Контрольная работа по "Общей теории статистики". 6

Министерство образования  Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Уральский государственный  экономический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по

Общей теории статистики

 

Вариант 1

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка гр. ФК-10

Щербакова М.Е

                               Руководитель:    Белобородова  С.С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 1

Показатель	Базисный год	Отчетный год
		Договорные обязательства	Фактические обязательства
Объем производства готовых изделий, ед.	568	583	574

1. Относительная величина планового задания:

583÷568 = 1,03 ≈ 103%

В соответствии с базисным годом  предприятие планировало увеличить  объем производства на 3%;

2. Выполнение договорных обязательств

574÷583 = 0,98 ≈ 98%

Но предприятие  не смогло выполнить  обязательства на 2 %;

3. Динамика производства

574÷568 = 1,01≈ 101%

По сравнению  с базисным годом  в отчетном году предприятие увеличило  объем производства на  1 %.

Задание № 2

 

По  филиалам  фирмы, выпускающим  одноименную  продукцию, имеется  следующая  информация:

№  филиала	Общий  расход материала  на  выпуск  продукции, м2	Произведено изделий, шт.	Расход  ткани  на  одно изделие, м2	Удельный  вес  выпускающей  продукции, в  %  к итогу
А	1	2	3	4
1	1200	750	1,6	45,4
2	1700	1000	1,7	54,6

Определить средний по  фирме  расход  ткани  на  одно  изделие, используя  информацию:

гр. 1 и 2; гр. 1 и 3; гр. 2 и 3; гр. 3 и 4.

 

1) так  как  в  этом  случае  известен    общий   расход  материала  на  выпуск  изделий  и   объем производства, целесообразно  использовать  формулу  средней  арифметической  простой:

 

  1200+1700 = 2900 = 1,66 м²

   750+1000     1750

2)  так  как  в  этом  случае известны   частота,  вес признака  (общий  расход  ткани на выпуск продукции)  и   величина, для  которой   определяется  средняя, целесообразно   использовать формулу средней   гармонической  взвешенной:

 

1200+1700  = 2900 =  1,66 м²

1200 + 1700     1750

1,6        1,7

3) при  использовании данных  гр. 2  и 3 целесообразно  использовать  формулу   средней  арифметической  взвешенной, где  в  качестве  частот  (весов)  будет  выступать  объем производства  изделий

 

 750*1,6+1000*1,7 =  1200+1700 =  2900 =  1,66 м²

     750+1000 1750         1750

4) при использовании данных гр. 3  и 4 целесообразно также   использовать формулу средней  арифметической  взвешенной, где   в  качестве  частот  (весов)  будет  выступать удельный   вес  выпускающей  продукции

δ = 1,6*45,4+1,7*54,6 = 72,64+92,82  =   1,66м²

         45,4+54,6                      100

Вывод

  средний   расход  ткани на  одно  изделие  при  любом  способе  определения  составляет  1,66 м².

Задание № 3

Группы предприятий по стоимости  основных средств, млрд.руб.	Число предприятий	Х|	x’f	х’- ¯х	|х’-¯х|f	|х’- ¯х|	|х -¯х|f
До 1	12	0.5	6	2,5	30	6,25	75
1-2	22	1.5	33	1,5	33	2,25	49,5
2-3 Мо, Ме	30	2.5	75	0,5	15	0,25	7,5
3-4	14	3.5	49	0,5	7	0,25	3,5
4-5	12	4.5	54	1,5	18	2,25	27
5 и выше	10	5.5	55	2,5	25	6,25	62,5
Итого:	100	не∑	272	не∑	128	не∑	225

 

1. А)  Средняя стоимость основных средств:

Х₁=(0+1)÷2 = 0,5 K = 1

Х₂ =(1+2)÷2=1,5

Х₃=(2+3)÷2=2,5

Х₄=(3+4)÷2=3,5

Х₅=(4+5)÷2=4,5

Х₆=(5+6)÷2=5,5

 

x₁^’f = 12*0.5 = 6 Х^- = 272÷100=2,72≈3 млрд.руб

x₂^’f = 22*1.5 = 33

x₄^’f = 30*2.5 = 75

x₄^’f = 14*3.5 = 49

x₅^’f = 12*4.5 = 54 

x₆^’f = 10*5.5 = 55

 

         Б)   Мода  и медиана:

        Мода = Х₀ +k*     f₀-f_-1               ;

                              ((f₀-f_-1)+( f₀-f₊₁))

Х₀ – нижняя граница модального интервала;

k  - шаг модального интервала;

f₀=f_max

f_-1 – частота стоящая перед f₀

f₊₁ – частота стоящая после f₀

 

2+1*         (30-22)      = 0,9999≈1 млрд.руб.

