Контрольная работа по "Статистики". 8

Введение

             В современном обществе статистика стала одним из важнейших инструментов управления народным хозяйством. Она собирает информацию, характеризующую развитие экономики страны, культуры и жизненного уровня народа. С помощью статистической методологии вся полученная информация обобщается, анализируется и в результате дает возможность увидеть стройную систему взаимосвязей в экономике, яркую картину и динамику развития, позволяет делать международные сопоставления.  
Современную статистическую науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного обобщения.  
Выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской работе и в международных сравнениях и сопоставления социально-экономических явлений.

Значение графического метода в анализе и обобщении данных велико. Графическое изображение прежде всего позволяет осуществить контроль достоверности статистических показателей, так как, представленные на графике, они более ярко показывают имеющиеся неточности, связанные либо с наличием ошибок наблюдения, либо с сущностью изучаемого явления. С помощью графического изображения возможны изучение закономерностей развития явления, установление существующих взаимосвязей. Простое сопоставление данных не всегда дает возможность уловить наличие причинных зависимостей, в то же время их графическое изображение способствует выявлению причинных связей, в особенности в случаях установления первоначальных гипотез, подлежащих затем дальнейшей разработке. Графики также широко используются для изучения структуры влияний, их изменения во времени и размещения в пространстве. В них более выразительно проявляются сравниваемые характеристики и отчетливо видны основные тенденции развития и взаимосвязи, присущие изучаемому явлению или процессу.

По результатам 80 пусков ракет определены расстояния (в км) до точек падения. Результаты оформлены в следующуюю статистическую совокупность:

50,26	50,30	50,29	50,41	50,35	50,31	50,42
50,37	50,34	50,44	50,36	50,33	50,30	50,34
50,38	50,39	50,35	50,35	50,29	50,35	50,41
50,43	50,30	50,32	50,38	50,44	50,40	50,33
50,37	50,34	50,36	50,30	50,33	50,31	50,37
50,33	50,36	50,32	50,34	50,31	50,36	50,34
50,32	50,28	50,41	50,38	50,42	50,33	50,30
50,39	50,34	50,39	50,32	50,35	50,34	50,34
50,33	50,37	50,35	50,28	50,27	50,35
50,34	50,33	50,36	50,44	50,35	50,31
50,33	50,30	50,31	50,36	50,37	50,34
50,40	50,36	50,32	50,43	50,37	50,40

1. Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами и начертить гистограмму.

 

     Результаты рассматриваемых n опытов представляют собой  последовательность x1, x2, … , xn действительных чисел, которая называется  выборкой объема n. Такова практическая трактовка выборки. Каждое xi (i=1, 2, …, n) называется вариантой (элементом выборки, наблюденным значением, значением признака).

     Полученные в результате n опытов наблюдаемые значения x1, x2 xn представляют собой выборку из всей совокупности значений, которые может принимать интересующая нас величина Х. Принято говорить, что мы имеем дело с набором значений, соответствующим некоторой выборке из генеральной совокупности. Рассматриваемая выборка должна обладать свойством репрезентативности (представительности), то есть быть такой, чтобы по ее данным можно было получить правильное представление об всей генеральной совокупности в целом. Будет рассматриваемая выборка репрезентативной или нет – это зависит от способа отбора.  
     При большом числе наблюдений (n ≥ 20) выборка перестает быть удобной формой записи – она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Поэтому первичные данные (выборка) нуждаются в обработке, которая всегда начинается с их группировки.    

 Построение интервального вариационного  ряда распределения включает  следующие этапы: 
Интервальный вариационный ряд

Номер интервала	1	2	…	j	…	(q<n)
Границы интервала (aj-1;aj)	(a0;a1)	(a1;a2)	…	(aj-1;aj)	…	(aq-1;aq)
Средняя точка интервала	a1	a2		aj		aq
Частота интервала mj	m1	m2	…	mj	…	mq
Относительная частота wj	w1	w2	…	wj	…	wq

Шкала интервалов непрерывного признака A = (а0, a1, …, aj, …aq) характеризуется следующими вычисляемыми параметрами:

• наибольшее (xmax) и наименьшее (xmin) значения признака;
• оптимальное значение величины интервала h, которое позволяет выявить характерные особенности (закономерности) рассматриваемого явления при минимальном количестве интервалов q, (q<n);
• величина a0 - начало (нижняя граница) первого интервала;
• величина aj - конец (верхняя граница) j-го интервала, которая одновременно определяет начало (j+1)-го интервала.

Наибольшему (xmax) и наименьшему (xmin) значениям признака в ранжированном "по возрастанию значения" ряде соответствуют значения первого и последнего элементов ряда "Значения признака".

1. Определение среди имеющихся наблюдений минимального хmin и максимального хmax значений  признака. В данном примере это будут хmin = 50,26 и хmax = 50,44 
2. Определение размаха варьирования признака R = хmax – х min = 0,18

Определение числа групп k=1+3,32 lg n, k= 1+3,32*lg80=7,32

Где, k- число групп;

n - численность, совокупность.

