2,5– 13 = -3,5 < 0, т.е. включение в план изделия «Г» ценой 13 ед. выгодно.

Определим целесообразность включения в план изделия «Д»  ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого  вида сырья.

Δ ₅ = 2*4,5 + 2*0 + 2*2,5 – 12 = 2 > 0, т.е. включение в план изделия «Д» ценой 12 ед. нецелесообразно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

3.4. Промышленная группа  предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом  каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске  продукции одного вида: первое  предприятие специализируется на  выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность  технологической матрицы A=(аij) (матрицы  коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить  таблицу)  производства и распределения  продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1

Вариант	Для первой строки				Для второй строки					Для третьей строки
№	1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В		2В	3В	4В
4	0,1	0,0	0,1	100	0,1	0,0	0,2	300	0,2		0,1	0,0	160

 

Таблица 2

 

Предприятие	Коэффициенты прямых затрат аi j			Конечный продукт Y
	1	2	3
1 2 3	0,1 0,1 0,2	0,0 0,0 0,1	0,1 0,2 0,0	100 300 160

 

 

Решение:

Для определения общего (валового) выпуска продукции первого, второго и третьего видов воспользуемся  моделью Леонтьева в виде

Определяем матрицу-разность :

 

С помощью функции  МОБР Мастера функций Excel найдем обратную матрицу:

 

 

Делаем вывод о продуктивности матрицы А, поскольку матрица (Е–А) неотрицательно обратима. Значит, мы можем найти матрицу-столбец объёмов валовой продукции Х в соответствии с моделью Леонтьева.

С помощью функции  МУМНОЖ Мастера функций Excel найдем матрицу  Х как произведение матриц В и У:

 

Таким образом, общие  объёмы производства продукции цехов: х₁= 135,8885; х₂ = 358,1882; x₃=222,9965

Распределение продукции  между предприятиями холдинга на внутреннее потребление определяем из соотношения:

,т.е. 

 Х₁₁=0,1*135,8885=13,58885;

 X₁₂=0,0*358,1882=0;

 X₁₃=0,1*222,9965=22,2997;

 X₂₁=0,1*135,8885=13,5889;

 X₂₂=0,0*358,1882=0;

 X₂₃=0,2*222,9965=44,5993;

 X₃₁=0,2*135,8885=27,1777;

 X₃₂=0,1*358,1882=35,8188;

 X₃₃=0,0*222,9965=0

 

 

В итоге плановая модель – баланс производства и распределения  продукции холдинга будет иметь  следующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

4.4 Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.