Контрольная работа по «Риски в страховании»

Минобрнауки России

Федеральное государственное образовательное  учреждение высшего проффессионального образования

Нижегородский государственный педагогический университет

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по предмету «Риски в  страховании»

 

 

 

 

 

Выполнил : Минина Е. Е.

Группа : ФЗ 08- 1

Принял : Лаврентьев В.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижний Новгород

2013

Оглавление :

1 Риски в страховании 3

2 Формализация рисковых ситуаций ( описание с помощью теории  вероятности и математической  статистики) 6

3 Методы анализа рисковых видов  страхования 8

4 Математический аппарат применяемый  для определения рисковых ситуаций 9

5 Определение риска числа выплат  по страховому портфелю 10

6 Модель индивидуального риска 16

7 Пример индивидуального риска 19

Список литературы 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Риски в страховании  . Основные положения и определения 

Понятие "риск" означает опасность неблагоприятного исхода на одно ожидаемое явление. Это  гипотетическая возможность наступления  ущерба. Всякий конкретный риск, например риск пожара, представляет собой только возможность наступления определенного  неблагоприятного события (например, возгорания застрахованных построек). Риск — объективное  явление в любой сфере человеческой деятельности и проявляется как  множество отдельных обособленных рисков.

Сущность риска может быть рассмотрена  в различных аспектах. Точное измерение  риска возможно математическим путем  с применением теории вероятностей и закона больших чисел. По своей  сущности риск является событием с  отрицательными, особо невыгодными  экономическими последствиями, которые, возможно, наступят в будущем в  какой-то момент в неизвестных размерах. Существует точка зрения, согласно которой о риске можно говорить только тогда, когда имеется отклонение между плановым и фактическим  результатами. Данное отклонение может  быть либо положительным, либо отрицательным. Отрицательное — имеет место  при неблагоприятном результате, положительное — возникает, если фактический результат благоприятнее, чем ожидалось.Возможность отрицательного отклонения между плановым и фактическим результатами, т.е. опасность неблагоприятного исхода на одно ожидаемое явление, называется риском. Возможность положительного отклонения при исходных заданных параметрах на одно ожидаемое явление носит название «шанс». В этом смысле можно говорить о риске ущерба или шансе на прибыль, где ущерб выражен в отрицательном, а прибыль — в положительном отклонении между плановым и фактическим результатами.

 

 

Итак :Риск – это нечто, что может произойти при определенных условиях, а может и не произойти, т.е. риск – это гипотетическая возможность наступления ущерба.

Риск – это отклонение фактических результатов от плановых . При этом отклонения могут быть положительными и отрицательными, т.е. они величины случайные. Реализация отрицательного отклонения является неблагоприятным событием. Опасность или возможность неблагоприятного исхода является риском.

Как правило  такая возможность количественно  выражается вероятностью 0≤g(A)≤1

А –событие ,заключающееся в результате опыта наступает неблагоприятный исход.

Риск в страховании следует  рассматривать в нескольких аспектах:

- как конкретное явление или совокупность явлений (событие или совокупность событий), при наступлении которых производятся выплаты из ранее образованного централизованного страхового фонда в натурально-вещественной или де нежной форме;

- в связи с конкретным застрахованным объектом. Событие или совокупность событий не рассматриваются абстрактно, сами по себе. Их следует соотносить с объектом, принятым на страхование, где реализуется риск. Любой риск имеет конкретный объект проявления. В нашем сознании риск связывается с этим объектом. По отношению к объекту соответственно проявляются и изучаются факторы риска. Анализ полученной информации в комплексе с другими мероприятиями позволяет добиться предотвращения или существенного снижения негативных последствий осуществления (реализации) риска;

- риск сопряжен с вероятностью гибели или повреждения данного объекта, принятого на страхование. Вероятность выступает в качестве меры объективной возможности наступления данного события или совокупности событий, обладающих вредоносным воздействием. Любая вероятность может быть выражена правильной дробью. При вероятности, равной нулю, можно утверждать о невозможности наступления данного события. При вероятности, равной единице, существует 100%-ная гарантия того, что данное событие произойдет. Чем меньше вероятность риска, тем легче и дешевле можно организовать его страхование. Значительная вероятность риска предполагает дорогостоящую страховую защиту, что затрудняет ее проведение.

