Контрольная работа по «Статистика». 5. 3

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Алматинская академия экономики  и статистики

Рег.№______   

от «06» декабря 2011г.                                  КАФЕДРА «_______________»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по  дисциплине «Статистика» 
 
 
 

Студент        Ташимова Т.К.

     (Ф.И.О.)

Курс, группа            1-курс, гр.11UA2HR1101                                                                 

Научный руководитель     _________________________

                                                              (Ф.И.О.)

______________ «_____»____________20___г.     ________________________

               (оценка)             (Ф.И.О., подпись преподавателя)

Алматы 2011

СОДЕРЖАНИЕ  

1 Виды и формы  связей между явлениями …………………………………… 3 

2 Статистические методы изучения связей …………………………………… 4 

3 Основные задачи  и предпосылки применения корреляционно-регрессионного  анализа ………………………………………………………… 5 

4 Показатели степени тесноты связи…………………………………………… 6 

5 Список использованных  источников ……………………………………….. 11 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1 Виды и формы связей между явлениями 

    Одна  из задач статистики – установление объективно существующих связей между явлениями. В процессе статистического исследования зависимостей вскрываются причинно следственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие существенное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения – это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины – ведет к изменению другого – следствия. Причина всегда предшествует следствию.

    Обычно  одно и то же экономическое явление, с одной стороны, выступает как  результат, следствие одной или нескольких причин, а с другой стороны, служит причиной наступления других явлений или процессов.

    Например, на величину себестоимости единицы  продукции влияют объем производства, используемая технология и уровень производительности труда. Производительность труда, которая служит причиной формирования себестоимости, в свою очередь является следствием таких причин, как уровень развития техники и подготовки работников, эффективность использования оборудования.

    Признаки  по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обесславливающие изменение других, связанных с ними признаков, называются факторными. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными.

    Выделяют  следующие виды связи между факторными и результативными признаками:

    1. По характеру зависимости между  признаками различают функциональную и стохастическую связь.

    Зависимость между двумя величинами называется функциональной, если каждому значению факторного признака (x) соответствует строго определенное значение результативного признака (y). Например, зависимость производительности труда от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени.

    Стохастическая  связь – когда каждому значению факторного признака соответствует не одно, а множество значений результативного признака, причем заранее нельзя сказать, какое именно значение примет результативный признак. Это связано с тем, что на y кроме переменной x влияют и многочисленные неконтролируемые случайные факторы. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков. Т.о. функциональной зависимостью связаны факторный признак x и среднее значение результативного показателя y.

    2. В зависимости от направления  действия выделяют прямую и  обратную связь.

    При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением  факторного признака.

    3. По аналитическому выражению  (форме) связи могут быть линейные  и нелинейные.

    Если  статистическая связь между явлениями  может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии, то такую связь называют нелинейной.

    4. В зависимости от числа определяющих  признаков связи делятся на  простые (парные) и множественные.

    Простой называется связь, если исследуется зависимость между одним признаком-фактором и результативным признаком.

    Многофакторная связь – это связь между несколькими факторными признаками и результативным признаком. 

    2 Статистические методы изучения связей 

    В статистике не всегда требуются количественные оценки связи. Часто важно определить лишь ее направление и характер, выявить форму воздействия одних факторов на другие. Для выявления наличия связи. Ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных; балансовый метод; метод аналитических группировок; графический; корреляции.

    Метод приведения параллельных данных заключается в том, что полученные в результате сводки и обработки материалы располагают в виде параллельных рядов и сопоставляют их между собой для установления характера и тесноты связи.

    Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат – результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи.

    Балансовый  метод состоит в том, что данные взаимосвязанных показателей изображаются в виде таблицы и располагаются таким образом, чтобы итоги между отдельными ее частями были равны, т. е. чтобы был баланс. Балансовый метод используется для характеристики взаимосвязи между производством и распределением продуктов, денежными доходами и расходами населения и т. д. Почти все внутренние и внешние хозяйственные связи выражаются в виде балансов.

