Контрольная работа по "Статистической математике"

Вариант № 5 

Контрольная работа № 3 

1) А=  

 

 

 
 

 

2) P=0,0004 

 

 ф-ла Пуассона 

   

 

А).  

Б).

 
 

3) Проверим, соответствует ли задача условиям биноминального эксперимента.

1. Эксперимент может быть описан как последовательность четырех идентичных испытаний – по одному испытанию для каждого из четырех саженцев.
2. Два исхода – саженец прижился (успех) или не прижился (неуспех) – возможны для каждого отдельного испытания.
3. Вероятность прижиться для каждого отдельного саженца равна 0,6, вероятность гибели равна 0,4.
4. Гибель саженца не зависит от гибели других саженцев.

       Следовательно случайная величина распределена по биноминальному закону. Параметры распределения  n =4, p = 0,6, q = 0,4.

       Закон распределения

Р(Х = т) =

0,6^m0,4^4-m

т =0, 1, 2, 3, 4. 

       Математическое  ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа испытаний n на постоянную вероятность успеха p в каждом отдельном испытании

М(Х)=пр = 4*0,6 = 2,4

а ее дисперсия

D(X)=npq = 4*0,6*0,4 = 0,096

       Среднее квадратическое отклонение

s(Х) =

= = 0,310

       Функция распределения

F(x) =

 
 

       4) Находи p_i из условия =1, имеем 0,3+ p₂ = 1, получаем p₂ = 0,7. Аналогично =1, имеем 0,1 + 0,4 + p₃ = 1, получаем p₃ = 0,5.

       Окончательно: 

 
 

       Запишем закон распределения случайной  величины 2X.

 

       Закон распределения случайной величины Y+3.

 

       Для удобства нахождения всех значений Z = 2X(Y+3) и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения Z=2X(Y+3), а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин X и Y.

 

       В результате получим распределение

 

       Убеждаемся  в том, что условие  =1 выполнено. 

       Вычислим  математические ожидания случайных  величин.

        =-1×0,3 +4×0,7 = 2,5

       M(Y) = -2×0,3 + 0×0.4+4×0,7 = 1,3

       M(Z) = -2×0,3 + 0×0.4+4×0,7 = 21,5

       Проверяем свойство M[2X(Y+3)] = 2 M(X) M(Y) + 6M(X)

       21,5 = 2×2,5×1,3 + 6×2,5. Получили верное равенство. 
 

5) а) При x£0,

F(x) = =0,

при 0<x£2

F(x) = + =0+ = ,

При x>2

F(x) = + + =0+ +0 = 1.

Окончательно  получаем

F(x) =

б) Математическое ожидание

M(X) = = = = .

Дисперсия

D(X) = M(X²) - (M(X))²

M(X²) = = = =2.

D(X) = 2- =

в) Вероятность  P(0<X<1) = F(1) – F(0) = - 0 = .

График функции  распределения.

График функции  плотности вероятности 

 
 

По формуле  P(X>A)£ , получаем P(X>6)£ = .

P(X£A)³1- , P(X£ )³1- = .

Определяем те же вероятности с помощью функции  распределения.

P(X>6)=1 – F(6) = 1 – 1 = 0

P(X£ ) = = .

Полученные  результаты не противоречат оценке, найденной  с помощью неравенства Маркова. Различие результатов объясняется  тем, что неравенство Маркова  дает лишь верхнюю или нижнюю границы  оценки вероятности искомого события для любой случайной величины, а функция распределения позволяет точно найти значение вероятности.

 

Контрольная работа № 4 
 

       1) Находим статистические характеристики ряда 

 

       Среднюю арифметическую вариационного ряда 

= = 5,78

       Дисперсию

s² =

= = 8,4716

       а) Имеем N = 2000, п = 100, т = 10 + 19 + 24 = 53 студента имеющих стаж работы менее шести лет. Выборочная доля таки студентов

w =

= = 0,53.

       Найдем  среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки для доли:

s'_w =

= = 0,04864.

       Теперь  находим искомую доверительную вероятность:

P(|w - p|£0,05) = Ф

= Ф(1,03) =0,6970

т.е. вероятность  того, что выборочная доля будет  отличаться от генеральной доли не более чем на 0,05 (по абсолютной величине), равна 0,6970.

       б) Имеем N = 2000, п = 100, = 5,78, s² = 8,4716.

       Найдем  среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки для средней:

» = = 0,2837

       Найдем  предельную ошибку бесповторной выборки  по формуле

D=t

 ,

в которой  t=2,97 (находим из условия, что Ф(t) = 0,997).

D= 2,57×0,2837 =0,843

       Искомый доверительный интервал

-D£ £ +D

5,78 - 0,843£

£5,78 + 0,843

4,937£

£ 6,623

       в) Учитывая, что Ф(t) = 0,9898 и t=2,57, Найдем объем бесповторной выборки

n¢ =

= = 75,83 » 76. 
 
 

2) Для строгой проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х применим критерий c2 Пирсона. Левый конец первого интервала примем равным -¥, а правый конец - равным +¥. Результаты вычислений с использованием формул

а = M(X)

n_i = np_i

сведены в табл.

 

В итоговой строке таблицы дано наблюденное значение критерия =2,35. Полагая a=0,05, из приложения находим =9,49. Здесь число степеней свободы n=к-2-1=7-2-1=4, так как оценивались два параметра а и s. Поскольку < , нет оснований отвергать гипотезу о распределении случайной величины Х по нормальному закону. 

 

3)

 

1. Для  каждого значения x_i таблицы вычислим групповые средние

=

Вычисленные групповые средние  поместим в последнем столбце корреляционной таблицы.

Аналогично  для каждого значения y_j по формуле

=

Вычислим  групповые средние  и поместим в нижнюю строку корреляционной таблицы. 

 
 

2. Вычислим  все необходимые суммы:

= 2475

= 67825

= 3210

= 115300

=72625

Затем находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:

  = 24,75; = = 32,1;

= - 24,75² = 65,6875; = - 32,1² = 122,59;

m = - 24,75×32,1 = -68,225;

b_yx = = -1,0386; b_xy = = -0,5565

Итак, уравнение  регрессии

y_x - 32,1 = -1,0386(x - 24,75) или y_x =-1,0386x + 57,81

x_y - 24,75 = -0,5565(y - 32,1) или x_y = -0,5565y + 42.61. 

Из первого  уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении средней месячной надбавки на 1% количество работников получающих ее уменьшается 1,0386 человека. Второе уравнение регрессии X по Y показывает, что при увеличении количества работников на 1 человека среднемесячная надбавка уменьшается на 0,5565%. 

Вычислим  коэффициент корреляции

r=±

=- = -0,760

берем радикал со знаком минус, так как коэффициенты b_yx и b_xy отрицательны).

Статистика  критерия

t =

= = -11,58 

Для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k = 100-2=98 находим критическое значение статистики t_0,95;98 = 1,98. Поскольку êtê> t_0,95;98, коэффициент корреляции между Y и X значимо отличается от нуля.

Итак  связь между рассматриваемыми переменными  обратная и достаточно тесная (ибо  r близок к 1).

Используя уравнение x_y = -0,5565y + 42.61, получаем , что средняя месячная надбавка к заработной плате при числе работников предприятия 46 человек равна 17,01%.