Контрольная работа по «Статистика». 5. 2

НОУ ВПО «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»

(г. Архангельск)

Ивановский филиал

 

 

Экономический факультет

Кафедра экономических дисциплин

 

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине «Статистика»

Вариант 2

 

 

 

                                                                                        Выполнила: студентка

Группы  31 - эзб

Крестова С.А.

 

Проверила:

Шарина М.В.

 

Иваново 2013г.

 

Задача 1. Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет. Исходные данные представлены в таблице:

Время	1	2	3	4	5	6	7
Депозиты	2	7	8	3	10	11	15

Сделайте прогноз депозитов  на последующие два года методами экстраполяции по среднему абсолютному  приросту и методом экстраполяции  по среднему темпу роста. Какой из методов подходит для прогнозирования  в большей степени?

Решение:

1. По формуле  , где

- последний уровень  динамического ряда;

- уровень, взятый  за базу сравнения;

n  - число уровней в ряду динамики;

находим средний темп роста:  _{= 1,3991, т.е. средний темп роста составил 139,9} %.

2. По формуле    находим средний абсолютный прирост:

= 13/6 = 2,166

т.о.  в среднем ежегодно депозит возрастал на 2,16 единиц.

3. Прогнозирование по  среднему темпу роста производится  по формуле:

Сделаем прогноз депозитов на следующие 2 года:

  y₈ = 15*1,3991 = 20,9865 ;  y₉ = 20,9865*1,3991 = 29,3622.

4. Прогнозирование по  среднему абсолютному приросту производится по формуле:                         

Рассчитаем прогноз депозитов  на следующие 2 года:

  y₈ = 15+ 2,166 = 17,166;    y₉ = 17,166 + 2,166 = 19,332.

5. Чтобы выбрать наиболее подходящий метод прогнозирования, необходимо рассчитать цепные абсолютные приросты депозитов за 7 лет:

Δy = y_n – y_n-1 ;           Δy₂ = 7- 2 = 5,           Δy₅ = 10- 3 = 7,

Δy₃ = 8- 7 = 1,            Δy₆ = 11-10 =1,

Δy₄ = 3- 8= -5,            Δy₇ = 15-11 = 4.

Поскольку рассчитанные цепные абсолютные приросты сильно варьируются, линейной динамики не наблюдается  =› модель прогноза среднего абсолютного  прироста не подходит.

Вывод: для данного ряда динамики в большей степени подходит метод экстраполяции по среднему темпу роста.

 

Задача 2. Для стационарного ряда приведены поквартальные данные некоторого показателя за три года:

	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
1999	11,6	12,2	12,6	11,6
2000	11,3	12,4	13,1	11,2
2001	11,8	12,4	12,7	11,3

Определите индекс сезонности показателя за второй квартал.

Решение:

1. Составим расчетную таблицу:

	1999	2000	2001	Сумма, за 3 года	Среднее за квартал, за 3 года	Индекс сезонности, %
1 квартал	11,6	11,3	11,8	34,7	11,57	96,26
2 квартал	12,2	12,4	12,4	37,0	12,33	102,58
3 квартал	12,6	13,1	12,7	38,4	12,8	106,49
4 квартал	11,6	11,2	11,3	34,1	11,37	94,59

 

Сумма за три года по каждому кварталу находится 

2.  Средняя за квартал рассчитывается по формуле 

y₁ = (11,6 + 11,3 + 11,8) / 3 = 11,57;

y₂ = (12,2 + 12,4 + 12,4) / 3 = 12,33;

y₃ = (12,6 + 13,1 + 12,7) / 3 = 12,8;

y₄ = (11,6 + 11,2 + 11,3) / 3 = 11,37.

Рассчитаем среднеквартальное  за все годы:  (11,57+12,33+12,8+11,37)/4=12,02

3. Индекс сезонности рассчитывается:

  ,

где y_t — средний квартальный уровень показателя за три и более года,

     y_c — среднеквартальное за все годы значение показателя.

Индекс сезонности за каждый квартал будет равен:

I₁ = 11,57/ 12,02 = 0,9626 * 100% = 96,26 %;

I₂ = 12,33/ 12,02 = 1,0258 * 100% = 102,58 %;

I₃ = 12,8 / 12,02 = 1,0649 * 100 % = 106,49 %;

I₄ = 11,37 / 12,02 = 0,9459 * 100 % = 94,59 %.