        ((30-22)+(30-14))   

 

При средней  стоимости О.С 3 млрд.руб , чаще всего встречаются предприятия со  стоимостью  О.С 1 млрд.руб.

Медиана = Х₀ +k*  ∑f /2*∑f_(m-1)  ;

                                          f_m

Х₀ – нижняя граница медианного интервала;

k – шаг медианного интервала ;

∑f /2– полсуммы частот ;

∑f_(m-1)  - сумма частот накопленных до медианного интервала - КУМУЛЯТОР

 

2+1*   (0,5*100-34) = 1,6 млрд.руб.

                    30

Средняя стоимость основных средств  на 1 предприятие  3 млрд.руб. при этом на большинстве предприятии средняя  стоимость 1 млрд.руб.(М_о). Половина предприятий имеет основные средства со стоимостью 1,6 млрд.руб и менее, а другая половина  1,6 млрд.руб и более.

 

2. А) Размах вариации

R = X_max - X_min

5,5-0,5 = 5 млрд.руб.

 

Б) Среднее линейное отклонение

d_пр = ∑|х^’- ¯х|      ;  d_вз = ∑|х^’- ¯х| f     ;

                 n ∑f

d_пр = 0,5-3=2,5

         1,5-3=1,5

         2,5-3=0,5

         3,5-3=0,5

         4,5-3=1,5

         5,5-3=2,5

  

d_вз = 2,5*12=30

         1,5*22=33

         0,5*30=15

         0,5*14=7

         1,5*12=18

         2,5*10=25

 

   d = 128/100 = 1,28 ≈1,3 млдр.руб.             

 

              В) Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

 

δ²_пр = ∑|х- ¯х|      ; δ² _вз = ∑|х- ¯х| f     ;

                 n                   ∑f

 

 

  δ²_пр = (2.5)² = 6.25

   (1.5)² =2.25

   (0.5)² =0.25

   (0.5)² =0.25

                           (1.5)² =2.25

                           (2.5)² =6.25

                δ² _вз = (2.5)² *12 = 75

             (1.5)²*22 =49.5

             (0.5)2*30 =7.5

             (0.5)²*14 =3.5

                           (1.5)²*12 =27

                           (2.5)² *10=62.5

           

                   δ² = 225/100 = 2.25 млрд.руб.

                  δ_пр = √ δ²    = √ ∑|х- ¯х|      ;                             δ_вз = √ δ² = √ ∑|х- ¯х| f     ;

                                                 n                                                                            ∑f

 

                δ = √2.25 = 1.5 млрд.руб. 

 

               Г) Коэффициент вариации

                         V_δ = (δ÷x¯)*100% = (1.5÷3)*100 = 50%

Вывод

При средней  стоимости О.С. 3 млрд.руб. размах вариации по средней стоимости О.С. составляет  5 млрд.руб. среднее отклонение от средней  стоимости О.С.  составляет 1,3 млрд. руб.

δ = 1,5 млрд.руб.

К_δ = 50 % его значение больше теоритически допустимого значения попавшего под наблюдение предприятий по стоимости О.С. не однородны и все полученные результаты нельзя рассматривать на других предприятиях. 

3.

                 А)Вероятность ошибки установим 0,954, соответственно уровень  коэффициента

 доверия составит  2.

 

∆ = 2* √225/100*(1-(100/2000)) = 2,92

В результате  расчетов  имеем:

3-2,92 £ х £ 3+2,92

0,08 £ х £ 5,92

Доля   предприятий   со  стоимостью  основных средств  5 млрд. руб. и выше  составляет

ω = 10/100 = 0,1 или 10%.

Предельная ошибка доли при бесповторном отборе определяется по формуле:

  

∆р = 2* √0,1*(1-0,1)*(1-100)  = 0.058

                          100          2000

В  результате  расчетов  доля  ссуд заемщиков  находится в пределах:

0.1-0.058 £ р £ 0.1+0.058

0.042 £ р £ 0.158

                  Б) Для  определения  ожидаемой  суммы  налога  на  имущество   определим  общий  размер  основных средств  предприятий  в  генеральной   совокупности:

3*2000 = 6000 млрд. руб.