Так как число групп целое, следовательно рекомендуется построить 8 групп.

4. Определение длины интервала по формуле Стерджеса 
     ,

где n – объем выборки. h=0,18/8=0,0225

 

      5. Определение граничных значений интервалов (аi – bi). За нижнюю границу первого интервала рекомендуется брать величину, равную

а1 = хmin – h/2.

     Верхняя граница первого интервала b1 = a1 + h. Тогда, если bi – верхняя граница i-го интервала (причем аi+1 = bi), то b 2 = a2 + h, b3 = a3 + h и т.д. Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет равно или больше хmax. 
    

	ai			bi
	50,248			50,272
	50,272			50,297
	50,297			50,321
	50,321			50,346
	50,346			50,371
	50,371			50,395
	50,395			50,420
	50,420			50,444
Номер интервала		левые	правые		середина интервала xi		интервальная Частота	Интегральная часность pj
1		50,248	50,272		50,260		1	0,01
2		50,272	50,297		50,285		4	0,06
3		50,297	50,321		50,309		16	0,27
4		50,321	50,346		50,334		18	0,49
5		50,346	50,371		50,358		21	0,76
6		50,371	50,395		50,383		6	0,84
7		50,395	50,420		50,407		6	0,91
8		50,420	50,444		50,432		7	1,00
			Еще				80	1,00

Далее построим гистограмму

 

 

2. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её функцию

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х

F*(x)=nх/n

 где nх – число вариант, меньшее х, n – объем выборки

 

 Таким образом, для  того, чтобы найти, например F*(x2), надо число вариант, меньшее x2, разделить на объем выборки n: F*(x2)=nх2/n

 В отличие от эмпирической  функции распределения выборки, интегральную функцию F(x) распределения  генеральной совокупности называют  теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической  и теоретической функциями состоит  в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события  Х Из определения функции F*(x) вытекают следующие ее свойства:

1. Значения эмпирической  функции принадлежат отрезку [0;1]

2. F*(x) - неубывающая функция 

3. Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при х≤х1; если хk – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при х>хk.

 Итак, эмпирическая функция  распределения выборки служит  для оценки теоретической функции  распределения генеральной совокупности.

Варианты xi	50,26	50,28	50,31	50,33	50,36	50,38	50,41	50,44
Частоты ni	1	4	16	18	21	6	6	7

 

Объем выборки равен 80. Наименьшая варианта равна 50,26 следовательно F*(x)=0 при x ≤50,26. Значение х1= 50,26 наблюдалось 1 раз, следовательно, F*(x)=1/80=0.0125 х2=50,28 наблюдались 1+4=5 раз, следовательно, F*(x)=5/80=0.0625 при х3=50,31 наблюдались 1+4+16=21 раз следовательно, F*(x)=21/80=0.2625 , при х4=50,33 наблюдались 1+4+16+18=39 раз следовательно, F*(x)=39/80=0.4875,   при х5=50,36 наблюдались 1+4+16+18+21=60 раз следовательно, F*(x)=60/80=0. 75 , при х6=50,38 наблюдались 1+4+16+18+21+6=66 раз следовательно, F*(x)=66/80=0.825, при х7=50,41 наблюдались 1+4+16+18+21+6+7=73 раза следовательно, F*(x)=73/80=0.9125. Так как х=50,44 – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>50,44.

 Искомая эмпирическая  функция:

 

График эмпирической функции

 

3. Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину ассиметрии и экцесс, ошибки асимметрии и экцесса.

Для вычисления выборочных характеристик воспользуемся программой «Описательная статистика», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel. В результате работы программы  «Описательная статистика» получены значения выборочных характеристик результатов 80 пусков ракет, занесены в таблицу.

расстояния до точек падения
Среднее	50,3495
Стандартная ошибка	0,004689404
Медиана	50,345
Мода	50,34
Стандартное отклонение	0,041943301
Дисперсия выборки	0,001759241
Эксцесс	-0,314348103
Асимметричность	0,319955071
Интервал	0,18
Минимум	50,26
Максимум	50,44
Сумма	4027,96
Счет	80

 

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки различны, то

=50.35

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за xi принимают середины частичных интервалов.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Из формулы исправленной выборочной дисперсии легко вычислить выборочную дисперсию.

 Следовательно,

 

С учетом поправки Шеппарда 

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

 С учетом поправки Шеппарда  

        Коэффициент вариации называется отношение среднего квадратического отклонения к средней, выраженное в процентах:

    

 Коэффициент вариации  используется и как показатель  однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент  вариации не превышает 10%, то выборку  можно считать однородной, т.е. полученной  из одной генеральной совокупности.

Размах вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:

Размах вариации показывает только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида - среднее линейное отклонение.