Страховое событие не является объектом страхования. Этим объектом выступает риск, который  может произойти, а может и  не произойти. Следовательно, риск —  это случайное событие, которое  наступает вопреки воле человека. Риск реализуется посредством случайных  событий или явлений, по поводу которых  возникает страховое отношение.

Виды рисков и их оценка.

Риск может  быть страховым и не страховым.

Страховой риск - это риск, который может быть оценен с точки зрения вероятности наступления страхового случая и количественных размеров возможного ущерба.

Основные свойства, совокупность которых  позволяет считать риск страховым:

1) риск, включаемый  в объем ответственности страховщика,  должен быть возможным;

2) риск должен  носить случайный характер как  по времени и пространству  страхового случая, так и возможному  размеру страхового ущерба;

3) наступление  страхового случая (реализация риска)  не должно быть связано с  волеизъявлением страхователя или  иного заинтересованного лица (спекулятивные  риски не страхуются);

4) страховое  событие не должно иметь размеры  катастрофического бедствия, т.е.  не должно охватывать массу  объектов в рамках крупной  страховой совокупности, причиняя  массовый ущерб;

5)  масштабы  вредоносных последствий должны  быть достаточно крупными и  затрагивать интересы страхователя;

6) возможность расчета вероятности наступления страхового случая.

Остальные риски не страховые.

 

2 Формализация рисковых ситуаций ( описание с помощью теории вероятности и математической статистики)

Для определения вероятности реализации риска описывается различными способами в формате изучаемой дисциплины мы будем пользоваться методами  математической статистики , которая изучает поведение случайных величин. Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее.

Невозможность предсказать результат отличает с л у ч а й н о е  явление отд е т е р м  и н и р о в а н н  о г о. Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если A — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n(A)/ n экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n, приближаясь к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию A произойти.

Случайная величина количественно характеризует случайные события с различными вариантами, т.е. событие может быть одно. А вариантов этого события несколько.(Х,Y,Z,F)

Эти варианты обозначаются простыми латинскими буквами  А(x1, х2,х3….хn)

Событие А  характеризует риск несчастного  случая

Х1 –перелом  ноги с тяжестью ущерба в в ден.ед.

Х2 – перелом  ноги в ден.ед.

Случайной называется величина которая в результате опыта(ситуации) принимает различное значение, причем заранее неизвестно какое именно.

 

Формулой  это определяется так:

P(A)= m/n

где m – число элементарных исходов, благоприятных событию A;

n – число всех возможных элементарных исходов.

Из определения вероятности  вытекают следующие свойства:

а) вероятность достоверного события  равна единице;

б) вероятность невозможного события  равна нулю;

в) вероятность случайного события  есть положительное число, заключенное

между нулем и единицей;

г) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

 

Случайные величины делятся на :

- дискретные

- непрерывные

Дискретной называется случайная величина результаты которой до опыта неизвестны (величины отличаются друг от друга на целую (1) называемую дискретой)(0,1,2,3)

Вероятность полной группы  = 1, т.е.

х- (1)

= 1 (2)

Случайная величина Х считается заданной , если она  имеет не только множество значений но и вероятностей появления этих значений.

Пример :

n-100 человек(личное страхование от несчастного случая);P(A)q(A) = 0.01;

m = 1

X{	X	X1=0	X2= 1	Xn=100	}
	P(X)	P1=0.01		Pn=0.0001

 

 

В страховании  дискретная случайная величина характеризует  число наступивших страховых  событий.

Hепрерывной называется случайная величина, значение которой до опыта также неизвестны и эти значения непрерывно заполняют весь интервал с определенной плотностью. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

В страховании  непрерывная случайная величина   характеризует тяжесть ущерба (как  правило в ден.ед.) при  наступлении страхового события.