Ожидаемая сумма налога  на  имущество  составляет:

6000*2/100 = 120 млрд. руб.

Таким  образом,  средний  размер  основных фондов  предприятий  с  вероятностью в  0,954 колеблется в пределах от 0,08 млрд. руб. до  5,92 млрд. руб.  При этом  доля  предприятий, имеющих размер основных средств  свыше 5 млрд. руб. колеблется  в пределах от  0,042 до  0,158.

Ожидаемая сумма  налога  на  имущество  составляет  120 млрд. руб.

Задание № 4

Объем услуг населению по району характеризуется следующими  данными:

Месяц	Объем  услуг, тыс. р.
Январь	21,0
Февраль	21,8
Март	22,0
Апрель	22,4
Май	22,5

Определить:

1. Цепные  и базисные:

а) абсолютные  приросты;

б)   темпы  роста  и  прироста.

2. Абсолютное   содержание   одного  процента  прироста

3. Среднемесячный объем  услуг   за  период.

4. Среднегодовой  абсолютный  прирост

5. Среднегодовые   темпы  роста   и  прироста.

6. Предполагая, что выявленная  закономерность сохранится и  в дальнейшем, спрогнозировать объем  услуг  за первое  полугодие,  используя  в  качестве  закономерности:

а)  среднегодовой  прирост;

б)  среднегодовой  темп  роста;

в)  трендовую модель по уравнению  прямой.

 

1.  Для определения указанных показателей используем следующие  формулы:

Абсолютный  прирост 

- цепной Dх= х_n-х_n-1

- базисный  Dх= х_n-х₁

Темп  роста   определяется  по  формуле:

- цепной 

- базисный 

Для  расчета  темпов  роста  используют  формулы:

Тпр   = Тр – 100.

2) Абсолютное  содержание 1%  прироста  определяется  по формуле:

А = х_n-1 /100

Показатель	январь	февраль	март	апрель	май
Объем  услуг, тыс. р.	21,0	21,8	22,0	22,4	22,5
Темп роста  цепной, %	-	21,8/21,0*100 = 103,81	22,0/21,8*100 = 100,92	22,4/22,0*100 = 101,82	22,5/22,4*100 = 100,45
Темп  прироста  цепной, %	-	103,81-100 = 3,81	100,92-100 = 0,92	101,82-100 = 1,82	100,45-100 = 0,45
Темп  роста  базисный, %	100,0	21,8/21,0*100 = 103,81	22,0/21,0*100 = 104,76	22,4/21,0*100 = 106,67	22,5/21,0*100 = 107,14
Темп прироста  базисный, %	0,00	103,81-100 = 3,81	104,76-100 = 4,76	106,67-100 = 6,67	107,14-100 = 7,14
Абсолютный  прирост цепной, тыс. р.	-	21,8-21,0 = 0,8	22,0-21,8 = 0,2	22,4-22,0 =0,4	22,5-22,4 =0,1
Абсолютный при-рост базисный, тыс. р.	-	21,8-21,0 = 0,8	22,0-21,0 = 1,0	22,4-21,0 = 1,4	22,5-21,0 = 1,5
Абсолютное  содержание  1%  прироста, тыс. р.	-	21,0/100 = 0,21	21,8/100=0,218	22,0/100 = 0,22	22,4/100 = 0,224

Проведем  расчет   этих показателей.  расчеты  представлены  в  таблице

 

3) Среднемесячный объем услуг  определим по формуле средней   арифметической  простой:

(21,0+21,8+22,0+22,4+22,5)/ 5 = 21,94 тыс. р.

4) Для  определения  средних  темпов  роста   используем  формулу

= √(22,5/21,0)*100 = 107,14

5) Средний  темп  прироста  Тпр_ср = 107,14-100 = 7,14%

6) Средний  абсолютный  прирост   определим  по формуле:

Dх_ср = (х_n – х₁)/ (n-1)  = (22,5-21,0)/ (5-1) = 0,375 тыс. р.

 

7)  Для определения  прогноза  объема  услуг  за  1 полугодие   необходимо  спрогнозировать   объем  услуг  на июнь  месяц

а)  При  прогнозировании  объема  поставок  с  использованием  среднего  абсолютного  прироста  используем формулу:

 июнь -х_n+1 = x_n + Dх_ср =  22,5+0,375 = 22,875 тыс. р.

Итого прогноз на первое полугодие 21,0+21,8+22,0+22,4+22,5+22,875 = 132,575 тыс. р.

