Контрольная работа по "Экономико-математические методы и модели"

Московский  Киновидеоинститут (филиал Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения). 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

Студентки 3 курса факультета экономики и  управления

на  предприятиях культуры и искусства

Мамадалиевой Лолиты Алишеровны

Учебная дисциплина: экономико-математические методы и модели

Вариант 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Проверил: кандидат технических наук,

профессор Мацнев Анатолий Петрович 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2010 г.

Оглавление:

1. Теоретический раздел.

  1.1.Общие понятия моделирования и определение модели.

  1.2.Постановка задач оптимизации.

2. Графическое решение задачи распределения ресурсов.
3. Задача линейного программирования (транспортная задача).
4. Список использованной литературы

1. Теоретический раздел.

1.1. Общие понятия моделирования и определение модели

Моделирование в научных исследованиях стало  применяться еще в глубокой древности  и постепенно захватывало все  новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство  и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание  практически во всех отраслях современной  науки принес методу моделирования  ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных  сферах человеческой деятельности и  имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами  получения знаний.

Модель - это  такой материальный или мысленно представляемый объект, который в  процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале 

Под моделирование  понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно  связано с такими категориями, как  абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно  включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и  конструирование научных гипотез.

Главная особенность  моделирования в том, что это  метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь  ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает  интересующий его объект. Именно эта  особенность метода моделирования  определяет специфические формы  использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов  познания.

Необходимость использования метода моделирования  определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать  или вовсе невозможно, или же это  исследование требует много времени  и средств.

Процесс моделирования  включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую  отношения познающего субъекта и  познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.  

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого  объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому  любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого  следует, что для одного объекта  может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих  внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих  объект с разной степенью детализации.

На втором этапе  процесса моделирования модель выступает  как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно  изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом  этого этапа является множество  знаний о модели R.

На третьем  этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о  модели должны быть скорректированы  с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или  были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с  модели на оригинал, если этот результат  необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с  помощью моделей знаний и их использование  для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания  сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается  не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда  происходит объединение и обобщение  результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств  познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом  объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого  цикла моделирования, обусловленные  малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить  в последующих циклах. В методологии  моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.  
 
 
 
 

Важное место  отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и  моделям прогнозирования конъюнктуры  рынка и определения цен, моделям  и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:

1) выбор некоторого  числа переменных величин для  формализации модели объекта;

2) информационную  базу данных объекта;

3) выражение  взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;

4) выбор критерия  эффективности и выражение его  в виде математического соотношения  - целевой функции.

Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать  экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить  математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции  на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения  и переменные. 

Содержанием любой  экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение  является экономическим. Описание экономических  условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает  связи и зависимости между  экономическими параметрами или  величинами.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в  характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость  между показателями и определяющими  их факторами в виде линейной и  нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений  состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или  неравенствами.

Целевая функция  связывает между собой различные  величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому  целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция - функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

Критерии оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через  другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности  могут соответствовать несколько  разных, но эквивалентных целевых  функций. Модели с одной и той  же системой ограничений могут иметь  различные критерии оптимальности  и различные целевые функции.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который  удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти  единственное, удовлетворяющее системе  ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой  функции, называется оптимальным. Среди  допустимых планов, удовлетворяющих  целевой функции, как правило, имеется  единственный план, для которого целевая  функция и критерий оптимальности  имеют максимальное или минимальное  значение. Если модель задачи имеет  множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой  функции одинаково.

Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный  план достигается в крайней точке  области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные  значения целевой функции, а для  линейных моделей экстремальных  планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.

Таким образом, для принятия оптимального решения  любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в  себе систему ограничений, целевую  функцию, критерий оптимальности и  решение.

Методика построения экономико-математической модели состоит  в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и  другие обозначения.

Все условия  задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые  могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции  на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям. 
 
 
 
 
 

1.2. Постановка задач оптимизации

В общем виде задача оптимизации, или задача определения  экстремума, ставится следующим образом.

Пусть заданы:

функция f(X), определенная на множестве R^N ;

множество D R^N.

Найти точку Y = (y₁, y₂,..., y_N) D, в которой функция f (X) достигает экстремального (минимального или максимального) значения, т.е.

f(X) = extr f(X) и Y D.

Функция f(X) называется целевой функцией, переменные X - управляемыми переменными, D - допустимым множеством и любой набор значений Y управляемых переменных, принадлежащий D (Y D), - допустимым решением задачи оптимизации.

Понятно, что  искомая точка Y, в которой f(X) достигает своего экстремума, должна принадлежать пересечению области определения O функции f(X) и допустимого множества D (Y O D). Если множества O и D совпадают со всем пространством R^N (O = D = R^N), то такая задача называется задачей на безусловный экстремум. Если хотя бы одно из множеств O или D является собственным подмножеством пространства R^N (O R^N , D R^N) или множества O и D пересекаются (O D ), то такая задача называется задачей на условный экстремум, в противном случае (O D = ) точка экстремума Y не существует. Подчеркнем один частный случай: если множества O и D пересекаются в одной точке Y, то эта точка Y является единственным допустимым решением.

Обычно в задаче условного экстремума задается не само допустимое множество решений D, а  система соотношений, его определяющая,

_j (x_1, х _2, х _N) (=, ) 0, j = 1, 2, … М,

т.е.

D = X: j (X) (=, ) 0, j = 1, 2, ... , M R^N,

или множество D может одновременно задаваться как  в явном виде, т.е. допустимое решение  Х должно принадлежать некоторой  области P R^N, так и системой ограничений. 
 