    Метод аналитических группировок состоит в том, что единицы статистической совокупности группируются, как правило, по факторному признаку и для каждой группы рассчитывается средняя или относительная величина по результативному признаку. Затем изменения средних или относительных значений результативного признака сопоставляются с изменениями факторного признака для выявления характера связи между ними. 

3 Основные задачи  и предпосылки  применения 

корреляционно-регрессионного анализа 

   Для социально-экономических явлений  характерно, что наряду с существенными факторами, формирующими уровень результативного признака, на него оказывают воздействие многие другие и случайные факторы. Это свидетельствует о том, что взаимосвязи явлений, которые изучает статистика, носят корреляционный характер и аналитически выражаются функцией .

   Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

   В статистике различают следующие  виды корреляционной зависимости:

1. парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными);
2. частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;
3. множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

   Корреляционный  анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между  признаками.

   Основной  предпосылкой применения корреляционного анализа является необходимость подчинения распределения совокупности по результативному и факторным признакам нормальному закону распределения. Это условие связано с применением метода наименьших квадратов при расчете параметров корреляции: только при нормальном распределении МНК дает оценку параметров, отвечающую принципам максимального правдоподобия. На практике это условие чаще всего выполняется приближенно.

   Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение среднего значения результативного показателя обусловлено влиянием одного или нескольких факторных показателей.

   Функция , описывающая зависимость среднего значения результативного признака y от заданных аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии.

   Уравнение регрессии является достаточно адекватной реальному моделируемому явлению  или процессу в случае соблюдения следующих требований построения регрессии:

1. совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями;
2. возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей;
3. все факторные признаки должны иметь количественное выражение;
4. наличие достаточно большого объема исследуемой выборочной совокупности;
5. причинно-следственные связи между явлениями и процессами должны описываться линейной или приводимой к линейной формами зависимости;
6. отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи.

   Считается, что число наблюдений должно быть не менее чем в 5-6 раз больше числа факторных признаков. Еще лучше, если число наблюдений превышает число факторов в несколько десятков или даже сотни раз. 

4 Показатели степени тесноты связи 

    Оценка  тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторов.

    Для количественной характеристики тесноты  связи между признаками используют следующие показатели:

1. линейный коэффициент корреляции;
2. коэффициент детерминации;
3. корреляционное отношение.

    1. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

   Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость:

      – коэффициент регрессии;

      – среднее квадратическое  отклонение результативного признака.

    Линейный  коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Знак при этом коэффициенте указывает направление  связи. Знак “+” свидетельствует о прямой связи, знак “-” – об обратной связи. Если коэффициент корреляции равен 0, то величины х и у независимы, т.е. х не оказывает влияния на у. Если коэффикиент корреляции равен , то это означает, что все точки (х, у) находятся на линии регрессии и зависимость между х и у является функциональной. Чем ближе коэффициент корреляции к , тем связь теснее. 

   Количественные  критерии оценки тесноты связи

    Следует иметь в виду, что величина линейного  коэффициента корреляции оценивает  тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной. 

    2. Коэффициент детерминации – это квадрат линейного коэффициента корреляции

    где – общая дисперсия признака у;

                – дисперсия признака у, обусловленная фактором х.

    Или

    Т.к. коэффициент b измеряет среднее по совокупности отклонение y ( ) от его средней величины ( ) при отклонении признака x от своей средней величины ( ) на принятую единицу измерения, то сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией составит:

   Следовательно

    где – индивидуальные значения результативного признака;

      – индивидуальные значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии.

    Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии  результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

   Соответственно  величина характеризует долю дисперсии результативного показателя, вызванную влиянием остальных не учтенных в уравнении регрессии факторов.

   Если  , то уравнением регрессии объясняется 80% дисперсии результативного признака, а на долю прочих, неучтенных факторов приходится 10% ее дисперсии (остаточная дисперсия). Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ее можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

    3. Корреляционное отношение применяют для измерения тесноты связи между двумя признаками в случае наличия между ними линейной или нелинейной зависимости. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

    Эмпирическое  корреляционное отношение не требует  знания уравнения регрессии. Оно  рассчитывается по данным групповых  таблиц путем сопоставления межгрупповой и общей дисперсий результативного признака

    где – общая дисперсия;

          – межгрупповая дисперсия;

          – средняя из внутригрупповых дисперсий.