б) при прогнозировании с использованием средних темпов роста  используем  формулу:

июнь  - х_n+1 = х_v * Т_ср /100  = 22,5*107,14/100 = 24,11  тыс. р.

Итого прогноз на  первое  полугодие  21,0+21,8+22,0+22,4+22,5+22,875 = 132,575  тыс. р.

в) при прогнозировании  с  использованием   трендовой  модели  используем формулу:

х_n+1 = a+bt,

где a, b  -  коэффициенты,  определяемые  по  системе уравнений:

Sх = an+ bSt

Sxt = aSt+bSt²

Для    расчетов  составим  таблицу

 

Период,  n	Объем  услуг, х	t	xt	t2
январь	21,0	1	21,0	1
февраль	21,8	2	43,6	4
март	22,0	3	66,0	9
апрель	22,4	4	89,6	16
май	22,5	5	112,5	25
n = 5	109,7	15	332,7	55

 

109,7 = 5а +15b

332,7 = 15а +55b

a = 21,94- 3b

332,7 = 15*(21,94-3b) +55b

332,7 = 329,1 - 45b+55b

b =0, 36

а = 21,94-3*0,36 = 20,86

модель примет  вид

х_n+1 = 20,86+0,36t

июнь х_n+1 = 20,86+0,36*6 = 23,02  тыс. р.

Итого прогноз на первое  полугодие  21,0+21,8+22,0+22,4+22,5+23,02 = 132,9  тыс. р.

 

Вывод

  При  исследовании  объема  услуг населению  можно  отметить, что   в  целом   же  наблюдается  тенденция   роста  объема  поставок  в   среднем  за  месяц на  0,375 тыс. р.  или 7,14%. При этом  отмечается  последовательный  рост  объема  услуг по  месяцам.  Среднемесячный  объем  услуг  составил 21,94 тыс. р.

При проведении прогнозирования объема услуг с  использованием  среднего абсолютного  прироста прогноз на первое  полугодие  составит 132,575 тыс. р., с  использованием  среднего  темпа  роста – 132,575 тыс. р.,  с использованием  трендовой модели – 132,9 тыс. р.

Задание № 5

 

Среднесписочная  численность  работников  фирмы  составила:

 На  01.01. – 532 чел., на  01.02. –  548 чел., на  01.03 – 551  чел., на  01.04. – 548  чел.

Вычислить  среднюю численность  сотрудников: 1)  за  каждый   месяц  квартала; 2)   за  квартал  (двумя  способами)

 

1. При  определении  средней  численности  сотрудников   используем  формулу  средней  арифметической  простой:

Январь х = (532+548)/2 = 540 чел.

Февраль х = (548+551)/ 2 = 550 чел.

Март х = (551+548)/2 = 549 чел.

 

2.   при определении средней численности работников можно  использовать  данные о  средней численности  по  месяцам. В  этом  случае  используем  формулу  средней  арифметической  простой

х_ср = (540+550+549)/3 = 546 чел.

 

1. Также  можно  использовать  формулу  средней  хронологической:

Х_ср =

 

(532/2+548+551+548/2)/4-1 = (266+548+551+274)/3 = 546 чел.

Вывод:

Таким  образом,  среднесписочная  численность  работников  фирмы  составила  в  целом  за  квартал 546  чел., в том  числе  в  январе – 540 чел.,  феврале – 550 чел. и марте -  549 чел.

Задание № 6

 

Распределение  предприятий  по  источникам средств   для  их покупки   характеризуется  следующими  данными:

Источники  средств	Зарождающийся  бизнес	Зрелый  бизнес	Итого
Банковский  кредит	31 (a)	32 (b)	63 (a+b)
Собственные  средства	38 (c)	15 (d)	53 (c+d)
Итого	69 (a+c)	47 (b+d)	116

 

Вычислить  коэффициенты  ассоциации и  контингенции. Какие  выводы   можно сделать  на  основании  значений  этих коэффициентов?

 

Для  расчета  коэффициентов  используем  формулы:

- коэффициент контингенции:

= = = 0,51

- коэффициент ассоциации

= -0,45

Вывод:

Для  объема  совокупности  от  30 единиц  и  выше   связь можно  считать  значимой, если величина этих коэффициентов  не меньше 0,5 и 0,3 соответственно. В  нашем  случае   они  составляют  0,51 и -0,45, что  говорит  о  низкой связи между стадией развития бизнеса и структурой источников  финансирования.