 
 
 
 
 
 
 

II. Графическое решение задачи распределения ресурсов. 
 

Решение:

X1 и Х2 – план при выпуске продукции каждого вида.

1. Составим математическую модель вида:

3Х₁ + 4Х₂ ≤ 35,

5Х₁ + 6Х₂ ≤ 54,

5Х₁ + 3Х₂ ≤ 45,

Х₁ ≥ 0, Х₂ ≥ 0. 

Математическая модель представляет собой систему линейных неравенств. Значит область допустимых решений (ОДР) представляет собой выпуклый многоугольник. 
 

2. Для удобства построения системы неравенств, представим их в форме , аналогичной уравнению в отрезках:

Х₁/11,7 +  Х₂/8,75 ≤ 1,

Х₁/10,8 + Х₂/9 ≤ 1,

Х₁/9 + Х₂/15 ≤ 1. 

Построим первую прямую по двум точкам : (0; 8,7) и (11,7; 0). На рисунке (1.1) обозначим её цифрой I. Вторая прямая (II.) проходит через точки (0; 9) и (10,8; 0). Третья – (0; 15) и

(9; 0) – на рисунке цифра III. 
 
 
 
 
 
 

3. Заштрихуем  общую область для всех неравенств, обозначим вершины многоугольника латинскими буквами и определим  их координаты, решая систему уравнений  двух пересекающихся соответствующих  прямых.

Например, определим  координаты т.А . Эта точка является пересечением I. и II. прямых:   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Т.А с координатами : Х1=3, Х2= 6,5. 

Определим координаты т.В – пересечение II. и III. Прямых:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Т.В – с координатами: Х1=7,2 и Х2=3. 
 
 

4. Найдем оптимальное  решение в смысле максимизации суммарного выпуска.

Тогда целевая  функция:

F= Х₁ + Х₂, где F → max. [ f = C₁Х₁ + С₂Х₂ ; С₁=1, С₂ = 1]

Эту зависимость  представим в виде Х₂=F –X₁.

Допустим, что F = 0,

 Х₁ + Х₂ = 0,

 Х₁ = - Х₂.

Построим данную прямую f = Х₁ + Х₂ = 0. Если её перемещать параллельно самой себе в направлении, указанном стрелками, то мы увидим, что оптимальным решением для максимизации суммарного выпуска будут координаты т.В., т.е. при Х₁=7,2 и Х₂=3. 

5. Теперь найдем оптимальное решение для целевой  функции – F= 4Х₁ + 7Х₂ → max. (максимум прибыли).

 Для начала , построим линию уровня –C₁Х₁ +C₂Х₂ = const. В нашем случае приравняем целевую функцию постоянной величине а. Пусть а = 0.

 Вычислим координаты  двух точек, удовлетворяющих соответствующему  уравнению 4Х₁ + 7Х₂ = 0. В качестве  одной из этих точек удобно  взять т.О (0 ; 0), и вторую т.(7 ; -4). Через эти две точки проведем линию уровня.

Для определения  направления движения к оптимуму построим вектор-градиент – ς.

Передвигая линию  параллельно самой себе в сторону  вектора, мы видим, что она пересекает ОДР последний раз в т.В (7,2; 3). Значит в ней достигается максимальное значение функции цели. 

      Следовательно , для получения максимальной прибыли при наших ограничениях мы должны выпустить 7 единиц - первого вида продукции (Х1) и 3 единицы - второго вида продукции (Х2).

Подставив эти  значения в функцию цели F=4Х₁ + 7Х₂, то получим ,что максимальная прибыль равна 49. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

III.Транспортная задача. 

Решение:

1. Первоначальное закрепление потребителей за поставщиками.

Рассмотрим метод наименьших стоимостей для получения начального распределения

( начального опорного  плана). 

Число занятых клеток равно m+n-1=4+5-1=8. 

Метод наименьших стоимостей (таблица 1.2.)

Метод наименьших стоимостей прост, он позволяет построить опорное  решение, близкое к оптимальному.

Выбирают клетку таблицы, которой соответствует  минимальное значение тарифа. В выбранную  клетку помещают максимально возможное  число единиц продукции, разрешенное  ограничениями на поставку и потребление.

Поставщик исключается  из рассмотрения, если его запасы использованы полностью.

Потребитель исключается  из рассмотрения, если его запросы  удовлетворены полностью. 

Таблица 1.2.

Суммарные затраты  на перевозки, представленные в таблице 1.2.,составляю:

f(X)=

Данный план перевозок  близок к оптимальному. 
 
 
 

2. Проверка  оптимальности полученного  плана перевозок.

Рассмотрим процесс  нахождения потенциалов для базисного  начального распределения. Для этого  введем в таблицу столбец Ui (потенциал поставщиков) и строку Vj (потенциал потребителей). Соотношение этих величин определяется следующим уравнением :

Vi+ Ui+Cij . Исходя из этого, уравнения составим таблицу 1.3. 

Таблица 1.3.

Чтобы оценить оптимальность  распределения, для всех клеток матрицы  перевозок определяются их оценки по уравнению dij= (Ui +Cij) – Vj.

Оценки клеток удобно представить в виде матрицы оценок. Для нашего рассматриваемого распределения, полученного методом наименьших стоимостей  (см.таблицу 1.3.), матрица оценок клеток получает вид:

dij=  
 
 

Матрица оценок в нашем плане не имеет отрицательных значений, следовательно, не имеется возможности улучшить этот план перевозок (и прибегать к циклу перераспределения). Значит наш конечный план оптимален . 

Суммарные затраты  по оптимальному плану равны ____. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

IV. Список использованной литературы

1. А.П.Мацнев, А.А.Якушин. Экономико-математические методы  и модели. Учебное пособие.2006 г.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов /Под ред.В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001.