 

 

 

3 Методы анализа рисковых видов  страхования 

Рассмотрим  способы, которые могут быть применены  для построения кривых вероятностей возникновения потерь. В настоящее  время наиболее распространенными  являются следующие методы анализа  рисков:

 

- статистический;

- экспертных оценок;

- аналитический;

- оценки финансовой устойчивости и платежеспособности;

- оценки целесообразности затрат;

- анализ последствий накопления риска;

- метод использования аналогов;

- комбинированный метод.

 

 

4 Математический аппарат применяемый для определения рисковых ситуаций

 

В теории вероятности и во многих ее приложениях  большое значение имеют различные  числовые характеристики случайных  величин.

Основными статистическими  характеристиками  вероятности  являются следующие  показатели:

М(Х)- математическое ожидание( характеризует среднее взвешенное значение случайной величины, Физический смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной в приблизительных расчетах или оценках.

D(X ) - дисперсия (разброс) Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона значений.

σ = √D(X) – среднеквадратическое отклонение СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Кv = (σ/M(x))* 100% - коэффициент вариации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Таблица № 1

 

Дискретные случайные величины	Непрерывные случайные величины
Математическое ожидание или среднее  арифметическое
Среднее арифметисеское: = - если вероятности не заданы Математическое ожидание : M(x) = - если вероятности заданы	M(x) = f(x) – плотность вероятности dx – переменная интегрирования
Дисперсия (разброс значения от точки  ожидания)
=   D(x) = i	D(x) =
Среднеквадратичное отклонение –  как корень квадратный из дисперсии
= =   = =i	= = f(x)dx

 

Пример № 1

Случайная величина колличество наступивших  страховых событий задана таблично . Колличество значений n= 5;

Xi
P(x)	0.01	0.2	0.5	0.2	0.05	0.04

 

X – - число наступивших случаев

Найти

M(x) =

М(Х) =(0*0,01) +(1*0,2)+ (2*0,5) + (3*0,2) + (4*0,05)+ (5*0,04) =2,2( 2)

D(x) = i

D(X) = *0.01 + *0.2 +*0.5 + *0.2+

+ *0.05 + *0.04 = 0.0484+ 0.288+ 0.02+ 0.128+ 0.162+ 0.3136 = 0.96

 

= = = 0.98 Вставить рисунок

5 Определение риска числа выплат по страховому портфелю (колличествао наступивших страх событий)построение гистограммы на основе биноминального закона

Под законом  распределения случайной величины  называется некое математическое действие ставящее в соответствии  значения случайных величин и вероятности  их появления.

Дискретная  случайная величина X имеет биноминальное распределение, если ее закон распределения описывается формулой Бернулли:

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

P(n;k) =

Где: - число сочетаний из n по k

q- заданный уровень вероятности

(1-q)- вероятность ненаступления

=

С помощью данного закона определяется вероятность конкретного числа  наступивших событий . По результатам  вычисления вероятностей строится график гистограмма распределения , по которой  определяется наибольший риск наступления  страховых событий и найденная  вероятность (расчетная) закладывается  в расчет неттоставки.

Нетто-ставка предназначена для формирования страхового фонда в его основной части, которая предназначена для страховых выплат в форме страхового возмещения и страхового обеспечения. Рассчитывается нетто-ставка исходя из вероятности нанесения страхователям ущерба.