    Или после преобразований:

    где – число групп по факторному признаку;

          – число единиц совокупности;

          – число единиц в j группе;

         – индивидуальные значения результативного признака;

         – групповые средние результативного признака;

         – общая средняя результативного признака.

    Теоретическое корреляционное отношение требует  знания уравнения регрессии и рассчитанных по нему теоретических (расчетных) значений результативного признака.

    где – дисперсия результативного признака, объясняемая регрессией;

             – общая дисперсия результативного признака.

    Или

    Сумма квадратов в числителе – это  объясненная связью с факторным  признаком дисперсия результативного признака. Она вычисляется по индивидуальным данным, полученным для каждой единицы совокупности на основе уравнения регрессии.

    Квадрат корреляционного отношения соответствует  коэффициенту детерминации. Собственно говоря, основным показателем тесноты связи и следовало считать коэффициент детерминации (для линейной формулы связи) или квадрат корреляционного отношения. Но исторически раньше был введен коэффициент корреляции, который долгое время рассматривался как основной показатель.

    Теоретическое корреляционное отношение вычисляют  и по другой формуле

   или

    В числителе стоит сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его индивидуальных расчетных значений, т.е. доля вариации результативного признака, не объясняемая за счет входящих в уравнение связи признаков-факторов. Эта сумма не может стать равной нулю, если связь не является функциональной.

    В основе расчета корреляционного  отношения ( ) лежит правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий, т.е. .

    В случае расчета корреляционного  отношения не по группировке, а по уравнению регрессии ( ) правило принимает вид: .

    Или это можно записать как разложение общей суммы квадратов отклонений переменной от среднего значения :

    где в правой части первое слагаемое  – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, а второе слагаемое – остаточная сумма квадратов отклонений.

    Корреляционное  отношение принимает значения от 0 до 1. При его значении, равном 0, связь между признаками отсутствует; равном 1 – признаки связаны функционально. Промежуточные значения характеризуют степень тесноты связи.

    Квадрат корреляционного отношения ( , ) соответствует по содержанию коэффициенту детерминации и интерпретируется как показатели доли вариации результативного признака, объясняемой за счет вариации факторного признака. Различие между эмпирическим и теоретическим корреляционными отношениями в том, что в эмпирическом корреляционном отношении связь признаков не абстрагируется от случайных влияний прочих факторов на вариацию , не связанных с .

    Рассмотрим пример. Средняя часовая выработка 10 рабочих бригады 18 деталей при 3 детали. При этом выработка 4 рабочих, имеющих стаж работы менее 2-х лет, 15 деталей и 6 рабочих, имеющих стаж более 2 лет - 20 деталей. Определите эмпирическое корреляционное отношение.

    Решение.

    Эмпирическое  корреляционное отношение:

    По  условию,

      деталей – средняя часовая  выработка всех рабочих бригады;

     - среднее квадратическое отклонение;

      деталей – средняя часовая  выработка рабочих со стажем  работы менее двух лет;

     - доля рабочих со стажем  работы менее двух лет в  общей численности рабочих;

      деталей – средняя часовая  выработка рабочих со стажем работы более двух лет;

     - доля рабочих со стажем  работы более двух лет в  общей численности рабочих.

    Находим дисперсию групповых средних:

    Общая дисперсия:

     >0,7, следовательно, связь между  стажем работы и производительностью  труда рабочих высокая.

    Ответ: в) 0,82. 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 

1. Теория  статистики: учебное пособие для  ВУЗов. / под ред. Р.А. Шмойловой.-М:Финансы и статистика, 1998.-576с.

2.  Лекции по статистике. Преподаватель Лукина В.И. Тюменский государственный университет. 2006.

3. Шмойлова  Р.А. Практикум по теории статистики. Москва. «Финансы и статистика»  2002.