Рассчитанные значения индекса  сезонности сравниваются со значением 100 %. Если индекс сезонности превышает 100 % — это свидетельствует о  влиянии сезонного фактора в  сторону увеличения уровней динамического  ряда.

Если индекс сезонности меньше 100 % — то сезонный фактор вызывает снижение уровней динамического ряда.

Ответ: Индекс сезонности за 2-ой квартал составил 102,58 %, что свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. В таблице приведен фрагмент временного ряда.

t	…	30	31	32	…
yt	…	26,3	27,2	25,9	…

Найти экспоненциальные средние и с параметром α=0,2, если .

Решение:

1. Экспоненциальная средняя рассчитывается по формуле

,

y^э  - экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент t,

a - вес текущего наблюдения,

y_t - фактический уровень динамического ряда,

y_t^э_-1 - экспоненциальная средняя предыдущего периода.

Составим таблицу известных  значений:

t	yt	ytэ, при α=0,2
30	26,3	19,8
31	27,2	-
32	25,9	-

 

2. Рассчитаем неизвестные значения  экспоненциальной средней

= 0,2*27,2 + (1 – 0,2)* 19,8 = 5,44 + 15,84 = 21,28; 
          = 0,2 * 25,9 + (1 - 0,2)* 21,28 = 5,18 + 17,024 = 22,204.

Ответ: Экспоненциальные средние с параметрами α=0,2 и , равны = 21,28 и = 22,2.

Задача 4. В таблице указаны значения случайной компоненты некоторой трендовой модели временного ряда:

t	1	2	3	4	5	6
Остатки, еt	0,2	0	-0,3	-0,2	0	0,3

Найдите наблюдаемое значение статистики Дарбина-Уотсона.

 

Решение:

1. Составим расчетную таблицу:

	ei	e2	(ei - ei-1)2
1	0,2	0,04	0
2	0	0	(0 – 0,2)2 = 0,04
3	-0,3	0,09	(- 0,3 – 0)2 = 0,09
4	-0,2	0,04	( - 0,2 –(-0,3))2 = 0,01
5	0	0	(0 - (- 0,2))2 = 0,04
6	0,3	0,09	(0,3 – 0)2 = 0,09
Итого:		0,26	0,27

 

2. Используя формулу Дарвина – Уотсона, находим:

= 0,27 / 0,26 = 1,03846.

 

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 6 .  
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:  
d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂. 

Обратимся к табличным  значениям. По таблице Дарбина-Уотсона для n=6 находим: d₁ = 0,61; d₂ = 1,4.  
          Вывод: Поскольку 0,64  < 1,04 , а неравенство 1.4 < 1.04 < 4 - 1.4 не выполняется, то подтверждается существование автокорреляции остатков.

Задача 5. Имеются данные об экспорте Германии, млрд. долл., за период 1985-1995 гг.:

Год	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
Экспорт	184	242	295	323	341	410	403	422	381	430	524

Постройте график динамики экспорта. Провести расчет параметров линейного, экспоненциального и параболического  трендов. Оценить качество трендов  на основании значения коэффициента детерминации,  а также статистической значимости параметров.

 

Решение:

1.Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a

Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

t	y	t2	y2	t•y
1	184	1	33856	184
2	242	4	58564	484
3	295	9	87025	885
4	323	16	104329	1292
5	341	25	116281	1705
6	410	36	168100	2460
7	403	49	162409	2821
8	422	64	178084	3376
9	381	81	145161	3429
10	430	100	184900	4300
11	524	121	274576	5764
66	3955	506	1513285	26700

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид:

11a₀ + 66a₁ = 3955;

66a₀ + 506a₁  = 26700.

