Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по «Статистика». 2. 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра экономики

Контрольная работа по курсу

«Статистика»

Вариант 7

Выполнил:

Студент группы з 826 – вуз

_________О.А. Трофимова

“____”____________2009

Проверил:

_________М.Г. Сидоренко

“____”_________2009

2009

Задание 1.

На основе данных о доходах Y, расходах на продукты питания X₁, расходах на промышленные товары Х₂, представленных в таблице (табл. 1), необходимо определить:

модель парной линейной регрессии вида ;
модель множественной линейной регрессии вида ;
линейно-логарифмическую модель вида ;
авторегрессионную модель вида .

Для модели парной регрессии определить наличие гетероскедастичности (методом графического анализа остатков, при помощи теста ранговой корреляции Спирмена, теста Голдфелда-Квандта) и автокорреляции (графическим методом и при помощи критерия Дарбина-Уотсона).

Для всех моделей проверить качество уравнения регрессии, т.е.

проверить статистическую значимость коэффициентов;
определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии;
определить доверительные интервалы для зависимой переменной;
проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).

Сделать выводы о том, какая модель является наилучшей.

Таблица 1 – Сведения о доходах Y, расходах на продукты питания X₁, расходы на промышленные товары X₂ и наличии детей D.

i	Y	X₁	X₂	D	i	Y	X₁	X₂	D
1	91,76	67,25	3,95	Есть	12	29,70	20,87	6,77	Есть
2	38,68	22,95	15,34	Нет	13	93,74	43,58	29,33	Есть
3	34,14	27,25	0,39	Нет	14	17,77	16,88	0,62	Есть
4	30,77	12,84	0,61	Нет	15	78,84	33,12	11,01	Нет
5	50,02	47,37	1,60	Нет	16	39,73	30,99	1,60	Нет
6	34,33	21,78	6,33	Нет	17	93,87	56,80	15,75	Нет
7	42,63	24,54	8,14	Есть	18	86,15	48,19	1,81	Есть
8	63,47	58,61	1,36	Нет	19	25,95	23,45	2,30	Нет
9	19,86	16,56	2,44	Есть	20	36,95	18,88	5,70	Есть
10	58,87	44,77	8,70	Нет	21	45,78	21,00	14,79	Нет
11	72,45	40,06	3,87	Есть	22	12,36	12,01	0,28	Нет

Решение:

1.1. Построение модели парной линейной регрессии вида :

Данные и расчеты представлены в таблице 2.

Таблица 2


1	0,05	12,36	0,0025	0,6180	152,7696	38,0786	-25,7186	661,4477	45,3847	1409,3199
2	0,29	19,86	0,0841	5,7594	394,4196	38,4998	-18,6398	347,4420	42,2086	902,4562
3	0,43	50,02	0,1849	21,5086	2502,0004	38,7455	11,2745	127,1148	40,4091	0,0142
4	0,51	17,77	0,2601	9,0627	315,7729	38,8859	-21,1159	445,8799	39,3984	1032,3953
5	0,93	29,70	0,8649	27,6210	882,0900	39,6229	-9,9229	98,4643	34,3023	408,0767
6	1,63	34,14	2,6569	55,6482	1165,5396	40,8513	-6,7113	45,0420	26,5928	248,4063
7	1,78	39,73	3,1684	70,7194	1578,4729	41,1146	-1,3846	1,9170	25,0682	103,4474
8	1,82	93,74	3,3124	170,6068	8787,1876	41,1848	52,5552	2762,0536	24,6693	1921,8659
9	2,28	25,95	5,1984	59,1660	673,4025	41,9920	-16,0420	257,3458	20,3114	573,6460
10	3,03	91,76	9,1809	278,0328	8419,8976	43,3082	48,4518	2347,5810	14,1137	1752,1835
11	3,94	63,47	15,5236	250,0718	4028,4409	44,9051	18,5649	344,6557	8,1044	184,1202
12	4,49	30,77	20,1601	138,1573	946,7929	45,8703	-15,1003	228,0184	5,2754	365,9917
13	5,05	42,63	25,5025	215,2815	1817,3169	46,8530	-4,2230	17,8338	3,0165	52,8661
14	5,37	58,87	28,8369	316,1319	3465,6769	47,4146	11,4554	131,2269	2,0074	80,4446
15	6,31	34,33	39,8161	216,6223	1178,5489	49,0642	-14,7342	217,0952	0,2274	242,4532
16	6,54	72,45	42,7716	473,8230	5249,0025	49,4678	22,9822	528,1827	0,0609	508,4615
17	7,81	38,68	60,9961	302,0908	1496,1424	51,6965	-13,0165	169,4284	1,0469	125,9088
18	10,92	36,95	119,2464	403,4940	1365,3025	57,1541	-20,2041	408,2070	17,0832	167,7260
19	12,76	45,78	162,8176	584,1528	2095,8084	60,3831	-14,6031	213,2507	35,6789	16,9819
20	15,87	78,84	251,8569	1251,1908	6215,7456	65,8408	12,9992	168,9800	82,5042	837,4710
21	25,53	93,87	651,7809	2396,5011	8811,5769	82,7929	11,0771	122,7027	351,3069	1933,2810
22	31,97	86,15	1022,0809	2754,2155	7421,8225	94,0943	-7,9443	63,1116	634,1926	1313,9966
	149,31	1097,82	2466,3031	10000,4757	68963,7300	-	0	9706,9811	1452,9633	14181,5140
	6,7868	49,9009	112,1047	454,5671	3134,7150	-	-	-	-	-