Задание № 7

 

Капитал коммерческих банков характеризуется  следующими  данными, представленными  в таблице.  Определить показатели тесноты  связи  между  размером  собственного  капитала банков  и  привлеченными  средствами, исчислив   коэффициент детерминации  и  эмпирическое  корреляционное  отношение.

Собственный  капитал, млн. р.	Число  банков	Средний  размер привлеченных средств, млн. р.	Дисперсия  привлеченных средств
30-40	8	100	400
40-50	10	180	2500
50-60	2	200	3600

 

Для  определения  корреляционного  отношения  используем  формулу:

где δ² -  межгрупповая  дисперсия;

     σ² -  общая дисперсия.

Межгрупповая  дисперсия  определяется по  формуле:

где - частная  средняя по  i-й   группе (средний размер  привлеченных средств по  группе  банков);

     -  общая  средняя по  совокупности  единиц (средний   размер привлеченных средств по всем  банкам).

Общая  дисперсия  определяется  по формуле:

σ² = δ² +

где   - средняя  из внутригрупповых дисперсий определяется  по  формуле   средней арифметической  взвешенной.

= = 1790.

Для  определения  используем  формулу средней  арифметической  взвешенной

= = = 150 млн. р.

Межгрупповая  дисперсия  будет  равна

= 1700

Общая  дисперсия  составляет:

σ² = 1790+1700 = 3490

Эмпирическое  корреляционное  соотношение  составляет:

= 0,70

Вывод

Величина корреляционного  отношения   будет  равно  0,  когда  нет  колеблемости  в величине  средних  по выделенным признакам. В нашем же  случае  значение  показателя  составляет 0,7, что говорит о наличии достаточно  высокой зависимости между размером  собственного  капитала  коммерческого   банка и размером  привлеченных средств.

Коэффициент  детерминации  равен

r  = = 0,70² = 0,49 или 49%,

это  говорит  о  том, что  49%   клиентов  банка  при размещении  собственных  средств  на  счетах банка  обращают  внимание  на  величину  его  собственного  капитала  и отдают предпочтение  более  крупным  банкам.

Задание № 8

 

Имеются следующие данные о реализации фруктов в городе:

Наименование товара	Август		Сентябрь		Товарооборот		Условный товарооборот p0q1
	Цена  1 кг, р.  p0	Продано, т.  q0	Цена  1 кг, р.  p1	Продано, т.   q1	Август P0q0	Сентябрь P1q1
Яблоки	40	36	35	40	1440	1400	1600
Виноград	56	44	50	52	2464	2600	2912
Персики	65	18	80	9	1170	720	585
Итого	-	-	-	-	5074	4720	5097

 

Определить:

1. Индивидуальные индексы цены и физического объема продажи;
2. Общие индексы цены и физического объема реализации;
3. Общий индекс товарооборота и его взаимосвязь с индексами цены и физического объема;

 

1. Определим индивидуальные  индексы цен по каждому товару отдельно

I_p= p₁/p₀;

а)  Яблоки : I_p = 35/40 = 0,875, или 87,5%, т.е. цена на яблоки в сентябре по сравнению с августом снизилась на 12,5 %

б) Виноград : I_p= 50/56 = 0,892 или 89,2% т.е. цена на виноград в сентябре по сравнению с августом снизилась на 10,8%

в) Персики: I_p = 80/65 = 1,231 или 123,1% т.е. цена на персики в сентябре по сравнению с августом выросла на 23,1%

 

1. Определим индивидуальные индексы физического объема реализации

I_q=q₁/q₀ ;

               а)  Яблоки : I_q = 40/36 = 1,111 или 111,1%, т.е. объем продаж яблок в сентябре по  сравнению с августом  вырос на 11,1 %

б) Виноград : I_q  = 52/44 = 1,181 или 118,1%т.е. объем продаж винограда в              сентябре   по сравнению с августом вырос на 18,1%

в) Персики: I_q = 9/18 = 0,5 или 50 %т.е. объем продаж персиков  в сентябре по сравнению с августом упал на 50%

 

2. Определим общий индекс цены

I_p = ∑p₁*q₁

        ∑p₀*q₁

4720/5097 = 0.92 =92%

1. Определим общий индекс физического объема реализации

I_p = ∑q₁*p₀

        ∑q₀*p₀

5097/5074 = 1.004 = 100.4%

 

3.  индекс  товарооборота

I_pq= ∑p₁*q₁

        ∑p₀*q₀

 

4720/5074 = 0.93 = 93%

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург 

2011