Нагрузка к нетто-ставке составляет, как правило, меньшую часть брутто-ставки. Нагрузка к нетто-ставке включает три различных по назначению вида расходов, связанных со страховой деятельностью: административно-управленческие расходы, которые принято называть расходами на ведение дела; отчисления на предупредительные (превентивные) мероприятия; а также прибыль страховой компании

ПБ =

Тб= Тн +Но –брутто ставка

Тб=       Но- 30% - затраты на ведение дел

Тн = То + Тр

То= Р(А)*/ *100 (руб)

- средняя сумма  выплаты

- сумма по договору

Формула бернули как правило  используется при расчете нетто-ставок для новых страховых продуктов. В оперативных расчетах используется упрощенная теорема Муавра- Лапласа

Р(nk) = f(x) где :

n-число договоров

q- заранее установленный уровень вероятности наступления страхового события

р= 1-q

f(x)- плотность вероятности

х=

Пример 2 задача на на распределение  числовых выплат (  колличество наступивших  случаев ) по портфелю.

Предположим ,что число договоров  равно 150 (n= 150).,заданный уровень вероятности наступления страхового события q= 0.01. Построить гистограмму в диапазоне от 0 до 10

Р(nk) = f(x)   , х= ,     f(-x) = f(x)

Р(150;0) х0= = 1,23   р= 1-0,01 = 0,99

Р(nk)	x	f(x)
P(150.0)	X0 = 1.23	0.1872
P(150.1)	X1 = 1.22	0.1895
P(150.2)	X2 = 1.21	0.1919
P(150.3)	X3 = 1.2	0.1942
P(150.4)	X4 = 1.19	0.1965
P(150.5)	X5 = 1.19	0.1965
P(150.6)	X6 =1.18	0.1989
P(150.7)	X7 = 1.17	0.2012
P(150.8)	X8 = 1.16	0.1803
P(150.9)	X9 = 1.16	0.1803
P(150.10)	X10= 1.15	0.1826

Гистограмма распределения.

Вывод : по гистограмме определяем  максимальный риск числа выплат или  наступления страхового события.(max = P(150;7)

Определение вероятности( в фромулу нетто-ставки ) на основе экспоненциального закона. Определение  экспоненциального закона.

Тяжесть ущерба характеризуется непрерывными законами распределения 

- Равномерный закон распределения 

- Экспоненциальный закон распределения 

- Нормальный закон распределения

- Закон Вейбуля

Основным  законом распределения для определения  риска тяжести ущерба является экспоненциальный закон.

Определение : непрерывная случайная величина распределена по экспоненциальному  закону если ее плотность вероятности  f(x) имеет вид

f(x) =

λ-коэффициент формы кривой,  имеет экономический смыслобратный денежной единице т.е. λ =

е – основанеие натурального логарифма(

х – тяжесть ущерба(переменная)

F(x) =     F(x) = 1-

Каждый закон распределения  как ДВС так и НВС имеет  два параметра  и четыре статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия , среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации).

Исключения : для законов дискретных вместо параметров плотности вероятности  используются сама вероятность Р(А)

Статистические характеристики :

Экспоненциальный закон является уникальным законом где математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны между собой и будут равны.

 M(X) → E(X).   VAR(x).  k = *100

E(x) = = ;  VAR(x) =

 

 

 

6 Модель индивидуального риска

В модели предполагается деление рисков деление рисков в  соответствии с тем,  сколько раз  страховое событие может происходить  с одним объектом (страхователем) и следовательно сколько требований по возмещению может поступить по одному договору.

Различают два случая:

- страховое событие может произойти  с одним субъектом один раз  .

Типичным примером такого события  является смерть т.к. страховое событие  в этом случае может произойти  только один раз.

-страховое событие может произойти  более одного раза в пределах  одного договора( типичным примером  может послужить кража, авария, и т.д.)

 

Вывод: в  первом случае говорят об индивидуальном риске, во втором о коллективном.

Основные  предположения модели.

Будем рассматривать  портфель договоров страхования  имеющих одинаковую временную протяженность( равной единице времени 1 год) заключенных  в момент времени 0 и завершающихся  в момент времени 1.

Все договоры портфеля относятся к одному страховому событию.