Рассчитаем эмпирические коэффициенты регрессии:

Запишем уравнение парной регрессии:

В данном случае коэффициент можно рассматривать, как изменится объем доходов, если расходы на промышленные товары возрастет на две единицы. Свободный член определяет прогнозируемое значение при нулевых затратах на промышленные товары.

Рассчитаем другие показатели:

Проверим статистическую значимость коэффициентов и . Эта задачи решается при помощи t – статистики:

Критические значение при уровне значимости по распределению Стьюдента равно . Получаем, что и , т.е. подтверждается гипотеза о статистической значимости коэффициентов и .

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии при уровне значимости :

для

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможный объемов доходов при неограниченно большом числе наблюдений и уровне расходов на промышленные товары Х_р=35:

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Столь низкое значение коэффициента детерминации объясняется малой линейной связью между X и Y. Также это свидетельствует о низком общем качестве построенного уравнения регрессии.

1.2. Анализ на наличие гетероскедастичности:

Метод графического анализа остатков:

Проанализируем графические остатки, представив зависимость (рис. 1.2):

Рис. 1.2 – График зависимости

Почти все отклонения находятся внутри полосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это означает независимость от значений и их постоянство, т.е. в данном случае можно говорить об отсутствии гетероскедастичности и наличии гомоскедастичности.

Тест ранговой корреляции Спирмена:

Необходимые рассчитанные величины представим в таблице 3.

Таблица 3


1	21	-20	400	12	13	-1	-
2	16	-14	196	13	2	11	121
3	7	-4	16	14	8	6	36
4	18	-14	196	15	12	3	9
5	5	0	0	16	20	-4	16
6	3	3	-	17	10	7	49
7	1	6	36	18	17	1	1
8	23	-15	225	19	11	8	64
9	14	-5	25	20	9	11	121
10	22	-12	144	21	6	15	225
11	15	-4	16	22	4	18	324
							2230

Рассчитаем коэффициента ранговой корреляции:

Рассчитаем t – статистику:

Критическое значение t – статистики для числа степеней свободы и уровня значимости равно . Так как рассчитанное значение t – статистики не превышает табличного значения , то это подтверждает отсутствие гетероскедастичности.

Тест Голдфелда-Квандта:

Разобьем ряд на три интервала размерности 8, 6 и 8. определим дисперсии отклонений для первого и третьего интервалов:

Определим значение F – статистики:

Критическое значение F – статистики для числа степеней свободы и уровня значимости равно . Так как рассчитанное значение F – статистики не превышает табличного значения , то это подтверждает отсутствие гетероскедастичности.