Начальным моментом k-го порядка hk называется число, определяемое выражением

 Центральный момент k-го порядка mk определяется из выражения

 

Справедливы следующие формулы, выражающие центральные выборочные моменты различных порядков через начальные: 
    

 
      и т.д.

Найдем исправленную выборочную асимметрию, из ее формулы легко вычислить выборочную асимметрию.

Следовательно выборочная асимметрия равна:

, здесь 

Найдем исправленный выборочный эксцесс, с помощью него легко вычислить выборочный эксцесс:

Следовательно выборочный эксцесс равен:

 

4. Используя критерии -Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости , проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону. Построить гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Проверку гипотезы нормального закона распределения вероятности выполняем при помощи критерия согласия Пирсона, т.к. n>50. Расчеты производим в табличной форме . Весь массив эксперементальных данныз разделяем на интервалы  таким образом, чтобы в каждом интервале было не менее пяти независимых значений.

j	интервал Sj-1-Sj		lj	tj	Ф(tj)	Pj	lj-nPj	lj-nPj/n*Pj
1	2		3	4	5	6	7	8
1	-∞-----------50,297		4	-1,3712	-0,4319	0,0681	-1,45	0,293
2	50,297	50,321	16	-1,2619	-0,3749	0,0570	1,44	0,667
3	50,321	50,346	18	-0,6905	-0,2910	0,0839	1,29	0,864
4	50,346	50,371	21	-0,0952	-0,1808	0,1102	2,18	0,829
5	50,371	50,395	6	0,5	-0,0478	0,1330	-1,64	0,542
6	50,395	50,420	6	1,07143	0,2123	0,2601	-1,81	0,129
7	50,420		7	+∞	0,5	0,1011	-1,09	0,112

 

            Границы доверительного интервала определяем по формуле, приняв Коэффициент Стьюдента P(S)=95%

            По формуле (9) определяем, на сколько и в какую сторону отстает от средненго арифметического значения правая граница j-го интервала

Вероятность попадания отдельного независимого значения в j-й интервал определяется интервалом вероятности – функцией Лапласа.  Табличные значения функции вносим в пятую графу таблицы.

По формуле определяем теоретическую вероятность попадания в j-й интервал отдельного независимого значения результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности.

В 7 и 8 графах таблицы 4 производятся вспомогательные вычисления, при этом для удобства вычислений, формула преобразована:

Просуммировав все значения 8 графы, получаем с определенным числом свободы f=8,                                                                          

Определяем ганичные значения , Следовательно условие выполняется, тогда гипотеза о подчинении результата измерения нормальному закону распределения вероятности принимается, и доверительная погрешность определяется по формуле

При этом результат измерения можно записать в виде

5. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 65 предприятиям за год.

Y	X, тыс.руб.
	32-52	52-72	72-92	92-112	112-132	132-152	152-172
48-68	5
68-88	2	3	4
88-108		2	7	6
108-128			3	8	4
128-148			1	1	5	3
148-168						5
168-188							4
188-208							2

А) вычислить групповые средние и построить корреляционные поля;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y		X, тыс.руб.
	сред	32-52	52-72	72-92	92-112	112-132	132-152	152-172
		42	62	82	102	122	142	162
48-68	58	5							210	5	42
68-88	78	2	3	4					598	9	66,44
88-108	98		2	7	6				1310	15	87,33
108-128	118			3	8	4			1550	15	103,3
128-148	138			1	1	5	3		1220	10	122
148-168	158						5		710	5	142
168-188	178							4	648	4	162
188-208	198							2	324	2	162
		446	430	1490	1670	1162	1204	1108
		7	5	15	15	9	8	6		65
		63,71	86	99,33	111,33	129,11	150,5	184,67

Условные средние посчитаны по формулам :

;           

	58	78	98	118	138	158	178	198
	42	66,44	87,33	103,3	122	142	162	162

 

	42	62	82	102	122	142	162	162
	63,71	86	99,33	111,3	129,11	150,5	184,67	184,67

 

Рис. Корреляционные поля

Рис. Регрессия X на Y

Рис. Регрессия Y на X

Коэффициент корреляции посчитаем с помощью функции Excel КОРРЕЛ по регрессии Y на X:

= 0,9976

Коэффициент корреляции близок к 1, значит, между основными фондами и объемом производства существует тесная прямая связь.

Коэффициент детерминации: =0,9952. Вариация объема производства на 99,52 % объясняется вариацией основных фондов.

Уравнение регрессии Y на X выведено с помощью табличного процессора Excel на рисунке:

Посчитаем среднюю абсолютную процентную ошибку

42	58	56,128	-1,872	-0,0061	0,00614
62	78	78,374	0,374	0,00117	0,00117
82	98	99,954	1,954	0,0059	0,0059
102	118	121,2	3,2	0,00932	0,00932
122	138	134,557	-3,443	-0,0099	0,0099
142	158	156,248	-1,752	-0,0049	0,00486
162	178	179,606	1,606	0,00428	0,00428
162	198	198,519	0,519	0,00135	0,00135
					0,00144