Из первого уравнения  выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 27, a₁ = 197.55

Уравнение тренда:

y = 27 t + 197.55

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 27 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 27.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 87.85% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t	y	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(t-tp)2	(y-y(t)) : y
1	184	224.55	30816.21	1643.93	25	0.22
2	242	251.55	13816.93	91.12	16	0.0394
3	295	278.55	4166.12	270.75	9	0.0558
4	323	305.55	1335.57	304.66	4	0.054
5	341	332.55	343.93	71.48	1	0.0248
6	410	359.55	2545.66	2545.66	0	0.12
7	403	386.55	1888.3	270.75	1	0.0408
8	422	413.55	3900.57	71.48	4	0.02
9	381	440.55	460.3	3545.66	9	0.16
10	430	467.55	4963.84	1409.66	16	0.0873
11	524	494.55	27045.3	867.57	25	0.0562
66	3955	3955	91282.73	11092.73	110	0.88

 

 

2. Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a e^bt (ln y=ln a+bt)

Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

t	ln(y)	t2	y2	t•y
1	5.21	1	27.2	5.21
2	5.49	4	30.13	10.98
3	5.69	9	32.34	17.06
4	5.78	16	33.38	23.11
5	5.83	25	34.01	29.16
6	6.02	36	36.19	36.1
7	6	49	35.99	41.99
8	6.05	64	36.54	48.36
9	5.94	81	35.32	53.49
10	6.06	100	36.77	60.64
11	6.26	121	39.21	68.88
66	64.33	506	377.07	394.97

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид:

11a₀ + 66a₁ = 64.33

66a₀ + 506a₁  = 394.97

Из первого уравнения  выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = 0.0818, a₁ = 5.36

Уравнение тренда:

y = 212.1e^0.0818t

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 0.0818 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 0.0818.

Индекс детерминации.

 

 

т.е. в 84.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t	ln(y)	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(t-tp)2	(y-y(t)) : y
1	5.21	5.44	0.4	0.0501	25	0.0429
2	5.49	5.52	0.13	0.001	16	0.00579
3	5.69	5.6	0.0259	0.0071	9	0.0148
4	5.78	5.68	0.0049	0.0086	4	0.0161
5	5.83	5.77	0.0002	0.0043	1	0.0113
6	6.02	5.85	0.0282	0.0282	0	0.0279
7	6	5.93	0.0227	0.0047	1	0.0115
8	6.05	6.01	0.0387	0.0011	4	0.00551
9	5.94	6.09	0.0089	0.0227	9	0.0254
10	6.06	6.18	0.0465	0.0124	16	0.0184
11	6.26	6.26	0.17	0	25	0.000685
66	64.33	64.33	0.88	0.14	110	0.18

 

3. Уравнение тренда имеет вид y = at² + bt + c .

Находим параметры уравнения  методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀n + a₁∑t + a₂∑t² = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² + a₂∑t³ = ∑yt

a₀∑t² + a₁∑t³ + a₂∑t⁴ = ∑yt²

t	y	t2	y2	t•y	t3	t4	t2 y
1	184	1	33856	184	1	1	184
2	242	4	58564	484	8	16	968
3	295	9	87025	885	27	81	2655
4	323	16	104329	1292	64	256	5168
5	341	25	116281	1705	125	625	8525
6	410	36	168100	2460	216	1296	14760
7	403	49	162409	2821	343	2401	19747
8	422	64	178084	3376	512	4096	27008
9	381	81	145161	3429	729	6561	30861
10	430	100	184900	4300	1000	10000	43000
11	524	121	274576	5764	1331	14641	63404
66	3955	506	1513285	26700	4356	39974	216280

 

Для наших данных система  уравнений имеет вид 

11a₀ + 66a₁ + 506a₂ = 3955

66a₀ + 506a₁ + 4356a₂ = 26700

506a₀ + 4356a₁ + 39974a₂ = 216280

Получаем a₀ = -1.5, a₁ = 45.04, a₂ = 158.45

Уравнение тренда:

y = -1.5t²+45.04t+158.45

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Индекс детерминации.

 

 

т.е. в 89.97% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t	y	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(t-tp)2	(y-y(t)) : y
1	184	201.99	30816.21	323.75	25	0.0978
2	242	242.52	13816.93	0.28	16	0.00217
3	295	280.05	4166.12	223.53	9	0.0507
4	323	314.57	1335.57	71.13	4	0.0261
5	341	346.08	343.93	25.78	1	0.0149
6	410	374.58	2545.66	1254.55	0	0.0864
7	403	400.08	1888.3	8.54	1	0.00725
8	422	422.57	3900.57	0.32	4	0.00134
9	381	442.05	460.3	3726.97	9	0.16
10	430	458.52	4963.84	813.65	16	0.0663
11	524	471.99	27045.3	2704.73	25	0.0992
66	3955	3955	91282.73	9153.22	110	0.61