Вывод: По всем трем тестам гетероскедастичность в данной модели отсутствует.

1.3. Анализ на наличие автокорреляции:

Графический метод:

Проанализируем графическую зависимость (рис. 1.3):

Рисунок 1.3 – График зависимости

Отсутствие зависимости на рисунке 1.3 свидетельствует об отсутствии автокорреляции. Для более наглядного представления построим зависимость (рис.1.4):

Рисунок 1.4 – График зависимости

Большинство точек расположено в центре декартовой системы координат, подтверждая тем самым отсутствие автокорреляции.

Критерий Дарбина-Уотсона:

Необходимые рассчитанные величины представим в таблице 4.

Таблица 4


-25,7186	-	-	-	-15,1003	18,5649	-33,6652	1133,3445
-18,6398	-25,7186	7,0788	50,1098	-4,2230	-15,1003	10,8773	118,3150
11,2745	-18,6398	29,9143	894,8664	11,4554	-4,2230	15,6784	245,8135
-21,1159	11,2745	-32,3904	1049,1374	-14,7342	11,4554	-26,1896	685,8943
-9,9229	-21,1159	11,1930	125,2822	22,9822	-14,7342	37,7164	1422,5252
-6,7113	-9,9229	3,2116	10,3143	-13,0165	22,9822	-35,9987	1295,9059
-1,3846	-6,7113	5,3268	28,3745	-20,2041	-13,0165	-7,1877	51,6625
52,5552	-1,3846	53,9398	2909,5026	-14,6031	-20,2041	5,6010	31,3715
-16,0420	52,5552	-68,5972	4705,5818	12,9992	-14,6031	27,6023	761,8889
48,4518	-16,0420	64,4938	4159,4557	11,0771	12,9992	-1,9221	3,6945
18,5649	48,4518	-29,8869	893,2290	-7,9443	11,0771	-19,0214	361,8138
							20938,0832

Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения и определяются по распределению Дарбина-Уотсона и равны 0,997 и 1,174 соответственно. Выводы об отсутствии автокорреляции делаются, исходя из следующей схемы (рис.1.5):

Рисунок 1.5 – Схема Дарбина-Уотсона.

Значение критерия DW находится в области отсутствия автокорреляции. Таким образом, можно считать, что автокорреляции не наблюдается в данной модели парной линейной регрессии.

Вывод: По двум тестам автокорреляция в данной модели отсутствует.

2. Построение модели множественной линейной регрессии вида :

Данные и расчеты представлены в таблице 5.

Таблица 5


1	12,36	12,01	0,05	1409,3199	410,1177	45,3847	760,2546	252,9063	136,4298
2	17,77	16,88	0,51	1032,3953	236,5863	39,3984	494,2172	201,6799	96,5460
3	19,86	16,56	0,29	902,4562	246,5328	42,2086	471,6832	195,1703	102,0089
4	25,95	23,45	2,28	573,6460	77,6401	20,3114	211,0402	107,9424	39,7112
5	29,70	20,87	0,93	408,0767	129,7632	34,3023	230,1159	118,3131	66,7171
6	30,77	12,84	4,49	365,9917	377,1894	5,2754	371,5483	43,9402	44,6073
7	34,14	27,25	1,63	248,4063	25,1138	26,5928	78,9836	81,2761	25,8427
8	34,33	21,78	6,31	242,4532	109,8590	0,2274	163,2044	7,4245	4,9977
9	36,95	18,88	10,92	167,7260	179,0609	17,0832	173,3008	-53,5285	-55,3076
10	38,68	22,95	7,81	125,9088	86,7015	1,0469	104,4820	-11,4810	-9,5272
11	39,73	30,99	1,78	103,4474	1,6164	25,0682	12,9309	50,9239	6,3655
12	42,63	24,54	5,05	52,8661	59,6195	3,0165	56,1413	12,6282	13,4106
13	45,78	21,00	12,76	16,9819	126,8183	35,6789	46,4071	-24,6149	-67,2662
14	50,02	47,37	0,43	0,0142	228,2709	40,4091	1,7993	-0,7570	-96,0429
15	58,87	44,77	5,37	80,4446	156,4660	2,0074	112,1911	-12,7076	-17,7225
16	63,47	58,61	3,94	184,1202	694,2506	8,1044	357,5270	-38,6287	-75,0098
17	72,45	40,06	6,54	508,4615	60,8187	0,0609	175,8522	-5,5655	-1,9248
18	78,84	33,12	15,87	837,4710	0,7373	82,5042	24,8482	262,8590	7,7992
19	86,15	48,19	31,97	1313,9966	253,7215	634,1926	577,3986	912,8674	401,1337
20	91,76	67,25	3,03	1752,1835	1224,2047	14,1137	1464,5925	-157,2570	-131,4459
21	93,74	43,58	1,82	1921,8659	128,1115	24,6693	496,1987	-217,7408	-56,2176
22	93,87	56,80	25,53	1933,2810	602,1447	351,3069	1078,9415	824,1207	459,9321
	49,90	32,26	6,78	-	-	-	-	-	-
	1097,82	-	-	14181,5140	5415,3447	1452,9633	7463,6587	2549,7710	895,0374

Рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии:

Эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

Расчет отклонений реальных значений от модельных представлен в таблице 6.

Таблица 6


1	18,5709	-6,2109	38,5755	-	-
2	24,9351	-7,1651	51,3388	-0,9542	0,9105
3	24,3255	-4,4655	19,9410	2,6996	7,2877
4	34,6801	-8,7301	76,2153	-4,2646	18,1869
5	30,1928	-0,4928	0,2428	8,2373	67,8539
6	24,0545	6,7155	45,0983	7,2083	51,9598
7	38,6285	-4,4885	20,1464	-11,2040	125,5296
8	36,7213	-2,3913	5,7183	2,0972	4,3981
9	37,8572	-0,9072	0,8231	1,4841	2,2025
10	39,6516	-0,9716	0,9441	-0,0644	0,0042
11	43,3110	-3,5810	12,8232	-2,6093	6,8085
12	38,7944	3,8356	14,7117	7,4165	55,0051
13	42,2814	3,4986	12,2399	-0,3370	0,1136
14	61,7946	-11,7746	138,6418	-15,2732	233,2700
15	63,6268	-4,7568	22,6274	7,0178	49,2494
16	78,9525	-15,4825	239,7070	-10,7256	115,0394
17	59,1004	13,3496	178,2111	28,8320	831,2868
18	60,1020	18,7380	351,1111	5,3884	29,0347
19	94,5978	-8,4478	71,3651	-27,1857	739,0648
20	88,5025	3,2575	10,6113	11,7053	137,0138
21	58,6047	35,1353	1234,4872	31,8778	1016,1920
22	98,5342	-4,6642	21,7545	-39,7994	1583,9960
	1097,82	0	2567,3349	1,5467	5074,4073

Рассчитаем дисперсию регрессии:

Определим дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов:

Рассчитаем t – статистики:

Проверим статистическую значимость коэффициентов на основе распределения Стьюдента. Критическое значение с уровнем значимости равно . Получаем, что , и , т.е. подтверждается гипотеза о статистической значимости коэффициентов и .

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии при уровне значимости :

для

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Анализ статистической значимости коэффициента детерминации осуществляется на основе F – статистики:

Критическая точка распределения Фишера с уровнем значимости равна . Так как рассчитанное значение F – статистики существенно превышает критическое, то коэффициент детерминации статистически значим, т.е. совокупное влияние переменных и на переменную существенно.

Столь высокое значение коэффициента детерминации говорит об удовлетворительном общем качестве построенного уравнения регрессии.

3. Построение линейно-логарифмической модели вида :

Данные и расчеты представлены в таблице 7.