Пусть:

1 число договоров в данном  портфеле фиксирована и неслучайна

2 риски клиентов независимы  между собой

3 плата за страховку вносится  страхователю полностью в начале  анализируемого периода (в момент 0)

4 распределение потерь(ущерба) для  всех договоров портфеля одинаковы

5 размер требования в случае  страхового события выплачивается  полностью и сразу (в момент  времени 1)

 В рамках  данной модели изучается состояние  активов страховых компаний к  моменту завершения действия  договора . а основная задача- расчет  фондов страхового возмещения.

Решение поставленной задачи даже в приближенных условиях обеспечивают финансовую устойчивость компании, а так же определения страхового взноса  по страховым рискам.

Основные  обозначения индивидуальной модели.

1 n – число договоров портфеля

2 - индекс( номер договора клиента)

3q – заранее (ретроспективно) установленная вероятность наступления страхового события

4 Nј – единица с вероятностью q

Nј=- индификатор страхового события для j-гоклиента

N – число договоров , по которым случился страховой случай

5 N= - общее число страховых событий (требования )в момент 1

6 Yj – возможность потери для j-го клиента

7Fyj – функция распределения потерь по договору

8  Y – ущерб потери,X - возмещение

9 U – размер основного страхового фонда или фонда возмещения

10 U0 – начальный страховой фонд, т.е. выполнять свои обязательства с вероятностью 0,5

            При изучении модели индивидуального риска пользуются не только экспоненциальным законом, но и нормальным законом.

           Основными задачами модели являются:

- ограничения обуславливающие  данный случай;

- расчет резерва страховых выплат (U);

- расчет сбалансированности (функции  устойчивости);

- размер страховой премии;

Выполнение  страховой компанией своих обязательств по требованиям о выплате с надежностью(Ɣ) (Ɣ- 0,8; 0,85; 0,9) можно обозначить следующей зависимостью:

P(U – X ≥ 0) = Ɣ – вероятность выполнения страховой компанией своих обязательств по страховому портфелю с надежностью Ɣ

Где

U – страховой фонд

Х – суммарное возмещение по страховому портфелю

Вероятность того что Х будет ≤ фтраховому фонду

  P(X≤U) = P( ≤)  = dx

dx- нормированная формула распределеня

f(x) = dx

Определение возмещения по индивидуальной модели

Y- ущерб;N- колличество страховых событий по договору

           X= Y*N

Но т.к. эти  величины случайные необходимо взять  их математическое ожидание EX

EX = EY*EN- математическое ожидание

Установим законы распределения для Y и для N

Для  N E(N) = nq

VARX = VARN*() + VARY*EN – дисперсия возмещения

          σ -   U≥ X – среднеквадратическое отклонение

= – путем решения интеграла по верхнему пределу ( тогда

U= * σ + EX

)* σ = L

L-фонд суммарной страховой нагрузки

U= L+EX

 

 

 

7 Пример индивидуального риска

Задача на индивидуальный риск

Пусть страховой  портфель состоит из 50 независимых  договоров (n= 40) . Потери по каждому договору имеют экспоненциальный характер с математическим ожиданием = 2 . А вероятность наступления страхового случая одинакова для всех договоров страхового портфеля q = 0.04. Требуемая надежность -0,95. Определить размер страхового фонда по формуле U= * σ + EX

По таблице  для надежности находим ) = 1,645

  Рещение

EY = = 2

EY= = , = 0,5

n = 40 . EN = 2 . EX = , =  VARX =    

Ex = nq

EY = = 2

Ex= 40*0.04*2 = 3.2 – среднее возмещение

 

VARX= VARN*EY + VARY*EN

VARX= nq(1-q) + (- )nq = 12.544

= = = 3.5

 

U= * σ + EX

U = 1.645*3.5 + 3.2 = 9 ден .ед.

 

 

 

 

Список литературы:

 

1 Страховая математика в примерах и задачах: Учебное пособие  Москва, 2007трахование /Сост. Бендина Н.В. – М., 2000

2 лекции  преподавателя

3 Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2005. – 880 с.

4 Мельников А.В. Риск-менеджмент: стохастический анализ рисков в экономике финансов и страховании – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Анкил, 2003 – 159 с.