Таблица 7


1	12,36	0,05	2,5145	-2,9957	8,9744	-7,5327	6,3225	2,7222	-0,2077	0,0431
2	17,77	0,51	2,8775	-0,6733	0,4534	-1,9376	8,2801	3,3155	-0,4380	0,1919
3	19,86	0,29	2,9887	-1,2379	1,5323	-3,6996	8,9324	3,1713	-0,1826	0,0333
4	25,95	2,28	3,2562	0,8242	0,6793	2,6837	10,6027	3,6981	-0,4420	0,1953
5	29,70	0,93	3,3911	-0,0726	0,0053	-0,2461	11,4999	3,4690	-0,0779	0,0061
6	30,77	4,49	3,4265	1,5019	2,2556	5,1462	11,7412	3,8713	-0,4447	0,1978
7	34,14	1,630	3,5305	0,4886	0,2387	1,7249	12,4642	3,6124	-0,0819	0,0067
8	34,33	6,31	3,5360	1,8421	3,3935	6,5138	12,5034	3,9582	-0,4222	0,1782
9	36,95	10,92	3,6096	2,3906	5,7149	8,6290	13,0290	4,0983	-0,4888	0,2389
10	38,68	7,81	3,6553	2,0554	4,2247	7,5132	13,3614	4,0127	-0,3574	0,1277
11	39,73	1,78	3,6821	0,5766	0,3325	2,1232	13,5579	3,6349	0,0472	0,0022
12	42,63	5,05	3,7526	1,6194	2,6224	6,0768	14,0817	3,9013	-0,1487	0,0221
13	45,78	12,76	3,8238	2,5463	6,4837	9,7367	14,6218	4,1381	-0,3143	0,0988
14	50,02	0,43	3,9124	-0,8440	0,7123	-3,3020	15,3071	3,2719	0,6405	0,4102
15	58,87	5,37	4,0753	1,6808	2,8252	6,8499	16,6083	3,9170	0,1583	0,0251
16	63,47	3,94	4,1506	1,3712	1,8801	5,6912	17,2272	3,8379	0,3127	0,0978
17	72,45	6,54	4,2829	1,8779	3,5266	8,0430	18,3432	3,9674	0,3155	0,0996
18	78,84	15,87	4,3674	2,7644	7,6421	12,0734	19,0744	4,1939	0,1736	0,0301
19	86,15	31,97	4,4561	3,4648	12,0048	15,4395	19,8567	4,3728	0,0833	0,0069
20	91,76	3,03	4,5192	1,1086	1,2289	5,0098	20,4230	3,7708	0,7484	0,5601
21	93,74	1,82	4,5405	0,5988	0,3586	2,7190	20,6164	3,6406	0,9000	0,8099
22	93,87	25,53	4,5419	3,2399	10,4967	14,7151	20,6290	4,3153	0,2266	0,0513
	1097,82	149,31	82,8908	24,1280	77,5860	103,9705	319,0833	82,8908	0	3,4333
	49,90	6,78	3,7678	1,0967	3,5266	4,7259	14,5038	3,7678	-	0,1561

Рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии:

Запишем уравнение парной регрессии:

Представим графически корреляционное поле для переменных и , а также график рассчитанной модели (рис. 3.1):

Рисунок 3.1 – Корреляционное поле для переменных

и график рассчитанной модели

Таблица 8


1	16,7482	1,5708	12	0,2732	0,0002
2	3,1332	0,7925	13	2,1013	0,0031
3	5,4504	0,6069	14	3,7663	0,0209
4	0,0743	0,2617	15	0,3412	0,0946
5	1,3673	0,1418	16	0,0753	0,1465
6	0,1641	0,1164	17	0,6103	0,2654
7	0,3698	0,0563	18	2,7812	0,3596
8	0,5556	0,0537	19	5,6078	0,4738
9	1,6741	0,0250	20	0,0001	0,5646
10	0,9191	0,0126	21	0,2479	0,5972
11	0,2705	0,0073	22	4,5930	0,5993
				51,1242	6,7705

Рассчитаем другие показатели:

Проверим статистическую значимость коэффициентов и . Эта задачи решается при помощи t – статистики:

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии при уровне значимости :

для

Рассчитаем коэффициент детерминации:

4. Построение авторегрессионной модели вида :

Данные и расчеты представлены в таблицах 9 и 10.

Таблица 9


1	91,76	3,03	54,86	41,8591	-3,7568	3,0273	1752,1835	9,1644	14,1137
2	38,68	7,81	91,76	-11,2209	1,0232	39,9273	125,9088	1594,1871	1,0469
3	34,14	1,63	38,68	-15,7609	-5,1568	-13,1527	248,4063	172,9942	26,5928
4	30,77	4,49	34,14	-19,1309	-2,2968	-17,6927	365,9917	313,0326	5,2754
5	50,02	0,43	30,77	0,1191	-6,3568	-21,0627	0,0142	443,6385	40,4091
6	34,33	6,31	50,02	-15,5709	-0,4768	-1,8127	242,4532	3,2860	0,2274
7	42,63	5,05	34,33	-7,2709	-1,7368	-17,5027	52,8661	306,3455	3,0165
8	63,47	3,94	42,63	13,5691	-2,8468	-9,2027	184,1202	84,6902	8,1044
9	19,86	0,29	63,47	-30,0409	-6,4968	11,6373	902,4562	135,4261	42,2086
10	58,87	5,37	19,86	8,9691	-1,4168	-31,9727	80,4446	1022,2553	2,0074
11	72,45	6,54	58,87	22,5491	-0,2468	7,0373	508,4615	49,5232	0,0609
12	29,70	0,93	72,45	-20,2009	-5,8568	20,6173	408,0767	425,0719	34,3023
13	93,74	1,82	29,70	43,8391	-4,9668	-22,1327	1921,8659	489,8576	24,6693
14	17,77	0,51	93,74	-32,1309	-6,2768	41,9073	1032,3953	1756,2195	39,3984
15	78,84	15,87	17,77	28,9391	9,0832	-34,0627	837,4710	1160,2694	82,5042
16	39,73	1,78	78,84	-10,1709	-5,0068	27,0073	103,4474	729,3928	25,0682
17	93,87	25,53	39,73	43,9691	18,7432	-12,1027	1933,2810	146,4760	351,3069
18	86,15	31,97	93,87	36,2491	25,1832	42,0373	1313,9966	1767,1323	634,1926
19	25,95	2,28	86,15	-23,9509	-4,5068	34,3173	573,6460	1177,6752	20,3114
20	36,95	10,92	25,95	-12,9509	4,1332	-25,8827	167,7260	669,9156	17,0832
21	45,78	12,76	36,95	-4,1209	5,9732	-14,8827	16,9819	221,4956	35,6789
22	12,36	0,05	45,78	-37,5409	-6,7368	-6,0527	1409,3199	36,6355	45,3847
	1097,82	149,31	1140,32	-	-	-	14181,5140	12714,6844	1452,9633
	49,90	6,78	51,83	-	-	-	-	-	-

Таблица 10


1	-157,2570	126,7189	-11,3729	12	118,3131	-416,4877	-120,7516
2	-11,4810	-448,0203	40,8529	13	-217,7408	-970,2786	109,9292
3	81,2761	207,2989	67,8262	14	201,6799	-1346,5188	-263,0443
4	43,9402	338,4780	40,6370	15	262,8590	-985,7444	-309,3979
5	-0,7570	-2,5084	133,8919	16	50,9239	-274,6885	-135,2205
6	7,4245	28,2258	0,8643	17	824,1207	-532,1459	-226,8436
7	12,6282	127,2607	30,3991	18	912,8674	1523,8129	1058,6323
8	-38,6287	-124,8726	26,1985	19	107,9424	-821,9299	-154,6617
9	195,1703	-349,5943	-75,6052	20	-53,5285	335,2048	-106,9780
10	-12,7076	-286,7663	45,2995	21	-24,6149	61,3304	-88,8972
11	-5,5655	158,6841	-1,7369	22	252,9063	227,2249	40,7761
					2549,7710	-3425,3162	100,7970

Контрольная работа по «Статистика». 2. 3 📙 Контрольная → 🆔 68683